?專題10 幾何證明之圓中的線段長度問題
1、如圖所示，已知A，B兩點的坐標分別為（2，0），（0，10），P是△AOB外接圓⊙C上的一點，OP交AB于點 D．
（1）當OP⊥AB時，求OP；
（2）當∠AOP＝30°時，求AP．

解：（1）∵A，B兩點的坐標分別為（2，0），（0，10），
∴AO＝2，OB＝10，
∵AO⊥BO，
∴AB＝＝4，
∵OP⊥AB，
∴＝，CD＝DP，
∴CD＝，
∴OP＝2CD＝；
（2）連接CP，
∵∠AOP＝30°，
∴∠ACP＝60°，
∵CP＝CA，
∴△ACP為等邊三角形，
∴AP＝AC＝AB＝2．

2、如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，點D為BC邊的中點，以AD為直徑作⊙O，分別與AB，AC交于點E，F(xiàn)，過點E作EG⊥BC于G．
（1）求證：EG是⊙O的切線；
（2）若AF＝6，⊙O的半徑為5，求BE的長．

（1）證明：如圖，連接EF，
∵∠BAC＝90°，
∴EF是⊙O的直徑，
∴OA＝OE，
∴∠BAD＝∠AEO，
∵點D是Rt△ABC的斜邊BC的中點，
∴AD＝BD，
∴∠B＝∠BAD，
∴∠AEO＝∠B，
∴OE∥BC，
∵EG⊥BC，
∴OE⊥EG，
∵點E在⊙O上，
∴EG是⊙O的切線；

（2）∵⊙O的半徑為5，
∴EF＝2OE＝10，
在Rt△AEF中，AF＝6，
根據(jù)勾股定理得，AE＝＝8，
由（1）知OE∥BC，
∵OA＝OD，
∴BE＝AE＝8．


3、如圖，已知AB是⊙O的直徑，AB＝4，點C是AB延長線上一點，且BC＝2，點D是半圓的中點，點P是⊙O上任意一點．
（1）當PD與AB交于點E且PC＝CE時，求證：PC與⊙O相切；
（2）在（1）的條件下，求PC的長；
（3）點P是⊙O上動點，當PD+PC的值最小時，求PC的長．

解：（1）證明：如圖1，
∵點D是半圓的中點，
∴∠APD＝45°，
連接OP，
∴OA＝OP，
∴∠OAP＝∠OPA，
∴∠PEC＝∠OAP+∠APE＝∠OPA+∠APE＝∠APE﹣∠OPE+∠APE＝2∠APE﹣∠OPE＝90°﹣∠OPE，
∵PC＝EC，
∴∠CPE＝∠PEC＝90°﹣∠APE，
∴∠OPC＝∠OPE+∠CPE＝∠OPE+90°﹣∠OPE＝90°，
∵點P在⊙O上，
∴PC是⊙O的切線；

（2）解：由（1）知，∠OPC＝90°，
∵AB＝4，
∴OP＝OB＝AB＝2，
∵BC＝2，
∴OC＝OB+BC＝4，
根據(jù)勾股定理得，CP＝＝2；

（3）解：連接OD，如圖2，
∵D是半圓O的中點，
∴∠BOD＝90°，要使PD+PC的值最小，則連接CD交⊙O于P'，
即點P在P'的位置時，PD+PC最小，
由（2）知，OC＝4，
在Rt△COD中，OD＝OB＝2，
根據(jù)勾股定理得，CD＝＝2，
連接BP，AD，則四邊形ADP'B是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠CBP'＝∠CDA，
∵∠BCP＝∠DCA，
∴△CBP'∽△CDA，
∴＝，
∴，
∴CP'＝．


4、如圖，已知AB是⊙O的弦，點C是弧AB的中點，D是弦AB上一動點，且不與A、B重合，CD的延長線交于⊙O點E，連接AE、BE，過點A作AF⊥BC，垂足為F，∠ABC＝30°．
（1）求證：AF是⊙O的切線；
（2）若BC＝6，CD＝3，則DE的長為　9??；
（3）當點D在弦AB上運動時，的值是否發(fā)生變化？如果變化，請寫出其變化范圍；如果不變，請求出其值．

（1）證明：如圖1中，連接AC，OC，OA．

∵∠AOC＝2∠ABC＝60°，OA＝OC，
∴△AOC是等邊三角形，
∴∠CAO＝60°，
∵＝，
∴AB⊥OC，
∴∠OAD＝∠OAC＝30°，
∵∠ABC＝30°，
∴∠ABC＝∠OAD，
∴OA∥BF，
∵AF⊥BF，
∴OA⊥AF，
∴AF是⊙O的切線．

（2）解：∵＝，
∴∠CBD＝∠BEC，
∵∠BCD＝∠BCE，
∴△BCD∽△ECB，
∴＝，
∴＝，
∴EC＝12，
∴DE＝EC﹣CD＝12﹣3＝9．
故答案為9．

（3）解：結(jié)論：＝，的值不變．
理由：如圖2中，連接AC，OC，OC交AB于H，作AN∥EC交BE的延長線于N．

∵＝，
∴OC⊥AB，CB＝CA，
∴BH＝AH＝AB，
∵∠ABC＝30°，
∴BH＝BC，
∴AC＝AB，
∵CE∥AN，
∴∠N＝∠CEB＝30°，∠EAN＝∠AEC＝∠ABC＝30°，
∴∠CEA＝∠ABC＝30°，∠EAN＝∠N，
∴∠N＝∠AEC，AE＝EN，
∵∠ACE＝∠ABN，
∴△ACE∽△ABN，
∴＝＝，
∴＝，
∴的值不變．
5、如圖1所示，以點M（﹣1，0）為圓心的圓與y軸，x軸分別交于點A，B，C，D，與⊙M相切于點H的直線EF交x軸于點E（﹣5，0），交y軸于點F（0，）．
（1）求⊙M的半徑r；
（2）如圖2所示，連接CH，弦HQ交x軸于點P，若cos∠QHC＝，求的值；
（3）如圖3所示，點P為⊙M上的一個動點，連接PE，PF，求PF+PE的最小值．

解：（1）如圖1，連接MH，

∵E（﹣5，0），F(xiàn)（0，﹣），M（﹣1，0），
∴OE＝5，OF＝，EM＝4，
∴在Rt△OEF中，tan∠OEF＝＝，
∴∠OEF＝30°，
∵EF是⊙M的切線，
∴∠EHM＝90°，
∴sin∠MEH＝sin30°＝，
∴MH＝ME＝2，
即r＝2；
（2）如圖2，連接DQ、CQ，MH．

∵∠QHC＝∠QDC，∠CPH＝∠QPD，
∴△PCH∽△PQD，
∴，
由（1）可知，∠HEM＝30°，
∴∠EMH＝60°，
∵MC＝MH＝2，
∴△CMH為等邊三角形，
∴CH＝2，
∵CD是⊙M的直徑，
∴∠CQD＝90°，CD＝4，[來源:Z+xx+k.Com]
∴在Rt△CDQ中，cos∠QHC＝cos∠QDC＝，
∴QD＝CD＝3，
∴；
（3）連MP，取CM的點G，連接PG，則MP＝2，G（﹣2，0），

∴MG＝CM＝1，
∴，
又∵∠PMG＝∠EMP，
∴△MPG∽△MEP，
∴，
∴PG＝PE，
∴PF+PE＝PF+PG，
當F，P，G三點共線時，PF+PG最小，連接FG，即PF+PE有最小值＝FG，
在Rt△OGF中，OG＝2，OF＝，
∴FG＝＝＝．
∴PF+PE的最小值為．
6、如圖，⊙O的直徑AB＝10，弦BC＝，點P是⊙O上的一動點（不與點A、B重合，且與點C分別位于直徑AB的異側(cè)），連接PA，PC，過點C作PC的垂線交PB的延長線于點D．
（1）求tan∠BPC的值；
（2）隨著點P的運動，的值是否會發(fā)生變化？若變化，請說明理由，若不變，則求出它的值；
（3）運動過程中，AP+2BP的最大值是多少？請你直接寫出它來．

解：（1）連接AC，

∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，AB＝10，BC＝2，
∴AC＝＝4，
∴tan∠BPC＝tan∠BAC＝＝；
（2）的值不會發(fā)生變化，理由如下：
∵∠PCD＝∠ACB＝90°，
∴∠1+∠PCB＝∠2+∠PCB，
∴∠1＝∠2，
∵∠3是圓內(nèi)接四邊形APBC的一個外角，
∴∠3＝∠PAC，
∴△CBD∽△CAP，
∴＝，
在Rt△PCD中，＝tan∠BPC＝，
∴＝＝；
（3）由（2）知BD＝AP，
∴AP+2BP
＝2（AP+BP）
＝2（BD+BP）
＝2PD
＝，
由tan∠BPC＝，得：cos∠BPC＝，
∴AP+2BP＝PC≤AB＝10，
∴AP+2BP的最大值為10．
7、在圖1至圖3中，⊙O的直徑BC＝30，AC切⊙O于點C，AC＝40，連接AB交⊙O于點D，連接CD，P是線段CD上一點，連接PB．

（1）如圖1，當點P，O的距離最小時，求PD的長；
（2）如圖2，若射線AP過圓心O，交⊙O于點E，F(xiàn)，求tanF的值；
（3）如圖3，作DH⊥PB于點H，連接CH，直接寫出CH的最小值．
解：（1）如圖1，連接OP，

∵AC切⊙O于點C，
∴AC⊥BC．
∵BC＝30，AC＝40，
∴AB＝50．
由，
即，
解得CD＝24，
當OP⊥CD時，點P，O的距離最小，此時．
（2）如圖2，連接CE，

∵EF為⊙O的直徑，
∴∠ECF＝90°．
由（1）知，∠ACB＝90°，
由AO2＝AC2+OC2，得（AE+15）2＝402+152，
解得．
∵∠ACB＝∠ECF＝90°，
∴∠ACE＝∠BCF＝∠AFC．
又∠CAE＝∠FAC，
∴△ACE∽△AFC，
∴．
∴．
（3）CH的最小值為．
解：如圖3，以BD為直徑作⊙G，則G為BD的中點，DG＝9，
∵DH⊥PB，
∴點H總在⊙G上，GH＝9，
∴當點C，H，G在一條直線上時，CH最小，
此時，，，
即CH的最小值為．

8、如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于點D，O為AB上一點，經(jīng)過點A，D的⊙O分別交AB，AC于點E，F(xiàn)，連接OF交AD于點G．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）求證：AD2＝AB?AF；
（3）若BE＝8，sinB＝，求AD的長，

解：（1）如圖1，連接OD，則OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠OAD＝∠CAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∴∠ODB＝∠C＝90°，
∵點D在⊙O上，
∴BC是⊙O的切線；

（2）如圖2，
連接OD，DF，EF，
∵AE是⊙O的直徑，
∴∠AFE＝90°＝∠C，
∴EF∥BC，
∴∠B＝∠AEF，
∵∠AEF＝∠ADF，
∴∠B＝∠ADF，
由（1）知，∠BAD＝∠DAF，
∴△ABD∽△ADF，
∴，
∴AD2＝AB?AF；

（3）如圖3，
連接OD，由（1）知，OD⊥BC，
∴∠BDO＝90°，
設(shè)⊙O的半徑為R，則OA＝OD＝OE＝R，
∵BE＝8，
∴OB＝BE+OE＝8+R，
在Rt△BDO中，sinB＝，
∴sinB＝＝，
∴R＝5，
∴AE＝2OE＝10，AB＝BE+2OE＝18，
連接EF，由（2）知，∠AEF＝∠B，∠AFE＝∠C＝90°，
∴sin∠AEF＝sinB＝，
在Rt△AFE中，sin∠AEF＝＝＝，
∴AF＝
由（2）知，AD2＝AB?AF＝18×＝，
∴AD＝＝．



9、如圖，AB為圓O的直徑，C為圓O上一點，D為BC延長線一點，且BC＝CD，CE⊥AD于點E．
（1）求證：直線EC為圓O的切線；
（2）設(shè)BE與圓O交于點F，AF的延長線與CE交于點P，
①求證：PC2＝PF?PA
②若PC＝5，PF＝4，求sin∠PEF的值．

證明：（1）∵CE⊥AD于點E，
∴∠DEC＝90°，
∵BC＝CD，
∴C是BD的中點，
又∵O是AB的中點，
∴OC是△BDA的中位線，
∴OC∥AD，
∴∠OCE＝∠CED＝90°，
∴OC⊥CE，
又∵點C在圓上，
∴CE是圓O的切線；
（2）①連接AC，

∵OC⊥CE，
∴∠ECO＝90°，
∵AB是直徑，
∴∠ACB＝90°＝∠ECO，
∴∠ECA＝∠OCB，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC＝∠ACE，[來源:學(xué)科網(wǎng)ZXXK]
∵∠ABF＝∠ACF，
∴∠OBC﹣∠ABF＝∠ACE﹣∠ACF，
∴∠EBC＝∠ECF，且∠EBC＝∠CAP，
∴∠ECF＝∠CAP，且∠CPF＝∠CPA，
∴△PCF∽△PAC，
∴
∴PC2＝PF?PA
②∵AB是直徑，點F在圓上，
∴∠AFB＝∠PFE＝90°＝∠CEA，
∵∠EPF＝∠EPA，
∴△PEF∽△PAE，
∴
∴PE2＝PF?PA
∴PE＝PC
在直角△PEF中，sin∠PEF＝．
10、如圖1，在平面直角坐標系內(nèi)，A，B為x軸上兩點，以AB為直徑的⊙M交y軸于C，D兩點，C為的中點，弦AE交y軸于點F，且點A的坐標為（﹣2，0），CD＝8．

（1）求⊙M的半徑；
（2）動點P在⊙M的圓周上運動．
①如圖1，當EP平分∠AEB時，求PN?EP的值；
②如圖2，過點D作⊙M的切線交x軸于點Q，當點P與點A，B不重合時，是否為定值？若是，請求出其值；若不是，請說明理由．
解：（1）如圖1中，連接CM．

∵AM⊥CD，
∴OC＝OD＝4，
設(shè)CM＝AM＝r，
在Rt△CMO中，∵CM2＝OC2+OM2，
∴r2＝42+（r﹣2）2，
解得r＝5，
∴⊙M的半徑為5．

（2）①如圖2中，連接AP，BP．

∵AB是直徑，
∴∠APB＝∠AEB＝90°，
∵PE平分∠AEP，
∴∠AEP＝∠PEB＝45°，
∴＝，
∴PA＝PB，
∵AB＝10，∠APB＝90°，
∴PA＝PB＝×AB＝5，
∵∠PAN＝∠AEP＝45°，∠APN＝∠APE，
∴△APN∽△EPA，
∴＝，
∴PN?PE＝PA2＝50．

②如圖3中，連接PM，DM．

∵DQ是⊙M的切線，
∴DQ⊥DM，
∴∠MDQ＝∠MOD＝90°，
∵∠DMO＝∠QMD，
∴△DMO∽△QMD，
∴＝，
∴DM2＝MO?MQ，
∵MP＝MD，
∴MP2＝MO?MQ，
∴＝，∵∠PMO＝∠PMQ，
∴△PMO∽△QMP，
∴＝，
∵DM2＝MO?MQ，
∴25＝3MQ，
∴MQ＝，
∴＝＝．
11、如圖，AB為⊙O的直徑，CD⊥AB于點G，E是CD上一點，且BE＝DE，延長EB至點P，連接CP，使PC＝PE，延長BE與⊙O交于點F，連結(jié)BD，F(xiàn)D．
（1）連結(jié)BC，求證：△BCD≌△DFB；
（2）求證：PC是⊙O的切線；
（3）若tanF＝，AG﹣BG＝，求ED的值．

解：（1）證明：因為BE＝DE，
所以∠FBD＝∠CDB，
在△BCD和△DFB中：
∠BCD＝∠DFB
∠CDB＝∠FBD
BD＝DB
所以△BCD≌△DFB（AAS）．
（2）證明：連接OC．

因為∠PEC＝∠EDB+∠EBD＝2∠EDB，
∠COB＝2∠EDB，
所以∠COB＝∠PEC，
因為PE＝PC，
所以∠PEC＝∠PCE，
所以∠PCE＝∠COB，
因為AB⊥CD于G，
所以∠COB+∠OCG＝90°，
所以∠OCG+∠PEC＝90°，
即∠OCP＝90°，
所以O(shè)C⊥PC，
所以PC是圓O的切線．
（3）因為直徑AB⊥弦CD于G，
所以BC＝BD，CG＝DG，
所以∠BCD＝∠BDC，
因為∠F＝∠BCD，tanF＝，
所以∠tan∠BCD＝＝，
設(shè)BG＝2x，則CG＝3x．[來源:學(xué),科,網(wǎng)]
連接AC，則∠ACB＝90°，
由射影定理可知：CG2＝AG?BG，
所以AG＝，
因為AG﹣BG＝，
所以，
解得x＝，
所以BG＝2x＝，CG＝3x＝2，
所以BC＝，
所以BD＝BC＝，
因為∠EBD＝∠EDB＝∠BCD，
所以△DEB～△DBC，
所以，
因為CD＝2CG＝4，
所以DE＝．
12、如圖1，在直角坐標系中，直線l與x、y軸分別交于點A（2，0）、B（0，）兩點，∠BAO的角平分線交y軸于點D．點C為直線l上一點，以AC為直徑的⊙G經(jīng)過點D，且與x軸交于另一點E．
（1）求出⊙G的半徑r，并直接寫出點C的坐標；
（2）如圖2，若點F為⊙G上的一點，連接AF，且滿足∠FEA＝45°，請求出EF的長？

解：（1）連接GD，EC．
∵∠OAB的角平分線交y軸于點D，
∴∠GAD＝∠DAO，
∵GD＝GA，
∴∠GDA＝∠GAD，
∴∠GDA＝∠DAO，
∴GD∥OA，
∴∠BDG＝∠BOA＝90°，
∵GD為半徑，
∴y軸是⊙G的切線；
∵A（2，0），B（0，），
∴OA＝2，OB＝，
在Rt△AOB中，由勾股定理可得：AB＝＝＝
設(shè)半徑GD＝r，則BG＝﹣r，
∵GD∥OA，
∴△BDG∽△BOA，
∴＝，
∴r＝2（﹣r），
∴r＝，
∵AC是直徑，
∴∠AEC＝∠AOB＝90°，
∴EC∥OB，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴EC＝2，AE＝，
∴OE＝2﹣＝，
∴C的坐標為（，2）；

（2）過點A作AH⊥EF于H，連接CE、CF，
∵AC是直徑，
∴AC＝2×＝
∴∠AEC＝∠AFC＝90°
∵∠FEA＝45°
∴∠FCA＝45°
∴在Rt△AEH中，
由勾股定理可知：AF＝CF＝，
設(shè)OE＝a
∴AE＝2﹣a
∵CE∥OB
∴△ACE∽△ABO
∴＝，
∴CE＝2，
∵CE2+AE2＝AC2，
∴22+（2﹣a）2＝
∴a＝或a＝（不合題意，舍去）
∴AE＝
∴在Rt△AEH中，
由勾股定理可得，AH＝EH＝，
∴在Rt△AEH中，
由勾股定理可知：FH2＝AF2﹣AH2＝（）2﹣（）2＝2，
∴FH＝，
∴EF＝EH+FH＝．


13、如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點H，連接AC，過弧BD上一點E作EG∥AC交CD的延長線于點G，連接AE交CD于點F，且EG＝FG，連接CE．
（1）求證：△ECF∽△GCE；
（2）求證：EG是⊙O的切線；
（3）延長AB交GE的延長線于點M，若，求EM的值．

（1）證明：如圖1中，

∵AC∥EG，
∴∠G＝∠ACG，
∵AB⊥CD，
∴＝，
∴∠CEF＝∠ACD，
∴∠G＝∠CEF，
∵∠ECF＝∠ECG，[來源:學(xué)科網(wǎng)]
∴△ECF∽△GCE；

（2）證明：如圖2中，連接OE，

∵GF＝GE，
∴∠GFE＝∠GEF＝∠AFH，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
∵∠AFH+∠FAH＝90°，
∴∠GEF+∠AEO＝90°，
∴∠GEO＝90°，
∴GE⊥OE，
∴EG是⊙O的切線．

（3）解：如圖3中，連接OC．設(shè)⊙O的半徑為r．

在Rt△AHC中，tan∠ACH＝tan∠G＝，
∵AH＝3，
∴HC＝4，
在Rt△HOC中，∵OC＝r，OH＝r﹣3，HC＝4，
∴（r﹣3）2+（4）2＝r2，
∴r＝，
∵GM∥AC，
∴∠CAH＝∠M，
∵∠OEM＝∠AHC，
∴△AHC∽△MEO，
∴＝，
∴＝，
∴EM＝．
14、如圖，AB為⊙O的直徑，CD⊥AB于點E，F(xiàn)是CD上一點，且BF＝DF，延長FB至點P，連接CP，使PC＝PF，延長BF與⊙O交于點G，連結(jié)BD，GD．
（1）連結(jié)BC，求證：CD＝GB；
（2）求證：PC是⊙O的切線；
（3）若tanG＝，且AE﹣BE＝，求FD的值．

解：（1）∵BF＝DF，
∴∠BDF＝∠DBF，
在△BCD與△DGB中，
，
∴△BCD≌△DGB（AAS），
∴CD＝GB；
（2）如圖1，連接OC，

∵∠COB＝2∠CDB，∠CFB＝∠CDB+∠DBF＝2∠CDB，
∴∠COB＝∠CFB，
∵PC＝PF，
∴∠COB＝∠CFB＝∠PCF，
∵AB⊥CD，
∴∠COB+∠OCE＝90°，
∴∠PCF+∠OCE＝∠PCO＝90°，
∴OC⊥CP，
∵OC是半徑，
∴PC是⊙O的切線；
（3）如圖2，連接AD，

∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∵AB⊥CD，
∴＝，
∴∠BDE＝∠A＝∠G，
∵tanG＝，
∴tanA＝，即AE＝3DE，[來源:學(xué)*科*網(wǎng)Z*X*X*K]
同理可得：DE＝3BE，
∴AE﹣BE＝3DE﹣DE＝，
解得：DE＝，
∴CD＝2DE＝2，
∴BE＝＝，
∴BD＝＝，
∵∠BCD＝∠FDB，∠BDC＝∠FBD，
∴△BCD∽△FDB，
∴，
∵BC＝BD，
∴FD＝＝＝．


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