1、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有什么用？
荷蘭數(shù)學(xué)家弗賴(lài)登塔爾的，他說(shuō)：“與其說(shuō)是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，還不如說(shuō)是學(xué)習(xí)‘?dāng)?shù)學(xué)化’；與其說(shuō)是學(xué)習(xí)公理系統(tǒng)，還不如說(shuō)是學(xué)習(xí)‘公理化’；與其說(shuō)是學(xué)習(xí)形式體系，還不如說(shuō)是學(xué)習(xí)‘形式化’?！?
數(shù)學(xué)教育家米山國(guó)藏指出：“學(xué)生進(jìn)入社會(huì)后，幾乎沒(méi)有機(jī)會(huì)應(yīng)用它們?cè)诔踔谢蚋咧兴鶎W(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)，因而這種作為知識(shí)的數(shù)學(xué)，通常在學(xué)生出校門(mén)后不到一兩年就忘掉了，然而不管從事什么業(yè)務(wù)工作，那種銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)思想方法，卻長(zhǎng)期地在他們的生活和工作中發(fā)揮著重要作用?！?br/> 所以學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)忘記了，但數(shù)學(xué)化不會(huì)忘記，學(xué)習(xí)公理，公理忘記了，但公理化不會(huì)忘記，學(xué)習(xí)形式體系，形式體系忘記了，但形式化不會(huì)忘記。也就是數(shù)學(xué)化、公理化、形式化一輩子都對(duì)你產(chǎn)生影響。
中國(guó)人的思維缺陷
1、不證而論 比如不懂邏輯學(xué)上的“充足理由律”，給出論點(diǎn)來(lái)往往不證而論，只有論點(diǎn)，沒(méi)有論據(jù)。
2、以“經(jīng)典、經(jīng)驗(yàn)、想當(dāng)然”作為論據(jù)
參考文章：《中國(guó)人思維的五大缺陷》作者：蘆笛
總結(jié)：中國(guó)數(shù)學(xué)是經(jīng)驗(yàn)型的，結(jié)構(gòu)松散毫無(wú)邏輯，中國(guó)人做事也不講邏輯。
擅長(zhǎng)邏輯，比如平面幾何的公理系統(tǒng)，從幾個(gè)公理出發(fā)當(dāng)成起點(diǎn)推出定理、性質(zhì)、推論?；蛴梢远ɡ怼⑿再|(zhì)、推論為依據(jù)推出定理、性質(zhì)、推論，每一步都有論據(jù)，這論據(jù)要么是公理要么是定理、性質(zhì)、推論。最后形成嚴(yán)密的公理化系統(tǒng)，注意是嚴(yán)密，或嚴(yán)密的邏輯系統(tǒng)。邏輯學(xué)就是發(fā)達(dá)于西方. 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有點(diǎn)就是學(xué)習(xí)西方人如何思維,高考大部分考西方的思維方式。只有算法是考中國(guó)人思維方式
同學(xué)們，書(shū)上只介紹了三個(gè)基本事實(shí)即公理，為什么？ 那是因?yàn)橐⒘Ⅲw幾何公理系統(tǒng)，有這三個(gè)公理就足夠了，其它都可以把它推導(dǎo)出來(lái)，可以當(dāng)推論或當(dāng)性質(zhì)等。
有的同學(xué)馬上想知道這三個(gè)事實(shí)即三個(gè)公理還有推導(dǎo)到底用在哪里？
公理系統(tǒng)是什么？我們前面提過(guò)。 什么是公理？那就是不證自明非常顯然的事實(shí)，公理是我們證明的原點(diǎn)或起點(diǎn)，從原點(diǎn)或起點(diǎn)出發(fā)到達(dá)我們要到的地方。證明先從公理開(kāi)始。證明的起點(diǎn)是顯而易見(jiàn)的事實(shí)，這事實(shí)就是公理。公理是去證別人而自己是不能證明的。 同學(xué)們很多立體幾何定理結(jié)論實(shí)在是太明顯太顯然了，比公理還顯然，但注意它不是公理而是可以證明出來(lái)的性質(zhì)或定理，我們中國(guó)人覺(jué)得拿過(guò)來(lái)用就可以了，但西方不然,要證明出它。這在平時(shí)的證明中可以當(dāng)定理使用。注意我們證明題目時(shí)的論據(jù)都是來(lái)自于教材，教材之外的不會(huì)考到，雖然教材之外補(bǔ)充了許多定理、性質(zhì)。 同學(xué)們有沒(méi)有發(fā)現(xiàn)西方人沒(méi)事找事做，吃飽了撐著？正因?yàn)槲鞣饺说倪@種刨根究底的精神造就了西方發(fā)達(dá)的科學(xué)。在中國(guó)這些是經(jīng)驗(yàn)，沒(méi)有證明的跡象。 雖然結(jié)論很顯然但證明卻是不容易。 定理：兩條平行線(xiàn)一條垂直一個(gè)平面另一條也垂直這個(gè)平面 這樣的定理很多。 同學(xué)們注意，以上的定理其實(shí)我們都是不知不覺(jué)無(wú)意識(shí)的在使用它們了，在中國(guó)這是顯然的經(jīng)驗(yàn)，在使用這些定理時(shí)我們自己都沒(méi)有意識(shí)到。西方人不這么干，他把這些不知不覺(jué)無(wú)意識(shí)使用的經(jīng)驗(yàn)?zāi)贸鰜?lái)用公理化思想證明,形成一個(gè)極其嚴(yán)密不是松散的系統(tǒng)。這造就了西方發(fā)達(dá)的科技。 如果我們不學(xué)習(xí)其實(shí)同學(xué)們?cè)谧C明命題時(shí)自己自動(dòng)會(huì)使用它們，連自己都沒(méi)有意識(shí)到。因?yàn)樘@然了，比公理還顯然，太常識(shí)了，以至于我們沒(méi)有注意它們,是熟視無(wú)睹啊。 我們?yōu)槭裁匆獙W(xué)習(xí)這幾個(gè)定理就是讓無(wú)意識(shí)的東西進(jìn)入我們的意識(shí)。
同學(xué)們，要建立立體幾何公理系統(tǒng)，只有上述的三個(gè)事實(shí)即公理是不夠的，還需要加一個(gè)公理，加了這個(gè)公理，那公理數(shù)是真的夠了，其他任何事實(shí)都可以由著四個(gè)公理加平面幾何的公理和定理推導(dǎo)出來(lái)。 如果同學(xué)們還想知道公理系統(tǒng)更多的有關(guān)知識(shí)，請(qǐng)百度：公理系統(tǒng)的相容性、獨(dú)立性和完備性。 或百度百科：幾何公理體系的基本問(wèn)題，地址鏈接：%E5%87%A0%E4%BD%95%E5%85%AC%E7%90%86%E4%BD%93%E7%B3%BB%E7%9A%84%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E9%97%AE%E9%A2%98/5557001?fr=aladdin。 如果還想了解更多，請(qǐng)百度百科：哥德?tīng)柌煌陚湫远ɡ?。鏈接地址?E5%93%A5%E5%BE%B7%E5%B0%94%E4%B8%8D%E5%AE%8C%E5%85%A8%E6%80%A7%E5%AE%9A%E7%90%86/4116640?frmtitle=%E5%93%A5%E5%BE%B7%E5%B0%94%E4%B8%8D%E5%AE%8C%E5%A4%87%E5%AE%9A%E7%90%86&frmid=11039894&fr=aladdin。
問(wèn)題1　我們都知道，在平面內(nèi)，若兩條直線(xiàn)都與第三條直線(xiàn)平行，則這兩條直線(xiàn)互相平行．那么在空間中，是否也有類(lèi)似的結(jié)論呢？你能結(jié)合生活中的例子佐證你的判斷嗎？
直觀感知1　如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，DC//AB，A1B1//AB ，則DC 與A1B1平行嗎？
操作感知2　準(zhǔn)備一張矩形的紙片，將其對(duì)折幾次后再打開(kāi)，觀察折痕是否兩兩平行．
基本事實(shí)4表述的性質(zhì)通常叫做平行線(xiàn)的傳遞性，它給出了一種判斷空間中兩條直線(xiàn)平行的方法．
例1　如圖，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)．求證：四邊形EFGH是平行四邊形．
如何證明一個(gè)四邊形是平行四邊形？
條件里諸多的中點(diǎn)讓你想到了怎樣的平行關(guān)系？
如果題目再增加條件AC=BD，那么四邊形EFGH又是什么圖形？
二、應(yīng)用性質(zhì)，鞏固加深
問(wèn)題3　如果題目再增加條件AC⊥BD，那么四邊形EFGH又是什么圖形？
三、探究并證明“等角定理”
問(wèn)題2　平面內(nèi)，如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，則這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．在空間中，這一結(jié)論是否依然成立呢？
同學(xué)們很多立體幾何定理結(jié)論實(shí)在是太明顯太顯然了，比公理還顯然，但注意它不是公理而是可以證明出來(lái)的性質(zhì)或定理，我們中國(guó)人覺(jué)得拿過(guò)來(lái)用就可以了，但西方不然,要證明出它。這在平時(shí)的證明中可以當(dāng)定理使用。注意我們證明題目時(shí)的論據(jù)都是來(lái)自于教材，教材之外的不會(huì)考到，雖然教材之外補(bǔ)充了許多定理、性質(zhì)。 同學(xué)們有沒(méi)有發(fā)現(xiàn)西方人沒(méi)事找事做，吃飽了撐著？正因?yàn)槲鞣饺说倪@種刨根究底的精神造就了西方發(fā)達(dá)的科學(xué)。在中國(guó)這些是經(jīng)驗(yàn)，沒(méi)有證明的跡象。 雖然結(jié)論很顯然但證明卻是不容易。
這樣的定理很多。 同學(xué)們注意，以上的定理其實(shí)我們都是不知不覺(jué)無(wú)意識(shí)的在使用它們了，在中國(guó)這是顯然的經(jīng)驗(yàn)，在使用這些定理時(shí)我們自己都沒(méi)有意識(shí)到。西方人不這么干，他把這些不知不覺(jué)無(wú)意識(shí)使用的經(jīng)驗(yàn)?zāi)贸鰜?lái)用公理化思想證明,形成一個(gè)極其嚴(yán)密不是松散的系統(tǒng)。這造就了西方發(fā)達(dá)的科技。 如果我們不學(xué)習(xí)其實(shí)同學(xué)們?cè)谧C明命題時(shí)自己自動(dòng)會(huì)使用它們，連自己都沒(méi)有意識(shí)到。因?yàn)樘@然了，比公理還顯然，太常識(shí)了，以至于我們沒(méi)有注意它們,是熟視無(wú)睹啊。 我們?yōu)槭裁匆獙W(xué)習(xí)這幾個(gè)定理就是讓無(wú)意識(shí)的東西進(jìn)入我們的意識(shí)。
通過(guò)上述特例，我們發(fā)現(xiàn)在空間中，如果兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，則這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．你能?chē)?yán)格地證明該結(jié)論嗎？
等角定理反思：在空間中，平移不改變角的大小，但這是定理不是公理，它是可以證明出來(lái)的。以前學(xué)習(xí)向量時(shí)，平移也不改變向量的大小和方向。
問(wèn)題4　基本事實(shí)4和“等角定理”都是由平面圖形推廣到立體圖形得到的．是不是所有關(guān)于平面圖形的結(jié)論都可以推廣到空間呢？若不能，請(qǐng)舉例說(shuō)明之．
平面內(nèi)，垂直于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)平行，空間中則不然．
例2　若∠AOB=∠A1O1B1 ，且OA//O1A1，OA與O1A1的方向相同，則下列說(shuō)法中，正確的是（ ）．A．OB∥O1B1 ，且方向相同 B．OB∥O1B1，且方向不同C．OB與O1B1不平行 D．OB與O1B1不一定平行
四、定理應(yīng)用，鞏固加深
練習(xí)　在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，G，H分別在BC，CD上，且BG：GC=DH：HC=1：2，求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．
證明：∵E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，∴EF∥BD．
在△BCD中，BG：GC=DH：HC，所以GH∥BD，所以EF∥GH．
所以E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．
1．若兩個(gè)三角形不在同一平面內(nèi)，它們的邊兩兩對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)三角形（ ）．A．全等 B．相似 C．僅有一個(gè)角相等 D．全等或相似
2．梯形ABCD中，AB∥CD，E、F分別為BC和AD的中點(diǎn)，將平面DCEF沿EF翻折起來(lái)，使CD到C′D′的位置，G、H分別為AD′和BC′的中點(diǎn)．求證：四邊形EFGH為平行四邊形．

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8.5 空間直線(xiàn)、平面的平行

版本： 人教A版 (2019)

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