第3課時直線的一般式方程課標(biāo)解讀課標(biāo)要求素養(yǎng)要求根據(jù)確定直線位置的幾何要素,探索并掌握直線的一般式方程.1.數(shù)學(xué)抽象——能快速掌握直線的一般式方程.2.數(shù)學(xué)運(yùn)算——能夠應(yīng)用直線的一般式方程解決有關(guān)問題.自主學(xué)習(xí)·必備知識教材研習(xí)教材原句要點一直線的一般式方程平面直角坐標(biāo)系中直線的方程,要么可以寫成的形式,要么可以寫成① 的形式,因此可以看出,所有的直線方程都可以寫成的形式,其中都是實常數(shù),而且與 ② 不同時為零（即）.式一般稱為直線的一般式方程.要點二方程Ax+By+C=0（A2+B2≠0）的幾何意義1.方程的幾何意義關(guān)于的二元一次方程表示的一定是直線,這是因為在式中,如果 ,則方程可以化為 ,它表示的是斜率為③ 且截距為的直線;如果 ,則由與不同時為零可知 ,從而方程可以化為 ,它表示的是斜率④ 不存在且過點的直線.2.直線的法向量如果直線的一般式方程為 ,那么為直線的一個⑤ 法向量 .自主思考1.點斜式方程 ,斜截式方程 ,兩點式方程 ,截距式方程能否轉(zhuǎn)化為的形式?答案：提示能,分別是 , , , .2.一般式方程轉(zhuǎn)化為點斜式方程時,需滿足什么條件?轉(zhuǎn)化后的方程是什么?答案：提示需滿足 ,方程為 .3.當(dāng)時，直線在軸上的截距分別是什么？答案：提示當(dāng)時，直線在軸上的截距分別為， .名師點睛直線一般式方程的結(jié)構(gòu)特征（1）方程是關(guān)于的二元一次方程.（2）方程中等號的左側(cè)自左向右一般按 ,常數(shù)的先后順序排列.（3）的系數(shù)一般不為分?jǐn)?shù)和負(fù)數(shù).（4）雖然直線方程的一般式有三個參數(shù),但只需兩個獨立的條件即可求得直線的方程.互動探究·關(guān)鍵能力探究點一直線的一般式方程精講精練例（1）如果,那么直線不經(jīng)過(      )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限（2）已知直線的一個法向量為 ,且經(jīng)過點 ,則直線的一般式方程為 .答案：（1）（2）解析：（1）因為 ,所以直線的斜率 ,又因為 ,所以直線在軸上的截距 ,所以直線不經(jīng)過第四象限,故選D.（2）因為直線的一個法向量為 ,所以設(shè)直線方程是 ,又因為直線經(jīng)過點 ,所以 ,解得 ,所以直線的一般式方程為 .解題感悟（1）求直線的一般式方程的方法：①先求出直線的其他形式的方程,再轉(zhuǎn)化為一般式方程.②利用直線的方向向量或法向量設(shè)出直線的一般式方程,再根據(jù)直線所過的點的坐標(biāo)求出一般式方程.（2）在直線方程中,令可得直線在y軸上的截距;令可得直線在軸上的截距.若確定直線斜率存在,則可將一般式化為斜截式.遷移應(yīng)用1.已知直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,求直線的一般式方程.答案：由題意得 ,令 ,得 ,令 ,得 ,因為直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,所以 ,即 ,解得或 ,故直線l的一般式方程為或 .探究點二直線方程的應(yīng)用精講精練例若直線的方程為 ,則該直線過定點．答案： (-2,1)解析：直線的方程可化為$k(x＋2)－y＋1＝0\ $,令解得 ,則直線過定點(-2,1）．變式在本例中,設(shè)直線與軸、軸的交點分別為點 ,當(dāng)時,求三角形（為坐標(biāo)原點）面積的最小值.答案：由題意可得 , ,所以三角形的面積當(dāng)且僅當(dāng) ,即時等號成立.所以三角形面積的最小值為4.解題感悟（1）求直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積時,要注意其面積為在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對值的積的 ,其易錯點為漏掉絕對值.（2）由直線的一般式方程求其所過的定點,方法有兩種,一是化為點斜式求解;二是利用解方程組求解.遷移應(yīng)用1.已知直線的方程為 ,直線與軸,軸分別交于兩點,則的面積為．答案：6解析：直線的方程為 ,令 ,得 ,令 ,得 ,故 .2.取任意實數(shù)時,直線恒經(jīng)過定點 ,則點的坐標(biāo)為 .答案： (1,-1)解析：直線方程可整理為令解得即定點的坐標(biāo)為(1,-1).探究點三由含參一般式方程求參數(shù)的值或取值范圍精講精練例（1）若方程表示一條直線,則實數(shù)滿足(      )A. B.C. D.（2）已知直線 ,若直線不經(jīng)過第四象限,求的取值范圍.答案：（1）解析：（1）因為方程表示一條直線,所以不能同時成立,所以 .答案：（2）直線方程可化為 ,當(dāng)時,要使直線不經(jīng)過第四象限,則有解得 ;當(dāng)時,直線方程為 ,符合題意.綜上可知,的取值范圍是 .解題感悟已知含參的直線的一般式方程求參數(shù)的值或取值范圍的步驟：遷移應(yīng)用1.直線：的傾斜角大于 ,則的取值范圍是 .答案：解析：當(dāng)時,直線的傾斜角為 ,符合要求;當(dāng)時,直線的斜率為 ,則或者 ,解得或者或者 .綜上可知,實數(shù)的取值范圍是 .評價檢測·素養(yǎng)提升課堂檢測1.直線的方程是 ,則直線經(jīng)過(     )A.一、二、三象限B.一、二、四象限C.一、三、四象限D(zhuǎn).二、三、四象限答案：2.直線過點(1,-1),則直線的斜率等于(      )A.-3B.3C. D.答案：3.已知直線經(jīng)過點(-1,2),且是直線的一個法向量,則直線的一般式方程為 .答案：素養(yǎng)演練數(shù)學(xué)建模——直線方程的實際應(yīng)用1.為了綠化城市,準(zhǔn)備在如圖所示的區(qū)域內(nèi)修建一個矩形的草坪,其中 ,點在線段上,且 ,經(jīng)測量, .如何設(shè)計才能使草坪的占地面積最大？并求出最大面積（精確到）.答案：如圖,以邊所在直線為軸,邊所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系,則 (0,20),  (30,0).所以直線的方程為 ,即 ,設(shè)則矩形的面積化簡得 ,配方,得易得當(dāng)時,最大,最大約為 .素養(yǎng)探究：本題考查直線方程的實際應(yīng)用,解答本題要先建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,求得直線的方程,再設(shè)出點的坐標(biāo),由矩形面積公式建立模型,然后利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求其最值,在此過程中體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng). 

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高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊電子課本

2.2.2 直線的方程

版本： 人教B版 (2019)

年級： 選擇性必修 第一冊

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