圓 小結(jié)與思考一、本章知識框架二、本章重點1．圓的定義：(1)線段OA繞著它的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A所形成的封閉曲線，叫做圓．(2)圓是到定點的距離等于定長的點的集合．2．判定一個點P是否在⊙O上．設(shè)⊙O的半徑為R，OP＝d，則有d>r點P在⊙O 外；d＝r點P在⊙O 上；d<r點P在⊙O 內(nèi)．3．與圓有關(guān)的角(1)圓心角：頂點在圓心的角叫圓心角．圓心角的性質(zhì)：圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)．(2)圓周角：頂點在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角．圓周角的性質(zhì)：①圓周角等于它所對的弧所對的圓心角的一半．②同弧或等弧所對的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等．③90°的圓周角所對的弦為直徑；半圓或直徑所對的圓周角為直角．④如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形．⑤圓內(nèi)接四邊形的對角互補；外角等于它的內(nèi)對角．(3)弦切角：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫弦切角．弦切角的性質(zhì)：弦切角等于它夾的弧所對的圓周角．弦切角的度數(shù)等于它夾的弧的度數(shù)的一半．4．圓的性質(zhì)：(1)旋轉(zhuǎn)不變性：圓是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度都和原來圖形重合；圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心．在同圓或等圓中，兩個圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，這四組量中的任意一組相等，那么它所對應(yīng)的其他各組分別相等．(2)軸對稱：圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的任一直線都是它的對稱軸．垂徑定理及推論：(1)垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。?/span>(2)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。?/span>(3)弦的垂直平分線過圓心，且平分弦對的兩條?。?/span>(4)平分一條弦所對的兩條弧的直線過圓心，且垂直平分此弦．(5)平行弦夾的弧相等．5．三角形的內(nèi)心、外心、重心、垂心(1)三角形的內(nèi)心：是三角形三個角平分線的交點，它是三角形內(nèi)切圓的圓心，在三角形內(nèi)部，它到三角形三邊的距離相等，通常用“I”表示．(2)三角形的外心：是三角形三邊中垂線的交點，它是三角形外接圓的圓心，銳角三角形外心在三角形內(nèi)部，直角三角形的外心是斜邊中點，鈍角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三個頂點的距離相等，通常用O表示．(3)三角形重心：是三角形三邊中線的交點，在三角形內(nèi)部；它到頂點的距離是到對邊中點距離的2倍，通常用G表示．(4)垂心：是三角形三邊高線的交點．6．切線的判定、性質(zhì)：(1)切線的判定：①經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．②到圓心的距離d等于圓的半徑的直線是圓的切線．(2)切線的性質(zhì)：①圓的切線垂直于過切點的半徑．②經(jīng)過圓心作圓的切線的垂線經(jīng)過切點．③經(jīng)過切點作切線的垂線經(jīng)過圓心．(3)切線長：從圓外一點作圓的切線，這一點和切點之間的線段的長度叫做切線長．(4)切線長定理：從圓外一點作圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角．7．圓內(nèi)接四邊形和外切四邊形(1)四個點都在圓上的四邊形叫圓的內(nèi)接四邊形，圓內(nèi)接四邊形對角互補，外角等于內(nèi)對角．(2)各邊都和圓相切的四邊形叫圓外切四邊形，圓外切四邊形對邊之和相等．8．直線和圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O 半徑為R，點O到直線l的距離為d．(1)直線和圓沒有公共點直線和圓相離d>R．(2)直線和⊙O有唯一公共點直線l和⊙O相切d＝R．(3)直線l和⊙O 有兩個公共點直線l和⊙O 相交d<R．9．圓中有關(guān)計算：圓的面積公式：，周長C＝2πR．圓心角為n°、半徑為R的弧長．圓心角為n°，半徑為R，弧長為l的扇形的面積．弓形的面積要轉(zhuǎn)化為扇形和三角形的面積和、差來計算．圓柱的側(cè)面圖是一個矩形，底面半徑為R，母線長為l的圓柱的體積為，側(cè)面積為2πRl，全面積為．圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，底面半徑為R，母線長為l，高為h的圓錐的側(cè)面積為πRl ，全面積為，母線長、圓錐高、底面圓的半徑之間有．【經(jīng)典例題精講】例1  下列命題正確的是(    )A．相等的圓周角對的弧相等B．等弧所對的弦相等C．三點確定一個圓D．平分弦的直徑垂直于弦．解：A．在同圓或等圓中相等的圓周角所對的劣弧相等，所以A不正確．B．等弧就是在同圓或等圓中能重合的弧，因此B正確．C．三個點只有不在同一直線上才能確定一個圓．D．平分弦(不是直徑)的直徑垂直于此弦．故選B．例2  四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠A︰∠B︰∠C＝1︰2︰3，求∠D．分析：圓內(nèi)接四邊形對角之和相等，圓外切四邊形對邊之和相等．解：設(shè)∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，則∠D＝∠A＋∠C－∠B＝2x．x＋2x＋3x＋2x＝360°，x＝45°．∴∠D＝90°．小結(jié)：此題可變形為：四邊形ABCD外切于⊙O，周長為20，且AB︰BC︰CD＝1︰2︰3，求AD的長．輔助線總結(jié)1.圓中常見的輔助線1）．作半徑，利用同圓或等圓的半徑相等．2）．作弦心距，利用垂徑定理進行證明或計算，或利用“圓心、弧、弦、弦心距”間的關(guān)系進行證明．3）．作半徑和弦心距，構(gòu)造由“半徑、半弦和弦心距”組成的直角三角形進行計算．4）．作弦構(gòu)造同弧或等弧所對的圓周角．5)．作弦、直徑等構(gòu)造直徑所對的圓周角——直角．6)．遇到切線，作過切點的弦，構(gòu)造弦切角．7)．遇到切線，作過切點的半徑，構(gòu)造直角．8)．欲證直線為圓的切線時，分兩種情況：(1)若知道直線和圓有公共點時，常連結(jié)公共點和圓心證明直線垂直；(2)不知道直線和圓有公共點時，常過圓心向直線作垂線，證明垂線段的長等于圓的半徑．9)．遇到三角形的外心常連結(jié)外心和三角形的各頂點．10)．遇到三角形的內(nèi)心，常作：(1)內(nèi)心到三邊的垂線；(2)連結(jié)內(nèi)心和三角形的頂點．2、圓中較特殊的輔助線1)．過圓外一點或圓上一點作圓的切線．2)．將割線、相交弦補充完整．3)．作輔助圓． 

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