?專題19 圓中的輔助線問題
1、如圖1，AB為⊙O的弦，弧AC＝弧BC，G為弧BC上一點(diǎn)，連接AG交BC于點(diǎn)D，連接CG、BG．

（1）求證：∠GCB+∠GBC＝∠CBA；
（2）如圖2，若AB為⊙O的直徑，求證：AG＝CG+BG；
（3）如圖3，在（2）的條件下，F(xiàn)為圓上一點(diǎn)，連接CF交AB于點(diǎn)E，若CD：DB＝5：7，∠ACF＝∠CAG，AE＝，求線段CG的長．
證明：（1）∵＝，
∴∠CAB＝∠CBA，
∵∠GCB＝∠GAB，∠CBG＝∠CAG，
∴∠GCB+∠GBC＝∠GAB+∠CAG＝∠CAB＝∠CBA；
（2）如圖2，過點(diǎn)C作CH⊥CG交AG于點(diǎn)H，

∵AB為⊙O的直徑，
∴∠AGB＝∠ACB＝90°，且AC＝BC，
∴∠ABC＝∠BAC＝45°．
∵∠AGC＝∠ABC，
∴∠AGC＝45°，且CH⊥CG，
∴∠CHG＝∠AGC＝45°，
∴CH＝CG，∠AHC＝135°
∴GH＝CG．
∵∠CGB＝∠CGA+∠AGB＝135°，
∴∠AHC＝∠CGB，CH＝CG，∠CAH＝∠CBG，
∴△ACH≌△BCG（AAS）
∴AH＝BG，
∴AG＝CG+BG；
（3）∵CD：DB＝5：7，
∴設(shè)CD＝5a，DB＝7a，
∴BC＝AC＝12a，
∴AD＝＝＝13a．
如圖3，過點(diǎn)E作EH⊥AC于H，作AP平分∠GAC，交BC于P，作PQ⊥AD于Q，

∴∠CAP＝∠DAP＝∠CAG，∠PQA＝90°＝∠ACB，且AP＝AP，
∴△CAP≌△QAP（AAS）
∴AC＝AQ＝12a，CP＝PQ，
∴QD＝AD﹣AQ＝a．
∵PD2＝PQ2+QD2，
∴（5﹣PQ）2＝PQ2+a2，
∴PQ＝a，
∴CP＝a，
∵HE⊥AC，∠CAB＝45°，
∴∠HEA＝∠CAB＝45°，
∴AH＝HE，
∵AE2＝AH2+HE2＝（3）2，
∴AH＝HE＝3，
∵∠ACF＝∠CAG，∠CAP＝∠DAP＝∠CAG，
∴∠ACF＝∠CAP，
∴tan∠CAP＝tan∠ACF＝，
∴
∴CH＝15，
∴AC＝3+15＝18＝12a，
∴a＝，[來源:Z*xx*k.Com]
∴CD＝，BD＝，AD＝．
∵∠ACD＝∠AGB＝90°，∠CAD＝∠DBG，
∴△ACD∽△BGD，
∴，
∴，
∴BG＝，DG＝，
∴AG＝AD+DG＝+＝，
∵AG＝CG+BG，
∴＝＝CG，
∴CG＝．

2、如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，AC平分∠BAD，過C點(diǎn)作CE⊥AD延長線于E點(diǎn)．
（1）求證：CE是⊙O的切線；
（2）若AB＝10，AC＝8，求AD的長．

解：（1）連接OC，
∵OC＝OA，
∴∠OAC＝∠OCA，
又∵AC平分∠BAD，
∴∠CAD＝∠CAO＝∠OCA，
∴OC∥AE，
∵CE⊥AD，
即可得OC⊥CE，[來源:學(xué)科網(wǎng)]
∴CE是⊙O的切線；
（2）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝＝＝6，
∵∠BAC＝∠DAC，
∴＝，
∴BC＝CD＝6，
延長BC交AE的延長線于F，
∵∠BAC＝∠FAC，AC＝AC，∠ACB＝∠ACF＝90°，
∴△ACB≌△ACF（ASA），
∴FC＝BC＝6，AF＝AB＝10，
∵∠CDF＝180°﹣∠ADC，∠ABF＝180°﹣∠ADC，
∴∠CDF＝∠ABF，
∵∠CFD＝∠AFB，
∴△CFD∽△AFB，
∴＝，
∴＝，
∴AD＝．

3、如圖，在Rt△ABC中，AB⊥BC，以AB為直徑的圓交AC于點(diǎn)D，E是BC的中點(diǎn)，連接DE．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）設(shè)⊙O的半徑為r，證明r2＝AD?OE；
（3）若DE＝4，sinC＝，求AD之長．


（1）證明：連接OD、BD，
∵AB為圓O的直徑，
∴∠BDA＝90°，
∴∠BDC＝180°﹣90°＝90°，
∵E為BC的中點(diǎn)，
∴DE＝BC＝BE，
∴∠EBD＝∠EDB，
∵OD＝OB，
∴∠OBD＝∠ODB，
∵∠EBD+∠DBO＝90°，
∴∠EDB+∠ODB＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∴DE是圓O的切線．

（2）證明：如圖，連接BD．
由（1）知，∠ODE＝∠ADB＝90°，BD⊥AC．
∵E是BC的中點(diǎn)，O是AB的中點(diǎn)，
∴OE是△ABC的中位線，
∴OE∥AC，
∴OE⊥BD．
∴OE∥AC，
∴∠1＝∠2．
又∵∠1＝∠A，
∴∠A＝∠2．
即在△ADB與△ODE中，∠ADB＝∠ODE，∠A＝∠2，
∴△ADB∽△ODE．
∴＝，即＝．
∴r2＝AD?OE；

（3）∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°，
∵點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，
∴BC＝2DE＝8，
∵sinC＝，
∴設(shè)AB＝3x，AC＝5x，
根據(jù)勾股定理得：（3x）2+82＝（5x）2，
解得x＝2．
則AC＝10．
由切割線定理可知：82＝（10﹣AD）×10，
解得，AD＝3.6．

4、如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑作⊙O，分別交BC于點(diǎn)D，交CA的延長線于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DH⊥AC于點(diǎn)H，連接DE交線段OA于點(diǎn)F．
（1）求證：DH是⊙O的切線；
（2）若EA＝EF＝2，求⊙O的半徑；


解：（1）連接OD，

∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ODB＝∠ACB，
∴OD∥AC，
∵DH⊥AC，
∴DH⊥OD，
∴DH是⊙O的切線；
（2）設(shè)⊙O的半徑為r，即OD＝OB＝r，
∵EF＝EA，
∴∠EFA＝∠EAF，
∵OD∥EC，
∴∠FOD＝∠EAF，
則∠FOD＝∠EAF＝∠EFA＝∠OFD，
∴DF＝OD＝r，
∴DE＝DF+EF＝r+2，
∴BD＝CD＝DE＝r+2，
在⊙O中，∵∠BDE＝∠EAB，
∴∠BFD＝∠EFA＝∠EAB＝∠BDE，
∴BF＝BD，△BDF是等腰三角形，
∴BF＝BD＝r+2，
∴AF＝AB﹣BF＝2OB﹣BF＝2r﹣（2+r）＝r﹣2，
∵∠BFD＝∠EFA，∠B＝∠E，
∴△BFD∽△EFA，
∴，
即＝
解得：r1＝1+，r2＝1﹣（舍），
綜上所述，⊙O的半徑為1+．
5、如圖，B，E是⊙O上的兩個(gè)定點(diǎn)，A為優(yōu)弧BE上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)B作BC⊥AB交射線AE于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作CF⊥BC，點(diǎn)D在CF上，且∠EBD＝∠A．

（1）求證：BD與⊙O相切；
（2）已知∠A＝30°．
①若BE＝3，求BD的長；
②當(dāng)O，C兩點(diǎn)間的距離最短時(shí)，判斷A，B，C，D四點(diǎn)所組成的四邊形的形狀，并說明理由．
（1）證明：如圖1，作直徑BG，連接GE，
則∠GEB＝90°，
∴∠G+∠GBE＝90°，
∵∠A＝∠EBD，∠A＝∠G，
∴∠EBD＝∠G，
∴∠EBD+∠GBE＝90°，
∴∠GBD＝90°，
∴BD⊥OB，
∴BD與⊙O相切；

（2）解：如圖2，連接AG，
∵BC⊥AB，
∴∠ABC＝90°，
由（1）知∠GBD＝90°，
∴∠GBD＝∠ABC，
∴∠GBA＝∠CBD，
又∵∠GAB＝∠DCB＝90°，
∴△BCD∽△BAG，
∴＝＝tan30°＝，
又∵Rt△BGE中，∠BGE＝30°，BE＝3，
∴BG＝2BE＝6，
∴BD＝6×＝2；

（3）解：四邊形ABCD是平行四邊形，理由如下，
由（2）知＝，＝，
∴＝，
∵B，E為定點(diǎn)，BE為定值，
∴BD為定值，D為定點(diǎn)，
∵∠BCD＝90°，
∴點(diǎn)C在以BD為直徑的⊙M上運(yùn)動(dòng)，
∴當(dāng)點(diǎn)C在線段OM上時(shí)，OC最小，
此時(shí)在Rt△OBM中，＝＝，
∴∠OMB＝60°，
∴MC＝MB，
∴∠MDC＝∠MCD＝30°＝∠A，
∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠ABC＝∠DCB＝90°，
∴AB∥CD，
∴∠A+∠ACD＝180°，
∴∠BDC+∠ACD＝180°，
∴AC∥BD，
∴四邊形ABCD為平行四邊形．



6、如圖，AB、CE是⊙O的直徑，過點(diǎn)C的切線與AB的延長線交于點(diǎn)P，AD⊥PC于D，連接AC、OD、PE．
（1）求證：AC是∠DAP的角平分線；
（2）求證：PC2＝PA?PB；
（3）若AD＝3，PE＝2DO，求⊙O的半徑．

證明：（1）∵PC是圓的切線，AD⊥PD，
∴AD∥OC，
∴∠DAC＝∠ACO，
∵AO＝CO，
∴∠CAO＝∠ACO，
∴∠DAC＝∠CAO，
∴AC是∠DAP的平分線；

（2）如右圖，連接BC，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠OBC＝90°，
∵PC是⊙O的切線，
∴∠OCB+∠BCP＝90°，[來源:學(xué)_科_網(wǎng)]
∴∠CAB＝∠BCP，
又∵∠CPB＝∠APC，
∴△CPB∽△APC，
∴＝，
∴PC2＝PA?PB；

（3）設(shè)半徑為r，在Rt△PCE中，PE2＝（2r）2+PC2＝4r2+PC2，
∵PE＝2DO，
∴4DO2＝4r2+PC2，
∴4（DO2﹣r2）＝PC2，
∴4DC2＝PC2，
∴PC＝2CD，
∵AD∥OC，
∴△PCO∽△PDA，
∴＝，
∴＝，
∴r＝2．

7、如圖，AB是直經(jīng)，D是的中點(diǎn)，DE⊥AC交AC的延長線于E，⊙O的切線BF交AD的延長線于點(diǎn)F．
（1）求證：DE是⊙O的切線．
（2）試探究AE，AD，AB三者之間的等量關(guān)系．
（3）若DE＝3，⊙O的半徑為5，求BF的長．

（1）證明：如圖1，連接OC，OD，BC，
∵AB是直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵DE⊥AC于E，
∴∠E＝90°，
∴∠ACB＝∠E，
∴BC∥DE，
∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，
∴，
∴∠COD＝∠BOD，
又∵OC＝OB，
∴OD垂直平分BC，
∵BC∥DE，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切線；

（2）AD2＝AE?AB，理由如下：
如圖2，連接BD，
由（1）知，，
∴∠EAD＝∠DAB，
∵AB為直徑，
∴∠ADB＝∠E＝90°，
∴△AED∽△ADB，
∴＝，
即AD2＝AE?AB；

（3）由（1）知，∠E＝∠ECH＝∠CHD＝90°，
∴四邊形CHDE為矩形，
∴ED＝CH＝BH＝3，
∴OH＝＝＝4，
∴CE＝HD＝OD﹣OH＝5﹣4＝1，AC＝＝＝8，
∴AE＝AC+CE＝9，
∵BF是⊙O的切線，
∴∠FBA＝∠E＝90°，
又∵∠EAD＝∠DAB，
∴△EAD∽△BAF，
∴＝，
即＝，
∴BF＝．


8、已知正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)E為上一點(diǎn)，連接BE、CE、DE．
（1）如圖1，求證：∠DEC+∠BEC＝180°；
（2）如圖2，過點(diǎn)C作CF⊥CE交BE于點(diǎn)F，連接AF，M為AE的中點(diǎn)，連接DM并延長交AF于點(diǎn)N，求證：DN⊥AF；[來源:學(xué)&科&網(wǎng)]
（3）如圖3，在（2）的條件下，連接OM，若AB＝10，tan∠DCE＝，求OM的長．

（1）證明：連接BD，OC，

∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠A＝90°，BC＝CD，
∴BD為⊙O的直徑，
∵OB＝OD，
∴OC⊥BD，
∴∠BOC＝90°，
∴∠BEC＝∠BOC＝45°，
∵正方形ABED是圓O的內(nèi)接四邊形，
∴∠A+∠DEB＝180°，
∴∠DEB＝90°，
∴∠DEC+∠BEC＝∠DEB+∠BEC+∠BEC＝180°；
（2）證明：如圖2，延長ED至G，使ED＝DG，連接AG，

∵CE⊥CF，
∴∠ECF＝90°，
∵∠CEF＝45°，
∴∠CEF＝∠CFE＝45°，
∴CE＝CF，
∵∠BCD＝∠ECF＝90°，
∴∠BCF＝∠DCF，
∵BC＝CD，
∴△BFC≌△DEC（SAS），
∴BF＝DE，
∵DE＝DG，
∴BF＝DG，
∵四邊形ABED為圓O的內(nèi)接四邊形，
∴∠ABE+∠ADE＝180°，[來源:Z#xx#k.Com]
∵∠ADE+∠ADG＝180°，
∴∠ABE＝∠ADG，
∵AB＝AD，
∴△ABF≌△ADG（SAS），
∴∠BAF＝∠DAC，
∵∠BAF+∠FAD＝∠BAD＝90°，
∴∠DAG+∠FAD＝90°，
∴∠FAG＝90°，
∵M(jìn)為AE的中點(diǎn)，
∴DM為△AEG的中位線，
∴DM∥AG，
∴∠DNF＝∠FAG＝90°，
∴DN⊥AF，
（3）解：如圖3，連接BD，OC，過點(diǎn)B作BK⊥CF交CF的延長線于點(diǎn)K，過點(diǎn)B作BT⊥AE于點(diǎn)T，

由（1）知∠BOC＝90°，
∴OB＝OC＝，
由（1）知BD為⊙O的直徑，在Rt△ABD中，BD＝AB＝10，
∵，
∴∠DBE＝∠DCE，
∴tan∠DCE＝tan∠DBE＝，
∴，設(shè)DE＝x，則BE＝7x，
在Rt△BDE中，BD＝＝5x，
∴，
∴x＝2，
∴DE＝2，
∴BF＝2，
∵∠EFC＝45°，
∴∠BFK＝∠EFC＝45°，
∴∠KBF＝∠BFK＝45°，
∴，
由（2）知∠BCF＝∠DCE，
∴tan∠BCF＝tan∠DCE＝，
∴，
∴，
∴，
在Rt△ECF中，EF＝CF＝12，
∴BE＝EF+BF＝14，
∵∠AEB＝∠AEC﹣∠BEC＝90°﹣45°＝45°，
∴∠TBE＝∠TEB，
∴TB＝TE＝，
∴＝，
∴，
∴，
∵M(jìn)為AE的中點(diǎn)，
∴OM⊥AE，
在Rt△OME中，OM＝＝3．
9、已知：在⊙O中，弦AC⊥弦BD，垂足為H，連接BC，過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，DE交AC于點(diǎn)F．

（1）如圖1，求證：BD平分∠ADF；
（2）如圖2，連接OC，若AC＝BC，求證：OC平分∠ACB；
（3）如圖3，在（2）的條件下，連接AB，過點(diǎn)D作DN∥AC交⊙O于點(diǎn)N，若AB＝3，DN＝9．求sin∠ADB的值．
（1）證明：如圖1，

∵AC⊥BD，DE⊥BC，
∴∠AHD＝∠BED＝90°，
∴∠DAH+∠ADH＝90°，∠DBE+∠BDE＝90°，
∵∠DAC＝∠DBC，
∴∠ADH＝∠BDE，
∴BD平分∠ADF．
（2）證明：連接OA、OB．

∵OB＝OC＝OA，AC＝BC
∴△OCB≌△OCA（SSS），
∴OBC＝∠OCA，
∴OC平分∠ACB；
（3）如圖3中，連接BN，過點(diǎn)O作OP⊥BD于點(diǎn)P，過點(diǎn)O作OQ⊥AC于點(diǎn)Q．

則四邊形OPHQ是矩形，
∵DN∥AC，
∴∠BDN＝∠BHC＝90°，
∴BN是直徑，
則OP＝DN＝，
∴HQ＝OP＝，
設(shè)AH＝x，則AQ＝x+，AC＝2AQ＝2x+9，BC＝AC＝2x+9，
∴CH＝AC﹣AH＝2x+9﹣x＝x+9
在Rt△AHB中，BH2＝AB2﹣AH2＝（）2﹣x2．
在Rt△BCH中，BC2＝BH2+CH2，
即（2x+9）2＝（）2﹣x2+（x+9）2，
整理得2x2+9x﹣45＝0，
（x﹣3）（2x+15）＝0
解得 x＝3（負(fù)值舍去），
BC＝2x+9＝15，CH＝x+9＝12
∵∠ADB＝∠BCH，
∴sin∠ADB＝sin∠BCH＝＝＝．
即sin∠ADB的值為．
10、如圖，已知AB為⊙O的直徑，AD、BD是⊙O的弦，BC是⊙O的切線，切點(diǎn)為B，OC∥AD，BA、CD的延長線相交于點(diǎn)E．
（1）求證：DC是⊙O的切線；
（2）若AE＝1，ED＝3，求⊙O的半徑．
（3）在（2）中的條件下，∠ABD＝30°，將△ABD以點(diǎn)A為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，求BD掃過的圖形的面積（結(jié)果用π表示）．

證明：（1）連接DO，如圖，

∵AD∥OC，
∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD，
又∵OA＝OD，
∴∠DAO＝∠ADO，
∴∠COD＝∠COB．
在△COD和△COB中

∴△COD≌△COB（SAS），
∴∠CDO＝∠CBO．
∵BC是⊙O的切線，
∴∠CBO＝90°，
∴∠CDO＝90°，
∴OD⊥CE，
又∵點(diǎn)D在⊙O上，
∴CD是⊙O的切線；
（2）設(shè)圓O的半徑為R，
則OD＝R，OE＝R+1，
∵CD是圓O的切線，
∴∠EDO＝90°，
∴ED2+OD2＝OE2，
∴9+R2＝（R+1）2，
∴R＝4，
∴圓O的半徑為4；
（3）∵∠ABD＝30°，AB＝2R＝8，
∴AD＝4，
∴BD掃過的圖形的面積＝＝16π．
11、如圖，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圓，連結(jié)OA、OB、OC，延長BO與AC交于點(diǎn)D，與⊙O交于點(diǎn)F，延長BA到點(diǎn)G，使得∠BGF＝∠GBC，連接FG．
（1）求證：FG是⊙O的切線；
（2）若⊙O的徑為4．
①當(dāng)OD＝3，求AD的長度；
②當(dāng)△OCD是直角三角形時(shí)，求△ABC的面積．

（1）證明：連接AF，
∵BF為⊙O的直徑，
∴∠BAF＝90°，∠FAG＝90°，
∴∠BGF+∠AFG＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ACB＝∠AFB，∠BGF＝∠ABC，
∴∠BGF＝∠AFB，
∴∠AFB+∠AFG＝90°，即∠OFG＝90°，
又∵OF為半徑，
∴FG是⊙O的切線；

（2）解：①連接CF，則∠ACF＝∠ABF，
∵AB＝AC，AO＝AO，BO＝CO，
∴△ABO≌△ACO（SSS），
∴∠ABO＝∠BAO＝∠CAO＝∠ACO，
∴∠CAO＝∠ACF，
∴AO∥CF，
∴＝，
∵半徑是4，OD＝3，
∴DF＝1，BD＝7，
∴＝＝3，即CD＝AD，
∵∠ABD＝∠FCD，∠ADB＝∠FDC，
∴△ADB∽△FDC，
∴＝，
∴AD?CD＝BD?DF，
∴AD?CD＝7，即AD2＝7，
∴AD＝（取正值）；

②∵△ODC為直角三角形，∠DCO不可能等于90°，
∴存在∠ODC＝90°或∠COD＝90°，
當(dāng)∠ODC＝90°時(shí)，
∵∠ACO＝∠ACF，
∴OD＝DF＝2，BD＝6，
∴AD＝CD，
∴AD?CD＝AD2＝12，
∴AD＝2，AC＝4，
∴S△ABC＝×4×6＝12；
當(dāng)∠COD＝90°時(shí)，
∵OB＝OC＝4，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴BC＝4，
延長AO交BC于點(diǎn)M，
則AM⊥BC，
∴MO＝2，
∴AM＝4+2，
∴S△ABC＝×4×（4+2）＝8+8，
∴△ABC的面積為12或8+8．



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專題62 圓中的輔助線問題-2022年中考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)專項(xiàng)突破（全國通用）

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