?專題14 圓中的存在性綜合問題
1、如圖，AB、CD是⊙O中兩條互相垂直的弦，垂足為點(diǎn)E，且AE＝CE，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，延長FE交AD于點(diǎn)G，已知AE＝1，BE＝3，OE＝．
（1）求證：△AED≌△CEB；
（2）求證：FG⊥AD；
（3）若一條直線l到圓心O的距離d＝，試判斷直線l是否是圓O的切線，并說明理由．


（1）證明：由圓周角定理得：∠A＝∠C，
在△AED和△CEB中，，
∴△AED≌△CEB（ASA）；
（2）證明：∵AB⊥CD，
∴∠AED＝∠CEB＝90°，
∴∠C+∠B＝90°，
∵點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，
∴EF＝BC＝BF，
∴∠FEB＝∠B，
∵∠A＝∠C，∠AEG＝∠FEB＝∠B，
∴∠A+∠AEG＝∠C+∠B＝90°，
∴∠AGE＝90°，
∴FG⊥AD；
（3）解：直線l是圓O的切線，理由如下：
作OH⊥AB于H，連接OB，如圖所示：
∵AE＝1，BE＝3，
∴AB＝AE+BE＝4，
∵OH⊥AB，
∴AH＝BH＝AB＝2，
∴EH＝AH﹣AE＝1，
∴OH＝＝＝1，
∴OB＝＝＝，
即⊙O的半徑為，
∵一條直線l到圓心O的距離d＝＝⊙O的半徑，
∴直線l是圓O的切線．[來源:學(xué)?？?。網(wǎng)]

2、如圖，直徑為10的⊙O經(jīng)過原點(diǎn)O，并且與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，線段OA、OB（OA＞OB）的長分別是方程x2+kx+48＝0的兩根．
（1）求線段OA、OB的長；
（2）已知點(diǎn)C在劣弧OA上，連結(jié)BC交OA于D，當(dāng)OC2＝CD?CB時，求C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在⊙O上是否存在點(diǎn)P，使S△POD＝S△ABD？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

解：（1）連接AB，
∵∠BOA＝90°，
∴AB為直徑，根與系數(shù)關(guān)系得OA+OB＝﹣k，OA×OB＝48；
根據(jù)勾股定理，得OA2+OB2＝100，
即（OA+OB）2﹣2OA×OB＝100，
解得：k2＝196，
∴k＝±14（正值舍去）．
則有方程x2﹣14x+48＝0，
解得：x＝6或8．
又∵OA＞OB，
∴OA＝8，OB＝6；

（2）若OC2＝CD×CB，則△OCB∽△DCO，
∴∠COD＝∠CBO，
又∵∠COD＝∠CBA，
∴∠CBO＝∠CBA，
所以點(diǎn)C是弧OA的中點(diǎn)．
連接O′C交OA于點(diǎn)D，根據(jù)垂徑定理的推論，得O′C⊥OA，
根據(jù)垂徑定理，得OD＝4，
根據(jù)勾股定理，得O′D＝3，
故CD＝2，即C（4，﹣2）；

（3）設(shè)直線BC的解析式是y＝kx+b，把B（0，6），C（4，﹣2）代入得：
，
解得：．
則直線BC的解析式是：y＝﹣2x+6，
令y＝0，
解得：x＝3，
則OD＝3，AD＝8﹣3＝5，
故S△ABD＝×5×6＝15．
若S△ABD＝S△OBD，P到x軸的距離是h，
則×3h＝15，解得：h＝10．
而⊙O′的直徑是10，因而P不能在⊙O′上，
故P不存在．

3、如圖，B，E是⊙O上的兩個定點(diǎn)，A為優(yōu)弧BE上的動點(diǎn)，過點(diǎn)B作BC⊥AB交射線AE于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作CF⊥BC，點(diǎn)D在CF上，且∠EBD＝∠A．

（1）求證：BD與⊙O相切；[來源:Zxxk.Com]
（2）已知∠A＝30°．
①若BE＝3，求BD的長；
②當(dāng)O，C兩點(diǎn)間的距離最短時，判斷A，B，C，D四點(diǎn)所組成的四邊形的形狀，并說明理由．
（1）證明：如圖1，作直徑BG，連接GE，
則∠GEB＝90°，
∴∠G+∠GBE＝90°，
∵∠A＝∠EBD，∠A＝∠G，
∴∠EBD＝∠G，
∴∠EBD+∠GBE＝90°，
∴∠GBD＝90°，
∴BD⊥OB，
∴BD與⊙O相切；

（2）解：如圖2，連接AG，
∵BC⊥AB，
∴∠ABC＝90°，
由（1）知∠GBD＝90°，
∴∠GBD＝∠ABC，
∴∠GBA＝∠CBD，
又∵∠GAB＝∠DCB＝90°，
∴△BCD∽△BAG，
∴＝＝tan30°＝，
又∵Rt△BGE中，∠BGE＝30°，BE＝3，
∴BG＝2BE＝6，
∴BD＝6×＝2；

（3）解：四邊形ABCD是平行四邊形，理由如下，
由（2）知＝，＝，
∴＝，
∵B，E為定點(diǎn)，BE為定值，
∴BD為定值，D為定點(diǎn)，
∵∠BCD＝90°，
∴點(diǎn)C在以BD為直徑的⊙M上運(yùn)動，
∴當(dāng)點(diǎn)C在線段OM上時，OC最小，
此時在Rt△OBM中，＝＝，
∴∠OMB＝60°，
∴MC＝MB，
∴∠MDC＝∠MCD＝30°＝∠A，
∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠ABC＝∠DCB＝90°，
∴AB∥CD，
∴∠A+∠ACD＝180°，
∴∠BDC+∠ACD＝180°，
∴AC∥BD，
∴四邊形ABCD為平行四邊形．

4、如圖，⊙O是△ABC的外接圓，過點(diǎn)A、B兩點(diǎn)分別作⊙O的切線PA、PB交于一點(diǎn)P，連接OP
（1）求證：∠APO＝∠BPO；
（2）若∠C＝60°，AB＝6，點(diǎn)Q是⊙O上的一動點(diǎn)，求PQ的最大值．

（1）證明：連接OA、OB，
∵PA、PB是⊙O的切線，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
在RT△PAO和RT△PBO中，
，
∴RT△PAO≌RT△PBO（HL），
∴∠APO＝∠BPO；
（2）解：∵PA、PB是⊙O的切線，
∴∠PAB＝∠PBA＝∠C＝60°，OP⊥AB，
∴△PAB為等邊三角形，
延長PO交⊙O于Q，連接AQ、BQ，則此時PQ最大，
∵∠APB＝60°，
∴∠APO＝∠BPO＝30°
∴PQ＝2×AP＝2×AB＝2××6＝6．

5、如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，將△ABC沿直線AB翻折得到△ABD，連接CD交AB于點(diǎn)M．E是線段CM上的點(diǎn)，連接BE．F是△BDE的外接圓與AD的另一個交點(diǎn)，連接EF，BF．
（1）求證：△BEF是直角三角形；
（2）求證：△BEF∽△BCA；
（3）當(dāng)AB＝6，BC＝m時，在線段CM上存在點(diǎn)E，使得EF和AB互相平分，求m的值．

（1）證明：∵∠EFB＝∠∠EDB，∠EBF＝∠EDF，
∴∠EFB+∠EBF＝∠EDB+∠EDF＝∠ADB＝90°，
∴∠BEF＝90°，
∴△BEF是直角三角形．

（2）證明：∵BC＝BD，
∴∠BDC＝∠BCD，
∵∠EFB＝∠EDB，
∴∠EFB＝∠BCD，
∵AC＝AD，BC＝BD，[來源:學(xué)_科_網(wǎng)Z_X_X_K]
∴AB⊥CD，
∴∠AMC＝90°，
∵∠BCD+∠ACD＝∠ACD+∠CAB＝90°，
∴∠BCD＝∠CAB，
∴∠BFE＝∠CAB，
∵∠ACB＝∠FEB＝90°，
∴△BEF∽△BCA．

（3）解：設(shè)EF交AB于J．連接AE．
∵EF與AB互相平分，
∴四邊形AFBE是平行四邊形，
∴∠EFA＝∠FEB＝90°，即EF⊥AD，
∵BD⊥AD，
∴EF∥BD，
∵AJ＝JB，
∴AF＝DF，
∴FJ＝BD＝，
∴EF＝m，
∵△ABC∽△CBM，
∴BC：MB＝AB：BC，
∴BM＝，
∵△BEJ∽△BME，
∴BE：BM＝BJ：BE，
∴BE＝，
∵△BEF∽△BCA，
∴＝，
即＝，
解得m＝2（負(fù)根已經(jīng)舍棄）．

6、（1）如圖，∠ABC是⊙O的圓周角，BC為⊙O直徑，BD平分∠ABC交⊙O于點(diǎn)D，CD＝3，BD＝4，則點(diǎn)D到直線AB的距離是　 　
（2）如圖，∠ABC是⊙O的圓周角，BC為⊙O的弦，BD平分∠ABC交⊙O于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為E（E在B、C之間，且不與B、C重合）．探索線段AB、BE、BC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
（3）如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∠ABC＝90°，∠BCD為銳角．BD平分∠ABC，BD＝7，AB＝6．求⊙O的面積．

解：（1）如圖①中，作DF⊥AB于F，DE⊥BC于E．

∵BD平分∠ABC，DF⊥AB，DE⊥BC，
∴DF＝DE，
∵BC是直徑，
∴∠BDC＝90°，
∴BC＝＝＝5，
∵S△BDC＝?BC?DE＝?BD?DC，
∴DE＝，
∴DF＝DE＝．
故答案為；
（2）如圖②中，結(jié)論：AB+BC＝2BE．

理由：作DF⊥BA于F，連接AD，DC．
∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥BA，
∴DF＝DE，∠DFB＝∠DEB＝90°，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠EDF＝180°，
∴∠ADC＝∠EDF，
∴∠FDA＝∠CDE，
∵∠DFA＝∠DEC＝90°，
∴△DFA≌△DEC（ASA），
∴AF＝CE，
∵BD＝BD，DF＝DE，
∴Rt△BDF≌Rt△BDE（HL），
∴BF＝BE，
∴AB+BC＝BF﹣AF+BE+CE＝2BE；
（3）如圖③，連接AC，延長BC至H，使CH＝AB，

∵BD平分∠ABC，∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝∠CBD＝45°，
∴＝，
∴AD＝CD，
∵四邊形ABCD是⊙O內(nèi)接四邊形，
∴∠DCH＝∠BAD，
又∵AD＝CD，AB＝CH，
∴△ABD≌△CHD（SAS）[來源:學(xué)+科+網(wǎng)Z+X+X+K]
∴BD＝DH＝7，∠ABD＝∠DHB＝45°，
∴∠BDH＝180°﹣∠DBH﹣∠DHB＝90°，
∴BH＝＝＝14，
∵AB＝CH＝6，
∴BC＝8，
∵∠ABC＝90°，
∴AC是直徑，
∵AC＝＝＝10，
∴OC＝5，
∴⊙O的面積＝25π．
7、如圖1，在△ABC中，∠ACB＝90°，O是BC邊上一點(diǎn)，以O(shè)B為半徑的⊙O交AB于點(diǎn)E，交C于點(diǎn)D，連接CE，且CE＝CA．
（1）求證：CE是⊙O的切線．
（2）如圖2，連接AD并延長交⊙O于點(diǎn)F，連接EF．
①如果∠BAC＝60°，求證：EF⊥BC．
②如果∠BAC≠60°，EF⊥BC是否還成立？如果成立，請給予證明；如果不成立，請說明理由．

證明：（1）如圖1，連接EO，

∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵CA＝CE，OE＝OB，
∴∠A＝∠CEA，∠B＝∠OEB，
∴∠CEA+∠OEB＝90°，
∴∠CEO＝90°，
∴CE⊥OE，且OE為半徑，
∴CE是⊙O的切線；
（2）如圖2，連接DE，

∵∠BAC＝60°，AC＝CE，
∴△ACE是等邊三角形，
∴AE＝CE＝AC，
∵∠CAB＝60°，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝30°，
∴∠CFD＝∠ABC＝30°，
∵DB是直徑，
∴∠DEB＝90°，
∴∠ACD＝∠AED＝90°，
∵AD＝AD，AC＝AE，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）
∴∠CAD＝∠EAD＝∠CAB＝30°，
∵∠BEF＝∠DAE+∠DFE，
∴∠BEF＝60°，
∴∠BHE＝180°﹣∠CBE﹣∠BEF＝90°，
∴EF⊥BC；
②仍然成立，
理由如下：如圖3，連接OE，DE，

∵DB是直徑，
∴∠DEB＝90°，
∴∠ACD＝∠AED＝90°，
∴點(diǎn)A，點(diǎn)C，點(diǎn)D，點(diǎn)E四點(diǎn)共圓，
∴∠CAD＝∠CED，
∵∠CEO＝90°＝∠BED，
∴∠CED＝∠OEB，
∴∠CAD＝∠OEB，
∵∠OEB＝∠OBE＝∠DFE，
∴∠CAD＝∠DFE，
∴AC∥EF，
∴∠ACB＝∠EHB＝90°，
∴EF⊥BC．
8、如圖1，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，BD上，且BE＝1，過三點(diǎn)C，E，F(xiàn)作⊙O交CD于點(diǎn)G．

（1）證明∠EFG＝90°．[來源:Zxxk.Com]
（2）如圖2，連結(jié)AF，當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動至點(diǎn)A，F(xiàn)，G三點(diǎn)共線時，求△ADF的面積．
（3）在點(diǎn)F整個運(yùn)動過程中，
①當(dāng)EF，F(xiàn)G，CG中滿足某兩條線段相等，求所有滿足條件的BF的長．
②連接EG，若＝時，求⊙O的半徑（請直接寫出答案）．
解：（1）連結(jié) EG．
在正方形 ABCD 中，得∠C＝90°．
∴EG 為⊙O 的直徑，
∴∠EFG＝90°．

（2）過點(diǎn) F 作 AD 的垂線分別交 AD，BC 于點(diǎn) M，N（如圖 1）．

由（1）得：∠AFE＝90°，∠ADF＝45°．
∴設(shè) MF＝MD＝a，
且 AD＝MN，
∴AM＝FN，
∵∠NFE+∠AFM＝∠AFM+∠MAF，
∴∠NFE＝∠MAF，
∴△AMF≌△FNE（AAS），
∴MF＝EN，
即 a＝3﹣a，
∴a＝1.5，
∴S△ADE＝×4×1.5＝3．

（3）①Ⅰ當(dāng)EF＝CG 時（如圖 2）．

∴EF＝CG．
∴EF∥CG．
∴∠BEF＝∠C＝90°．
∴BE＝EF＝1．
∴BF＝．
Ⅱ當(dāng) EF＝FG 時（如圖 3）．

∵EF＝FG，
∴＝，
∴∠ECF＝∠ACE＝45°，
∴點(diǎn) A，C，E 共線．
∴F 為對角線的交點(diǎn)．
∴BF＝BD＝2．
Ⅲ當(dāng)GF＝GC時，點(diǎn) F 作 AD 的垂線分別交 AD，BC 于點(diǎn) M，N．

∵∠ECG＝90°，
∴EG是直徑，
∴∠EFG＝90°，
∴∠ECG＝∠EFG＝90°，
∵EG＝EG，EG＝GC，
∴Rt△EGF≌Rt△EGC（HL），
∴EF＝CE，
∴EF＝CE＝3，設(shè) FN＝x．
則AM＝BN＝x．
∴EN＝x﹣1．
根據(jù)EN2+FN2＝EF2，
得：（x﹣1）2+x2＝32，
解得x＝或（舍棄），
∴BF＝NF＝，
∴綜上所述，所有滿足條件的 BF 長分別為，2，．

②如圖4中，連接EG，作EM⊥BD于M，GN⊥BD于N．

由△EMF∽△FNG，可得＝＝＝，設(shè)FM＝x，
則GN＝DN＝2x，EM＝BM＝，F(xiàn)M＝，
∵BD＝4，
∴++3x＝4，
∴x＝，
∴DG＝DN＝，
∴CG＝CD﹣DG＝4﹣＝，
∴EG＝＝＝，
∴⊙O的半徑為．
9、如圖，已知AB是⊙O的弦，點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)，D是弦AB上一動點(diǎn)，且不與A、B重合，CD的延長線交于⊙O點(diǎn)E，連接AE、BE，過點(diǎn)A作AF⊥BC，垂足為F，∠ABC＝30°．
（1）求證：AF是⊙O的切線；
（2）若BC＝6，CD＝3，則DE的長為　 ??；
（3）當(dāng)點(diǎn)D在弦AB上運(yùn)動時，的值是否發(fā)生變化？如果變化，請寫出其變化范圍；如果不變，請求出其值．

（1）證明：如圖1中，連接AC，OC，OA．

∵∠AOC＝2∠ABC＝60°，OA＝OC，
∴△AOC是等邊三角形，
∴∠CAO＝60°，
∵＝，
∴AB⊥OC，
∴∠OAD＝∠OAC＝30°，
∵∠ABC＝30°，
∴∠ABC＝∠OAD，
∴OA∥BF，
∵AF⊥BF，
∴OA⊥AF，
∴AF是⊙O的切線．

（2）解：∵＝，
∴∠CBD＝∠BEC，
∵∠BCD＝∠BCE，
∴△BCD∽△ECB，
∴＝，
∴＝，
∴EC＝12，
∴DE＝EC﹣CD＝12﹣3＝9．
故答案為9．

（3）解：結(jié)論：＝，的值不變．
理由：如圖2中，連接AC，OC，OC交AB于H，作AN∥EC交BE的延長線于N．

∵＝，
∴OC⊥AB，CB＝CA，
∴BH＝AH＝AB，
∵∠ABC＝30°，
∴BH＝BC，
∴AC＝AB，
∵CE∥AN，
∴∠N＝∠CEB＝30°，∠EAN＝∠AEC＝∠ABC＝30°，
∴∠CEA＝∠ABC＝30°，∠EAN＝∠N，
∴∠N＝∠AEC，AE＝EN，
∵∠ACE＝∠ABN，
∴△ACE∽△ABN，
∴＝＝，
∴＝，
∴的值不變．

10、如圖1，在直角坐標(biāo)系中，直線l與x、y軸分別交于點(diǎn)A（2，0）、B（0，）兩點(diǎn)，∠BAO的角平分線交y軸于點(diǎn)D．點(diǎn)C為直線l上一點(diǎn)，以AC為直徑的⊙G經(jīng)過點(diǎn)D，且與x軸交于另一點(diǎn)E．
（1）求出⊙G的半徑r，并直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）如圖2，若點(diǎn)F為⊙G上的一點(diǎn)，連接AF，且滿足∠FEA＝45°，請求出EF的長？

解：（1）連接GD，EC．
∵∠OAB的角平分線交y軸于點(diǎn)D，
∴∠GAD＝∠DAO，
∵GD＝GA，
∴∠GDA＝∠GAD，
∴∠GDA＝∠DAO，
∴GD∥OA，
∴∠BDG＝∠BOA＝90°，
∵GD為半徑，
∴y軸是⊙G的切線；
∵A（2，0），B（0，），
∴OA＝2，OB＝，
在Rt△AOB中，由勾股定理可得：AB＝＝＝
設(shè)半徑GD＝r，則BG＝﹣r，
∵GD∥OA，
∴△BDG∽△BOA，
∴＝，
∴r＝2（﹣r），
∴r＝，
∵AC是直徑，
∴∠AEC＝∠AOB＝90°，
∴EC∥OB，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴EC＝2，AE＝，
∴OE＝2﹣＝，
∴C的坐標(biāo)為（，2）；

（2）過點(diǎn)A作AH⊥EF于H，連接CE、CF，
∵AC是直徑，
∴AC＝2×＝
∴∠AEC＝∠AFC＝90°
∵∠FEA＝45°
∴∠FCA＝45°
∴在Rt△AEH中，
由勾股定理可知：AF＝CF＝，
設(shè)OE＝a
∴AE＝2﹣a
∵CE∥OB
∴△ACE∽△ABO
∴＝，
∴CE＝2，
∵CE2+AE2＝AC2，
∴22+（2﹣a）2＝
∴a＝或a＝（不合題意，舍去）
∴AE＝
∴在Rt△AEH中，
由勾股定理可得，AH＝EH＝，
∴在Rt△AEH中，
由勾股定理可知：FH2＝AF2﹣AH2＝（）2﹣（）2＝2，
∴FH＝，
∴EF＝EH+FH＝．







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