【知識梳理】
（一）中位數(shù)和眾數(shù)
1.中位數(shù)的概念：將一組數(shù)據(jù)按照由小到大（或由大到小）的順序排列，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)
?意義：中位數(shù)是刻畫一組數(shù)據(jù)“中等水平”的一個代表，反映了一組數(shù)據(jù)的集
中趨勢，一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是唯一的。
?求法：
1）把數(shù)據(jù)由小到大（或由大到小）排列；
2）確定這組數(shù)據(jù)的個數(shù)；
3）當(dāng)數(shù)據(jù)是奇數(shù)個時，取最中間的一個數(shù)作為中位數(shù)；當(dāng)數(shù)據(jù)是偶數(shù)個時，取最中間兩個數(shù)的平均數(shù)作為中位數(shù)。

2.眾數(shù)的概念：?一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)稱為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。
?意義：眾數(shù)是刻畫一組數(shù)據(jù)“大多數(shù)水平”的重要代表，在我們?nèi)粘Ｉ钪?，?jīng)常用眾數(shù)來解決一些實際問題。
?求法：眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，而不是出現(xiàn)次數(shù)，若一組數(shù)據(jù)中有兩個或兩個以上數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)并列最多，則這些數(shù)據(jù)都是眾數(shù)，故眾數(shù)可能不止一個。

（二）平均數(shù)、中位數(shù)與眾數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別
?平均數(shù)
?優(yōu)點：平均數(shù)能充分利用各數(shù)據(jù)提供的信息，在實際生活中常用樣本的平均數(shù)估計總體的平均數(shù)。
?缺點：在計算平均數(shù)時，所有的數(shù)據(jù)都參與運算，所以它易受極端值的影響。
?中位數(shù)
?優(yōu)點：中位數(shù)不受個別偏大或偏小數(shù)據(jù)的影響，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的個別數(shù)據(jù)變動較大時，一般用中位數(shù)來描述數(shù)據(jù)的集中趨勢。
?缺點：不能充分地利用各數(shù)據(jù)的信息。
?眾數(shù)
?優(yōu)點：眾數(shù)考察的是各數(shù)據(jù)所出現(xiàn)的頻數(shù)，其大小只與部分?jǐn)?shù)據(jù)相關(guān)，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中某些數(shù)據(jù)多次重復(fù)出現(xiàn)時，眾數(shù)往往更能反映問題。
?缺點：當(dāng)各數(shù)據(jù)重復(fù)出現(xiàn)的次數(shù)大致相等時，它往往就沒有什么特別意義。
?三者的聯(lián)系：平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢的特征數(shù)。
（三）極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差
用一組數(shù)據(jù)中的最大值減去最小值所得的差來反映這組數(shù)據(jù)的變化范圍，用這種方法得到的差稱為極差，極差＝最大值－最小值.
方差是反映一組數(shù)據(jù)的整體波動大小的特征的量.方差的計算公式是：


方差的算術(shù)平方根叫做這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，用符號表示，即：
；
標(biāo)準(zhǔn)差的數(shù)量單位與原數(shù)據(jù)一致.
聯(lián)系：極差與方差、標(biāo)準(zhǔn)差都是表示一組數(shù)據(jù)離散程度的特征數(shù)．
區(qū)別：極差表示一組數(shù)據(jù)波動范圍的大小，它受極端數(shù)據(jù)的影響較大；方差反映了一組數(shù)據(jù)與其平均值的離散程度的大?。讲钤酱螅€(wěn)定性也越?。环粗?，則穩(wěn)定性越好．所以一般情況下只求一組數(shù)據(jù)的波動范圍時用極差，在考慮到這組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性時用方差.
（四）用樣本估計總體
在考察總體的平均水平或方差時，往往都是通過抽取樣本，用樣本的平均水平或方差近似估計得到總體的平均水平或方差.
【經(jīng)典例題】
【題型一、利用概念求平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)】
【例1】某電冰箱專賣店出售容積為182L、185L、228L、268L四種型號的同一品牌的冰箱，每出售一臺，售貨員就作一個記錄，月底得到一組由15個268，66個228，18個185和11個182組成的數(shù)據(jù)．
(1)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)有實際意義嗎?
(2)這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)分別是多少?
(3)專賣店總經(jīng)理關(guān)心的是中位數(shù)還是眾數(shù)?
【例2】七年級學(xué)生完成課題學(xué)習(xí)“從數(shù)據(jù)談節(jié)水”后，積極踐行“節(jié)約用水，從我做起”。下表是從七年級400名學(xué)生中選出10名學(xué)生統(tǒng)計各自家庭一個月的節(jié)水情況：
那么這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)的平均數(shù)分別是（ ）
【題型二、利用三數(shù)——平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)解決問題】
【例1】為了從張明、王龍兩名學(xué)生中選拔一人參加“希望杯”數(shù)學(xué)競賽，在相同條件下對他們的數(shù)學(xué)知識進(jìn)行了5次測驗，成績?nèi)缦卤恚?br>張明同學(xué)成績的眾數(shù)是多少分？王龍同學(xué)成績的中位數(shù)是多少分？
分別求出這兩名同學(xué)成績的平均分?jǐn)?shù)
如果測驗分?jǐn)?shù)在95分（含95分）以上為優(yōu)秀，那么他們的優(yōu)秀率分別是多少？
你認(rèn)為應(yīng)選哪名同學(xué)去參加“希望杯”數(shù)學(xué)競賽？說說你的理由。
【例2】甲、乙、丙、丁四支足球隊在世界杯預(yù)選賽中進(jìn)球數(shù)分別為9、9、x、7，若這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)與平均數(shù)恰好相等，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（ ）
【例3】下表是七年級(2)班30名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績表(已破損)．
已知該班學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績平均分是76分．
(1)求該班80分和90分的人數(shù)分別是多少?
(2)設(shè)此班30名學(xué)生成績的眾數(shù)為，中位數(shù)為，求的值．
【題型三、極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差】
【例1】某社區(qū)準(zhǔn)備在甲乙兩位射箭愛好者中選出一人參加集訓(xùn)，兩人各射了5箭，他們的總成績（單位：環(huán)）相同，小宇根據(jù)他們的成績繪制了尚不完整的統(tǒng)計圖表，并計算了甲成績的平均數(shù)和方差（見小宇的作業(yè)）．
甲、乙兩人射箭成績統(tǒng)計表
（1）＝_____；＝_______；
（2）請完成圖中表示乙成績變化情況的折線；
（3）①觀察圖，可看出______的成績比較穩(wěn)定（填“甲”或“乙”）．參照小宇的計算方法，計算乙成績的方差，并驗證你的判斷．②請你從平均數(shù)和方差的角度分析，誰將被選中．
【題型四、統(tǒng)計思想】
【例1】體育課上，老師為了解女同學(xué)定點投籃的情況，隨機(jī)抽取8名女生進(jìn)行每人4次定點投籃的測試，及你去數(shù)統(tǒng)計如下圖所示：
求女生進(jìn)球數(shù)的平均數(shù)、中位數(shù)
投球4次，進(jìn)球3個以上（含3個）為優(yōu)秀，全校有女生1200人，估計“優(yōu)秀”等級的女生約為多少人？
【當(dāng)堂檢測】
1.陽光小區(qū)開展“節(jié)約用水，從我做起”的活動，一個月后，社區(qū)居委會從小區(qū)住戶中抽取10個家庭與他們上個月的用水量進(jìn)行比較，統(tǒng)計出節(jié)水情況如下表：
那么這10個家庭的節(jié)水量(立方米)的平均數(shù)和中位數(shù)分別是（ ）
2. 某班體育委員記錄了第一小組七位同學(xué)定點投籃(每人投10次)的情況，投進(jìn)籃筐的個數(shù)為6，10，5，3，4，8，4，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和極差分別是（ ）
A．4，7 B．7，5 C．5，7 D．3，7
3. 一組數(shù)據(jù)的方差為，將這組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)都除以2，所得新數(shù)據(jù)的方差是（ ）
A． B． C． D．
4．某校舉行“漢字聽寫比賽”，5個班級代表隊的正確答題數(shù)如下圖，這5個正確答題數(shù)所組成的一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（ ）
5．一組數(shù)據(jù)5、-2、3、x、3、-2，若每個數(shù)據(jù)都是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是 。
6.甲、乙兩人比賽射飛鏢，兩人所得的平均環(huán)數(shù)相同，其中甲所得環(huán)數(shù)的方差為13，乙所得環(huán)數(shù)如下：2，5，6，9，8，則成績比較穩(wěn)定的是________．
7. 某商場大搞“真情回報社會”的幸運抽獎活動，共設(shè)五個獎金等級，海報宣傳“平均獎金180元”，下面是獎金的分配表：
一名顧客抽到了一張獎劵，獎金金額為10元，她調(diào)查了周圍不少正在兌獎的其他顧客，很少有人超過50元，她氣憤地找商場領(lǐng)導(dǎo)理論，領(lǐng)導(dǎo)說這不存在什么欺騙，平均獎金確實是180元．你認(rèn)為商場所說的平均獎金是否欺騙了顧客？此種說法是否能夠很好地反映中獎的一般金額？
8. 某中學(xué)八年級(1)班共40名同學(xué)開展了“獻(xiàn)愛心”的活動．活動結(jié)束后，生活委員小林將捐款情況進(jìn)行了統(tǒng)計，并繪制成如圖所示的統(tǒng)計圖．
（1）求這40名同學(xué)捐款的平均數(shù)；
（2）該校共有學(xué)生1200名，請根據(jù)該班的捐款情況，
估計這個中學(xué)的捐款總數(shù)大約是多少元?

【課后練習(xí)】
1.若一組數(shù)據(jù)2、3、x、5、7的眾數(shù)為7，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為（ ）
2．甲、乙、丙、丁四支足球隊在世界杯預(yù)選賽中進(jìn)球數(shù)分別為9、9、x、7，若這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)與平均數(shù)恰好相等，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（ ）
3. 已知一組數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)是2，方差是，那么另一組數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)和方差分別為（ ）
A．2， B．2，1 C．4， D．4，3
4．某超市購進(jìn)了一批不同價格的皮鞋，下表是該超市在近幾年統(tǒng)計的平均數(shù)據(jù)．要使該超市銷售皮鞋收入最大，該超市應(yīng)多購（ ）的皮鞋

A．160元 B．140元 C．120元 D．100
5．在數(shù)據(jù)－1，0，4，5，8中插入一個數(shù)據(jù)，使得該數(shù)據(jù)組的中位數(shù)為3，則＝________．
6．某校舉辦“漢字聽寫大賽”，7名學(xué)生進(jìn)入決賽，他們所得分?jǐn)?shù)互不相同，比賽共設(shè)3個獲獎名額，某學(xué)生知道自己的分?jǐn)?shù)后，要判斷自己能否獲獎，他應(yīng)該關(guān)注的統(tǒng)計量是 （填“平均數(shù)”、“眾數(shù)”或“中位數(shù)”）。
7. 體育課上，老師為了解女同學(xué)定點投籃的情況，隨機(jī)抽取8名女生進(jìn)行每人4次定點投籃的測試，及你去數(shù)統(tǒng)計如下圖所示：
求女生進(jìn)球數(shù)的平均數(shù)、中位數(shù)
投球4次，進(jìn)球3個以上（含3個）為優(yōu)秀，全校有女生1200人，估計“優(yōu)秀”等級的女生約為多少人？
8.為了從張明、王龍兩名學(xué)生中選拔一人參加“希望杯”數(shù)學(xué)競賽，在相同條件下對他們的數(shù)學(xué)知識進(jìn)行了5次測驗，成績?nèi)缦卤恚?br>1）張明同學(xué)成績的眾數(shù)是多少分？王龍同學(xué)成績的中位數(shù)是多少分？
2）分別求出這兩名同學(xué)成績的平均分?jǐn)?shù)
3）如果測驗分?jǐn)?shù)在95分（含95分）以上為優(yōu)秀，那么他們的優(yōu)秀率分別是多少？
4)你認(rèn)為應(yīng)選哪名同學(xué)去參加“希望杯”數(shù)學(xué)競賽？說說你的理由。
節(jié)水量(立方米)
0.2
0.25
0.3
0.4
0.5
家庭數(shù)(個)
1
2
2
4
1
A.
0.4和0.34
B.
0.4和0.3
C.
0.25和0.34
D.
0.25和0.3
測驗次數(shù)
1
2
3
4
5
張明
92
86
96
96
100
王龍
94
100
92
90
84
A.
10
B.
9
C.
8
D.
7

第1次
第2次
第3次
第4次
甲成績
9
4
7
4
乙成績
7
5
7
節(jié)水量(立方米)
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
家庭數(shù)(個)
2
2
4
1
1
A.
0.47和0.5
B.
0.5和0.5
C.
0.47和4
D.
0.5和4
A.
10，15
B.
13，15
C.
13，20
D.
15，15
獎金等級
一等獎
二等獎
三等獎
四等獎
五等獎
獎金金額
10000
5000
1000
50
10
中獎人數(shù)
3
8
89
300
600
A.
2
B.
3
C.
5
D.
7
A.
10
B.
9
C.
8
D.
7
皮鞋價（元）
160
140
120
100
銷售百分率
60%
75%
83%
95%
測驗次數(shù)
1
2
3
4
5
張明
92
86
96
96
100
王龍
94
100
92
90
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