專題15 二次函數(shù)中的圓和直線相切問題-2021-2022學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)難點(diǎn)突破（人教版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

專題15 二次函數(shù)中的圓和直線相切問題【模型展示】圓與拋物線以及與坐標(biāo)系相交，根據(jù)拋物線的解析式可求交點(diǎn) 坐標(biāo)，根據(jù)交點(diǎn)可求三角形的邊長(zhǎng)，由于圓的位置不同，三角形的形狀也不同。再根據(jù)三角形的形狀，再解決其它問題。【精典講解】1、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M的坐標(biāo)是（5，4），⊙M與y軸相切于點(diǎn)C，與x軸相交于A，B兩點(diǎn)．（1）則點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別是A （2，0），B （8，0），C （0，4）；（2）設(shè)經(jīng)過A，B兩點(diǎn)的拋物線解析式為y=（x-5）2+k，它的頂點(diǎn)為E，求證：直線EA與⊙M相切；（3）在拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)P，且點(diǎn)P在x軸的上方，使△PBC是等腰三角形？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 2、如圖，已知拋物線y=-（x2-7x+6）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M，與x軸相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C．（1）用配方法將拋物線的解析式化為頂點(diǎn)式：y=a（x-h）2+k（a≠0），并指出頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）在拋物線的對(duì)稱軸上找點(diǎn)R，使得CR+AR的值最小，并求出其最小值和點(diǎn)R的坐標(biāo)；（3）以AB為直徑作⊙N交拋物線于點(diǎn)P（點(diǎn)P在對(duì)稱軸的左側(cè)），求證：直線MP是⊙N的切線． 3、已知二次函數(shù)y＝－x2＋bx＋c＋1.(1)當(dāng)b＝1時(shí)，求這個(gè)二次函數(shù)的對(duì)稱軸的方程；(2)若c＝－b2－2b，問：b為何值時(shí)，二次函數(shù)的圖象與x軸相切；(3)如圖所示，若二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A(x1，0)，B(x2，0)，且x1＜x2，與y軸的正半軸交于點(diǎn)M，以AB為直徑的半圓恰好經(jīng)過點(diǎn)M，二次函數(shù)的對(duì)稱軸l與x軸，直線BM，直線AM分別相交于點(diǎn)D，E，F，且滿足＝，求二次函數(shù)的表達(dá)式． 4、如圖所示，已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(2，1)，并且經(jīng)過點(diǎn)(4，2)．直線y＝x＋1與拋物線交于B，D兩點(diǎn)，以BD為直徑作圓，圓心為點(diǎn)C，⊙C與直線m交于對(duì)稱軸右側(cè)的點(diǎn)M(t，1)．直線m上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)都等于1.(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)證明：⊙C與x軸相切；(3)過點(diǎn)B作BE⊥m，垂足為E，再過點(diǎn)D作DF⊥m，垂足為F.求BE∶MF的值． 5、已知拋物線y＝x2＋mx－2m－4(m>0)．(1)證明：該拋物線與x軸總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．(2)設(shè)該拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A，B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，A，B，C三點(diǎn)都在⊙P上．①試判斷：不論m取任何正數(shù)，⊙P是否經(jīng)過y軸上某個(gè)定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，說(shuō)明理由；②若點(diǎn)C關(guān)于直線x＝－的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E，點(diǎn)D(0，1)，連結(jié)BE，BD，DE，△BDE的周長(zhǎng)記為l，⊙P的半徑記為r，求的值．設(shè)BD＝a，BE＝2a，則DE＝a，∴＝＝. 6、在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2＋x＋c的圖象經(jīng)過點(diǎn)C(0，2)和點(diǎn)D(4，－2)，點(diǎn)E是直線y＝－x＋2與二次函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)E的坐標(biāo)；(2)如圖1，若點(diǎn)M是二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)，且在直線CE的上方，連結(jié)MC，OE，ME，求四邊形COEM面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)如圖2，經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)的圓交y軸于點(diǎn)F，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．7、若拋物線L：y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，abc≠0）與直線l都經(jīng)過y軸上的同一點(diǎn)，且拋物線L的頂點(diǎn)在直線l上，則稱次拋物線L與直線l具有“一帶一路”關(guān)系，并且將直線l叫做拋物線L的“路線”，拋物線L叫做直線l的“帶線”．（1）若“路線”l的表達(dá)式為y=2x﹣4，它的“帶線”L的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣1，求“帶線”L的表達(dá)式；（2）如果拋物線y=mx2﹣2mx+m﹣1與直線y=nx+1具有“一帶一路”關(guān)系，求m，n的值；（3）設(shè)（2）中的“帶線”L與它的“路線”l在y軸上的交點(diǎn)為A．已知點(diǎn)P為“帶線”L上的點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)P為圓心的圓與“路線”l相切于點(diǎn)A時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．8、如圖①已知拋物線y=ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y的正半軸交于點(diǎn)C，連結(jié)BC，二次函數(shù)的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為E．（1）拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)E坐標(biāo)為_____，點(diǎn)A的坐標(biāo)為_____；（2）若以E為圓心的圓與y軸和直線BC都相切，試求出拋物線的解析式；（3）在（2）的條件下，如圖②Q（m，0）是x的正半軸上一點(diǎn)，過點(diǎn)Q作y軸的平行線，與直線BC交于點(diǎn)M，與拋物線交于點(diǎn)N，連結(jié)CN，將△CMN沿CN翻折，M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M′．在圖②中探究：是否存在點(diǎn)Q，使得M′恰好落在y軸上？若存在，請(qǐng)求出Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．9、如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，經(jīng)過C（1，1）的拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）頂點(diǎn)為M，與x軸正半軸交于A，B兩點(diǎn)．（1）如圖1，連接OC，將線段OC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)使得C落在y軸的正半軸上，求線段OC過的面積；（2）如圖2，延長(zhǎng)線段OC至N，使得ON＝OC，若∠ONA＝∠OBN且tan∠BAM＝，求拋物線的解析式；（3）如圖3，已知以直線x＝為對(duì)稱軸的拋物線y＝ax2+bx+c交y軸于（0，5），交直線l：y＝kx+m（k＞0）于C，D兩點(diǎn)，若在x軸上有且僅有一點(diǎn)P，使∠CPD＝90°，求k的值．10、如圖1，拋物線與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左邊），O為坐標(biāo)原點(diǎn)．點(diǎn)D是直線BC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE∥x軸交直線BC于點(diǎn)E．點(diǎn)P為∠CAB角平分線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ⊥BC于點(diǎn)H，交x軸于點(diǎn)Q；點(diǎn)F是直線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）當(dāng)線段DE的長(zhǎng)度最大時(shí)，求DF+FQ+PQ的最小值．（2）如圖2，將△BOC沿BC邊所在直線翻折，得到△BOC′，點(diǎn)M為直線BO′上一動(dòng)點(diǎn)，將△AOC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度（0°＜α＜180°）得到△A′OC′，當(dāng)直線A′C′，直線BO′，直線OM圍成的圖形是等腰直角三角形時(shí)，直接寫出該等腰直角三角形的面積．11、如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A、B（A左B右），與y軸交于C，直線y＝﹣x+5經(jīng)過點(diǎn)B、C．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P為第二象限拋物線上一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P橫坐標(biāo)為m，點(diǎn)P到直線BC的距離為d，求d與m的函數(shù)解析式；（3）在（2）的條件下，若∠PCB+∠POB＝180°，求d的值．12、在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)“隔離直線”給出如下定義：點(diǎn)是圖形上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)是圖形上的任意一點(diǎn)，若存在直線：滿足且，則稱直線：是圖形與的“隔離直線”，如圖，直線：是函數(shù)的圖像與正方形的一條“隔離直線”.
（1）在直線①，②，③，④中，是圖函數(shù)的圖像與正方形的“隔離直線”的為 .（2）如圖，第一象限的等腰直角三角形的兩腰分別與坐標(biāo)軸平行，直角頂點(diǎn)的坐標(biāo)是，⊙O的半徑為，是否存在與⊙O的“隔離直線”？若存在，求出此“隔離直線”的表達(dá)式：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）正方形的一邊在軸上，其它三邊都在軸的左側(cè)，點(diǎn)是此正方形的中心，若存在直線是函數(shù)的圖像與正方形的“隔離直線”，請(qǐng)直接寫出的取值范圍.13、如圖，已知直角坐標(biāo)平面上的，，，且，，．若拋物線經(jīng)過、兩點(diǎn)．求、的值；將拋物線向上平移若干個(gè)單位得到的新拋物線恰好經(jīng)過點(diǎn)，求新拋物線的解析式；設(shè)中的新拋物的頂點(diǎn)點(diǎn)，為新拋物線上點(diǎn)至點(diǎn)之間的一點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心畫圖，當(dāng)與軸和直線都相切時(shí)，聯(lián)結(jié)、，求四邊形的面積．14、如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線y=﹣x﹣1與x軸，y軸的交點(diǎn)分別為A、B，以x=﹣1為對(duì)稱軸的拋物線y=x2+bx+c與x軸分別交于點(diǎn)A、C，直線x=﹣1與x軸交于點(diǎn)D．（1）求拋物線的解析式；（2）在線段AB上是否存在一點(diǎn)P，使以A，D，P為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）若點(diǎn)Q在第三象限內(nèi)，且tan∠AQD=2，線段CQ是否存在最小值，如果存在直接寫出最小值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．15、如圖，拋物線y＝ax2+bx+6與x軸交于點(diǎn)A（6，0），B（﹣1，0），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)M為該拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，當(dāng)CM+BM最小時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．（3）拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△BCP為等腰三角形？若存在，有幾個(gè)？并請(qǐng)?jiān)趫D中畫出所有符合條件的點(diǎn)P，（保留作圖痕跡）；若不存在，說(shuō)明理由．

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