?專題06二次函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用

高中必備知識(shí)點(diǎn)1：平移變換

問題1 在把二次函數(shù)的圖象進(jìn)行平移時(shí)，有什么特點(diǎn)？依據(jù)這一特點(diǎn)，可以怎樣來研究二次函數(shù)的圖象平移？
我們不難發(fā)現(xiàn)：在對(duì)二次函數(shù)的圖象進(jìn)行平移時(shí)，具有這樣的特點(diǎn)——只改變函數(shù)圖象的位置、不改變其形狀，因此，在研究二次函數(shù)的圖象平移問題時(shí)，只需利用二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)式研究其頂點(diǎn)的位置即可．

典型考題

【典型例題】
如圖，拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為D．
?求a和b的值；
將拋物線沿y軸方向上下平移，使頂點(diǎn)D落在x軸上．
求平移后所得圖象的函數(shù)解析式；
若將平移后的拋物線，再沿x軸方向左右平移得到新拋物線，若時(shí)，新拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)有最小值2，求平移的方向和單位長(zhǎng)度．

【答案】將拋物線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度或向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度．
【解析】
代入，
得：，解得：．
，
拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為．
將拋物線沿y軸平移后，頂點(diǎn)D落在x軸上，
平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
平移后的拋物線為，即．
若將拋物線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，則新拋物線的解析式為，
時(shí)，新拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)有最小值2，
新拋物線必過點(diǎn)，
，

解得：舍去；
若將拋物線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，則新拋物線的解析式為，
時(shí)，新拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)有最小值2，
新拋物線必過點(diǎn)．
，
解得：舍去．
將拋物線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度或向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度．

【變式訓(xùn)練】
已知拋物線，把它向上平移，得到的拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，若是直角三角形，那么原拋物線應(yīng)向上平移幾個(gè)單位？
【答案】向上平移3個(gè)單位．
【解析】
由題意知，必為等腰直角三角形，設(shè)平移后的拋物線為，
則，
代入拋物線方程得：，
舍去．
所以向上平移3個(gè)單位．

【能力提升】
已知拋物線y＝x（x﹣2）+2．
（1）用配方法把這個(gè)拋物線的表達(dá)式化成y＝a（x+m）2+k的形式，并寫出它的項(xiàng)點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）將拋物線y＝x（x﹣2）+2上下平移，使頂點(diǎn)移到x軸上，求新拋物線的表達(dá)式．
【答案】（1）y＝（x﹣1）2+1，它的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，1）；（2）圖象向下平移1個(gè)單位得到：y＝（x﹣1）2．
【解析】
（1）y=x（x﹣2）+2=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，它的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，1）；
（2）∵將拋物線y=x（x﹣2）+2上下平移，使頂點(diǎn)移到x軸上，∴圖象向下平移1個(gè)單位得到：
y=（x﹣1）2．


高中必備知識(shí)點(diǎn)2：對(duì)稱變換

在把二次函數(shù)的圖象關(guān)于與坐標(biāo)軸平行的直線進(jìn)行對(duì)稱變換時(shí)，有什么特點(diǎn)？依據(jù)這一特點(diǎn)，可以怎樣來研究二次函數(shù)的圖象平移？
我們不難發(fā)現(xiàn)：在把二次函數(shù)的圖象關(guān)于與坐標(biāo)軸平行的直線進(jìn)行對(duì)稱變換時(shí)，具有這樣的特點(diǎn)——只改變函數(shù)圖象的位置或開口方向、不改變其形狀，因此，在研究二次函數(shù)圖象的對(duì)稱變換問題時(shí)，關(guān)鍵是要抓住二次函數(shù)的頂點(diǎn)位置和開口方向來解決問題．

典型考題

【典型例題】
如圖，拋物線y=ax2-2x+c(a≠0)與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)，已知點(diǎn)(-2,0)，C(0,-8)，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
(2)如圖，拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E，第四象限的拋物線上有一點(diǎn)P，將△EB直線EP折疊，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'落在拋物線的對(duì)稱軸上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

【答案】(1)y=x2﹣2x﹣8；D(1，﹣9)；(2)P()．
【解析】
(1)將點(diǎn)A、點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：，
解得：a=1，c=﹣8．
∴拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣8．
∵y=(x﹣1)2﹣9，
∴D(1，﹣9)．
(2)將y=0代入拋物線的解析式得：x2﹣2x﹣8=0，解得x=4或x=﹣2，
∴B(4，0)．
∵y=(x﹣1)2﹣9，
∴拋物線的對(duì)稱軸為x=1，
∴E(1，0)．
∵將△EBP沿直線EP折疊，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'落在拋物線的對(duì)稱軸上，
∴EP為∠BEF的角平分線．
∴∠BEP=45°．
設(shè)直線EP的解析式為y=﹣x+b，將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入得：﹣1+b=0，解得b=1，
∴直線EP的解析式為y=﹣x+1．
將y=﹣x+1代入拋物線的解析式得：﹣x+1=x2﹣2x﹣8，解得：x=或x=．
∵點(diǎn)P在第四象限，
∴x=．
∴y=．
∴P()．

【變式訓(xùn)練】
已知二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,-2),且與y軸交于（0,）.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)若點(diǎn)(p,m)和點(diǎn)(q,n)都在該拋物線上,若p>q>5,判斷m和n的大小.
【答案】（1）y=(x-3)2-2.（2）m>n.
【解析】
(1)由題意設(shè)函數(shù)的解析式為y=a(x-3)2-2,
根據(jù)題意得9a-2=
解得a=，
所以函數(shù)解析式是y=(x-3)2-2.
(2)因?yàn)閍=>0,所以拋物線開口向上,
又因?yàn)槎魏瘮?shù)的對(duì)稱軸是直線x=3.
所以當(dāng)x>3時(shí),y隨x增大而增大,
因?yàn)閜>q>5>3,
所以m>n.

【能力提升】
已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)（1，-2）．
（1）求的值；
（2）若點(diǎn)A（m，y1）、B（n，y2）（m＜n＜3）都在該拋物線上，試比較y1與y2的大?。?br /> 【答案】（1）a=-1；（2）y1＜y2．
【解析】
(1)、∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)（1，-2）， ∴，解得a=-1；
(2)、∵函數(shù)的對(duì)稱軸為x=3，
∴ A（m，y1）、B（n，y2）（m＜n＜3）在對(duì)稱軸左側(cè)，
又∵拋物線開口向下，∴ 對(duì)稱軸左側(cè)y隨x的增大而增大， ∵ m＜n＜3，∴ y1＜y2．

高中必備知識(shí)點(diǎn)3：分段函數(shù)

一般地，如果自變量在不同取值范圍內(nèi)時(shí)，函數(shù)由不同的解析式給出，這種函數(shù)，叫作分段函數(shù)．

典型考題

【典型例題】
函數(shù)，則的值是___．
【答案】0
【解析】
∵函數(shù)f（x），
∴f（1）＝1﹣1＝0，
f（f（1））＝f（0）＝0．
故答案為：0．

【變式訓(xùn)練】
已知函數(shù)，若，則_________．
【答案】
【解析】
，故，填．

【能力提升】
函數(shù)__________．
【答案】1.
【解析】
由題意得．
故答案為：1．
專題驗(yàn)收測(cè)試題
1．如圖，在四邊形中，，，，， ，動(dòng)點(diǎn)，同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)以的速度沿折線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，點(diǎn)以的速度沿運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，設(shè)，同時(shí)出發(fā)時(shí)，的面積為，則與的函數(shù)圖象大致是( )

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
解：作AE⊥BC于E，根據(jù)已知可得，

AB2=42+（6-3）2，
解得，AB=5cm．
下面分三種情況討論:
當(dāng)0≤t≤2.5時(shí)：P點(diǎn)由B到A，,y是t的二次函數(shù).最大面積= 5 cm2;
當(dāng)2.5≤t≤4時(shí)，即P點(diǎn)在AD上時(shí)，, y是t的一次函數(shù)且最大值=;
當(dāng)4≤t≤6時(shí)，即P點(diǎn)從D到C時(shí)，y是t的二次函數(shù)
故符合y與t的函數(shù)圖象是B．
故選：B．
2．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，DC＝4cm，BC＝6cm，AD＝3cm，動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)P以2cm/s的速度沿折線BA﹣AD﹣DC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，點(diǎn)Q以1cm/s的速度沿BC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，設(shè)P，Q同時(shí)出發(fā)xs時(shí)，△BPQ的面積為ycm2．則y與x的函數(shù)圖象大致是（　?。?br />
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
作AE⊥BC于E，根據(jù)已知可得，

AB2＝42+（6﹣3）2，
解得，AB＝5cm．
當(dāng)0≤x≤2.5時(shí)：P點(diǎn)由B到A，△BPQ的面積從小到大，且達(dá)到最大此時(shí)面積＝×2.5×4＝5cm2．
當(dāng)2.5≤x≤4時(shí)，即P點(diǎn)在AD上時(shí)，，且增大值為：；
當(dāng)4≤x≤6時(shí)，即P點(diǎn)從D到C時(shí)，y＝＝﹣x2+6x．
故符合y與x的函數(shù)圖象大致是B．
故選B．
3．如圖，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，點(diǎn)P是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合），現(xiàn)將△PCD沿直線PD折疊，使點(diǎn)C落到點(diǎn)C′處；作∠BPC′的角平分線交AB于點(diǎn)E，設(shè)BP＝x，BE＝y(tǒng)，則下列圖象中，能表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（　?。?br />
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
解：如圖，連接DE，∵△PC′D是△PCD沿PD折疊得到，
∴∠CPD＝∠C′PD，
∵PE平分∠BPC′，
∴∠BPE＝∠C′PE，
∴∠EPC′+∠DPC′＝×180°＝90°，
∴△DPE是直角三角形，
∵BP＝x，BE＝y(tǒng)，AB＝3，BC＝5，
∴AE＝AB﹣BE＝3﹣y，CP＝BC﹣BP＝5﹣x，
在Rt△BEP中，PE2＝BP2+BE2＝x2+y2，
在Rt△ADE中，DE2＝AE2+AD2＝（3﹣y）2+52，
在Rt△PCD中，PD2＝PC2+CD2＝（5﹣x）2+32，
在Rt△PDE中，DE2＝PE2+PD2，
則（3﹣y）2+52＝x2+y2+（5﹣x）2+32，
整理得，﹣6y＝2x2﹣10x，
所以y＝（0＜x＜5），
縱觀各選項(xiàng)，只有D選項(xiàng)符合．
故選：D．

4．某種圓形合金板材的成本y（元）與它的面積（cm2）成正比，設(shè)半徑為xcm，當(dāng)x＝3時(shí)，y＝18，那么當(dāng)半徑為6cm時(shí)，成本為（　　）
A．18元 B．36元 C．54元 D．72元
【答案】D
【解析】
解：根據(jù)題意設(shè)y＝kπx2，
∵當(dāng)x＝3時(shí)，y＝18，
∴18＝kπ?9，
則k＝，
∴y＝kπx2＝?π?x2＝2x2，
當(dāng)x＝6時(shí)，y＝2×36＝72，
故選：D．
5．把一個(gè)足球垂直于水平地面向上踢，該足球距離地面的高度（米）與所經(jīng)過的時(shí)間（秒）之間的關(guān)系為. 若存在兩個(gè)不同的的值，使足球離地面的高度均為（米），則的取值范圍（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
∵a≥0，由題意得方程
10t-t2=a有兩個(gè)不相等的實(shí)根
∴△=b2-4ac=102+4××a＞0得0≤a＜50
又∵0≤t≤14
∴當(dāng)t=14時(shí)，a=h=10×14-×142=42
所以a的取值范圍為：42≤a＜50
故選：C．
6．汽車剎車后行駛的距離s（單位：米）關(guān)于行駛的時(shí)間t（單位：秒）的函數(shù)解析式為s=-6t2+bt（b為常數(shù)）．已知t=時(shí)，s=6，則汽車剎車后行駛的最大距離為（　　）
A．米 B．8米 C．米 D．10米
【答案】C
【解析】
解：把t=，s=6代入s=-6t2+bt得，
6=-6×+b×，
解得，b=15
∴函數(shù)解析式為s=-6t2+15t=-6（t-）2+，
∴當(dāng)t=時(shí)，s取得最大值，此時(shí)s=，
故選：C．
7．已知直線y＝n與二次函數(shù)y＝（x﹣2）2﹣1的圖象交于點(diǎn)B，點(diǎn)C，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為A，當(dāng)△ABC是等腰直角三角形時(shí)，則n的值為（　?。?br /> A．1 B． C．2﹣ D．2+
【答案】A
【解析】
設(shè)B（x1，n）、C（x2，n），作AD⊥BC，垂足為D連接AB，AC，

∵y＝（x﹣2）2﹣1，
∴頂點(diǎn)A（2，﹣1），
AD＝n﹣（﹣1）＝n+1
∵直線y＝n與二次函數(shù)y＝（x﹣2）2﹣1的圖象交于點(diǎn)B、C，
∴（x﹣2）2﹣1＝n，
化簡(jiǎn)，得x2﹣4x+2﹣2n＝0，
x1+x2＝4，x1x2＝2﹣2n，
∴BC＝|x1﹣x2|＝，
∵點(diǎn)B、C關(guān)于對(duì)稱軸直線AD對(duì)稱，
∴D為線段BC的中點(diǎn)，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AD＝BC，
即BC＝2AD
＝2（n+1），
∴（2+2n）＝（n+1）2，
化簡(jiǎn)，得n2＝1，
∴n＝1或﹣1，
n＝﹣1時(shí)直線y＝n經(jīng)過點(diǎn)A，不符合題意舍去，
所以n＝1．
故選：A．
8．如圖，跳臺(tái)滑雪是冬季奧運(yùn)會(huì)比賽項(xiàng)目之一，運(yùn)動(dòng)員起跳后的飛行路線可以看作是拋物線的一部分，運(yùn)動(dòng)員起跳后的豎直高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如圖記錄了某運(yùn)動(dòng)員起跳后的x與y的三組數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)模型和數(shù)據(jù)，可推斷出該運(yùn)動(dòng)員起跳后飛行到最高點(diǎn)時(shí)，水平距離為（ ）

A．10m B．20m C．15m D．22.5m
【答案】C
【解析】
根據(jù)題意知，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)（0，54.0）、（40，46.2）、（20，57.9），
則，
解得：，
所以x=-=15（m）．
故選C．
9．足球運(yùn)動(dòng)員將足球沿與地面成一定角度的方向踢出，足球飛行的路線是一條拋物線，不考慮空氣阻力，足球距離地面的高度h（單位：m）與足球被踢出后經(jīng)過的時(shí)間t（單位：s）之間的關(guān)系如下表：
t
0
1
2
3
4
5
6
7
…
h
0
8
14
18
20
20
18
14
…
下列結(jié)論：①足球距離地面的最大高度為20m；②足球飛行路線的對(duì)稱軸是直線t=；③足球被踢出9s時(shí)落地；④足球被踢出1.5s時(shí)，距離地面的高度是11m，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　?。?br /> A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
解：由題意，拋物線的解析式為y=at(t-9)，把(1，8)代入可得a=-1，
∴y=-t2+9t=-(t-4.5)2+20.25，
∴足球距離地面的最大高度為20.25m，故①錯(cuò)誤，
∴拋物線的對(duì)稱軸t=4.5，故②正確，
∵t=9時(shí)，y=0，
∴足球被踢出9s時(shí)落地，故③正確，
∵t=1.5時(shí)，y=11.25，故④錯(cuò)誤，
∴正確的有②③.
故選B.
10．某一型號(hào)飛機(jī)著陸后滑行的距離S（單位：米）關(guān)于滑行的時(shí)間t（單位：秒）之間的函數(shù)解析式是S＝﹣1.5t2+60t，則該型號(hào)飛機(jī)著陸后滑行（　?。┟氩拍芡Ｏ聛恚?br /> A．600 B．300 C．40 D．20
【答案】D
【解析】
解：由題意，
s＝﹣1.5t2+60t，
＝﹣1.5（t2﹣40t+400﹣400）
＝﹣1.5（t﹣20）2+600，
即當(dāng)t＝20秒時(shí)，飛機(jī)才能停下來．
故選：D．
11．如圖是拋物線形拱橋，P處有一照明燈，水面OA寬4m，從O、A兩處雙測(cè)P處，仰角分別為α、β，且tanα＝，tanβ＝，以O(shè)為原點(diǎn)，OA所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系． P點(diǎn)坐標(biāo)為_____；若水面上升1m，水面寬為_____m．

【答案】；
【解析】
解：（1）過點(diǎn)P作PH⊥OA于H，如圖．
設(shè)PH＝3x，
在Rt△OHP中，
∵tanα＝，
∴OH＝6x．
在Rt△AHP中，
∵tanβ＝，
∴AH＝2x，
∴OA＝OH+AH＝8x＝4，
∴x＝，
∴OH＝3，PH＝，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，）；
故答案是：（3，）；
（2）若水面上升1m后到達(dá)BC位置，如圖，

過點(diǎn)O（0，0），A（4，0）的拋物線的解析式可設(shè)為y＝ax（x﹣4），
∵P（3，）在拋物線y＝ax（x﹣4）上，
∴3a（3﹣4）＝，
解得a＝﹣，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x（x﹣4）．
當(dāng)y＝1時(shí)，﹣x（x﹣4）＝1，
解得x1＝2+，x2＝2﹣，
∴BC＝（2+）﹣（2﹣）＝2．
故答案是：2．
12．某一房間內(nèi)A、B兩點(diǎn)之間設(shè)有探測(cè)報(bào)警裝置，小車（不計(jì)大?。┰诜块g內(nèi)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)小車從AB之間經(jīng)過時(shí)，將觸發(fā)報(bào)警．現(xiàn)將A、B兩點(diǎn)放置于平面直角坐標(biāo)系xOy中（如圖）已知點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（0，4），（5，4），小車沿拋物線y=ax2-2ax-3a運(yùn)動(dòng)．若小車在運(yùn)動(dòng)過程中只觸發(fā)一次報(bào)警，則a的取值范圍是______

【答案】a＜-或a＞
【解析】
解：拋物線y=ax2-2ax-3a=a（x+1）（x-3），
∴其對(duì)稱軸為：x=1，且圖象與x軸交于（-1，0），（3，0）．
當(dāng)拋物線過點(diǎn)（0，4）時(shí)，代入解析式得4=-3a，
∴a=，由對(duì)稱軸為x=1及圖象與x軸交于（-1，0），（3，0）可知，當(dāng)a＜時(shí)，拋物線與線段AB只有一個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)拋物線過點(diǎn)（5，4）時(shí)，代入解析式得25a-10a-3a=4，
∴a=，同理可知當(dāng)a＞時(shí)，拋物線與線段AB只有一個(gè)交點(diǎn)．
故答案為：a＜或a＞．
13．為了節(jié)省材料，某農(nóng)場(chǎng)主利用圍墻（圍墻足夠長(zhǎng)）為一邊，用總長(zhǎng)為80m的籬笆圍成了如圖所示的①②③三塊矩形區(qū)域，而且這三塊矩形區(qū)域的面積相等，則能圍成的矩形區(qū)域ABCD的面積最大值是___m2．

【答案】300．
【解析】
如圖，

∵三塊矩形區(qū)域的面積相等，
∴矩形AEFD面積是矩形BCFE面積的2倍，
∴AE＝2BE，
設(shè)BC＝x，BE＝FC＝a，則AE＝HG＝DF＝2a，
∴DF+FC+HG+AE+EB+EF+BC＝80，即8a+2x＝80，
∴a＝﹣x+10，3a＝﹣x+30，
∴矩形區(qū)域ABCD的面積S＝（﹣x+30）x＝﹣x2+30x，
∵a＝﹣x+10＞0，
∴x＜40，
則S＝﹣x2+30x（0＜x＜40）；
∵S＝﹣x2+30x＝﹣（x﹣20）2+300（0＜x＜40），且二次項(xiàng)系數(shù)為﹣＜0，
∴當(dāng)x＝20時(shí)，S有最大值，最大值為300m2．
故答案為：300．
14．某民房發(fā)生火災(zāi)．兩幢大樓的部分截面及相關(guān)數(shù)據(jù)如圖，小明在甲樓A處透過窗戶E發(fā)現(xiàn)乙樓F處出現(xiàn)火災(zāi)，此時(shí)A，E，F(xiàn)在同一直線上．跑到一樓時(shí)，消防員正在進(jìn)行噴水滅火，水流路線呈拋物線，在1.2m高的D處噴出，水流正好經(jīng)過E，F(xiàn)．若點(diǎn)B和點(diǎn)E、點(diǎn)C和點(diǎn)F的離地高度分別相同，現(xiàn)消防員將水流拋物線向上平移5m，再向左后退_____m，恰好把水噴到F處進(jìn)行滅火．

【答案】5
【解析】
由圖可知：A(0，21.2)，B(0，9.2)，C(0，6.2)，D(0，1.2)，
∵點(diǎn)B和點(diǎn)E、點(diǎn)C和點(diǎn)F的離地高度分別相同，
∴E(20，9.2)，
設(shè)AE的直線解析式為y＝kx+b，
，
∴，
∴y＝﹣x+21.2，
∵A，E，F(xiàn)在同一直線上．
∴F(25，6.2)，
設(shè)過D，E，F(xiàn)三點(diǎn)的拋物線為y＝ax2+bx+c，
∴，
∴，
水流拋物線向上平移5m，設(shè)向左退了m米，
∴D(0，6.2)，
設(shè)平移后的拋物線為，經(jīng)過點(diǎn)F，
∴m＝5或m＝﹣25(舍)，
∴向后退了5米．
故答案為5．
15．某網(wǎng)店銷售某種商品，成本為30元/件，當(dāng)銷售價(jià)格為60元件/時(shí)，每天可售出100件，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，銷售單價(jià)每降1元，每天銷量增加10件.當(dāng)銷售單價(jià)為__________元時(shí)，每天獲取的利潤(rùn)最大.
【答案】50
【解析】
解：設(shè)當(dāng)銷售單價(jià)為x元時(shí)，每天獲取的利潤(rùn)為y元，
則y=（x-30）[100+10（60-x）]
=-10x2+1000x-21000
=-10（x-50）2+4000，
∴當(dāng)x=50時(shí)，y有最大值，且為4000，
故答案為：50．
16．教練對(duì)小明推鉛球的錄像進(jìn)行技術(shù)分析，發(fā)現(xiàn)鉛球行進(jìn)高度y（m）與水平距離x（m）之間的關(guān)系為.由此可知，鉛球推出的距離是__________m.
【答案】10
【解析】
在中，
當(dāng)，
解得（舍去）.
即鉛球推出的距離是10m．
故答案為：10
17．已知某種水果的批發(fā)單價(jià)與批發(fā)量的函數(shù)關(guān)系如圖1所示．
（1）請(qǐng)說明圖中①、②兩段函數(shù)圖象的實(shí)際意義；
（2）寫出批發(fā)該種水果的資金金額w（元）與批發(fā)量m（kg）之間的函數(shù)關(guān)系式；在圖2的坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)圖象；指出金額在什么范圍內(nèi)，以同樣的資金可以批發(fā)到較多數(shù)量的該種水果；
（3）經(jīng)調(diào)查，某經(jīng)銷商銷售該種水果的日最高銷量與零售價(jià)之間的函數(shù)關(guān)系如圖3所示，該經(jīng)銷商擬每日售出60kg以上該種水果，且當(dāng)日零售價(jià)不變，請(qǐng)你幫助該經(jīng)銷商設(shè)計(jì)進(jìn)貨和銷售的方案，使得當(dāng)日獲得的利潤(rùn)最大．

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）經(jīng)銷商應(yīng)批發(fā)80kg該種水果，日零售價(jià)定為6元/kg，當(dāng)日可獲得最大利潤(rùn)160元．
【解析】
解：（1）圖①表示批發(fā)量不少于20kg且不多于60kg的該種水果，
可按5元/kg批發(fā)，
圖②表示批發(fā)量高于60kg的該種水果，可按4元/kg批發(fā)；
（2）由題意得： ，
函數(shù)圖象如圖所示．

由圖可知批發(fā)量超過60時(shí)，價(jià)格在4元中，
所以資金金額滿足240＜w≤300時(shí)，以同樣的資金可批發(fā)到較多數(shù)量的該種水果；
（3）設(shè)日最高銷售量為xkg（x＞60），日零售價(jià)為p，
設(shè)x＝pk+b，則由圖②該函數(shù)過點(diǎn)（6，80），（7，40），
代入可得：x＝320﹣40p，于是p＝ ,
銷售利潤(rùn)y＝x（﹣4）＝﹣（x﹣80）2+160
當(dāng)x＝80時(shí)，y最大值＝160，
此時(shí)p＝6，
即經(jīng)銷商應(yīng)批發(fā)80kg該種水果，日零售價(jià)定為6元/kg，
當(dāng)日可獲得最大利潤(rùn)160元．
18．某商品現(xiàn)在的售價(jià)為每件30元，每星期可賣出160件，市場(chǎng)調(diào)查反映，如調(diào)整價(jià)格，每漲價(jià)1元，每星期要少賣出2件．已知商品的進(jìn)價(jià)為每件10元．
（1）在顧客得到實(shí)惠的情況下，如何定價(jià)商家才能獲得4200元的利潤(rùn)？
（2）如何定價(jià)才能使利潤(rùn)最大？
【答案】（1）在顧客得到實(shí)惠的情況下，售價(jià)為40（80舍）元時(shí)商家才能獲得4200元的利潤(rùn)；（2）售價(jià)為60元時(shí)利潤(rùn)最大為5000元．
【解析】
（1）設(shè)商品的漲價(jià)x元，由題意得：（30+x-10）（160-2x）=4200，
整理得：x2-60x+500=0，
解得：x=10或50，
故為盡可能讓利于顧客并使每周利潤(rùn)為4200元，取x的值為10，
所以，在顧客得到實(shí)惠的情況下，售價(jià)為40元時(shí)商家才能獲得4200元的利潤(rùn)；
（2）由題意得：
y=（30+x-10）（160-2x）
=-2x2+120x+3200，
=-2（x-30）2+5000
∵-2＜0，
∴當(dāng)x=30時(shí)，y取得最大值，
此時(shí)y=5000（元），
即當(dāng)售價(jià)為60元時(shí)，會(huì)獲得每周銷售最大利潤(rùn)，每周最大銷售利潤(rùn)為5000元．
19．在美化校園的活動(dòng)中，某興趣小組想借助如圖所示的直角墻角（兩邊足夠長(zhǎng)），用28m長(zhǎng)的籬笆圍成一個(gè)矩形花園ABCD（籬笆只圍AB，BC兩邊），設(shè)AB＝xm，花園的面積為Sm2．
（1）若花園的面積為192m2，求x的值；
（2）寫出花園面積S與x的函數(shù)關(guān)系式．x為何值時(shí)，花園面積S有最大值？最大值為多少？
（3）若在P處有一棵樹與墻CD，AD的距離分別是a（14≤a≤22）和6m，要將這棵樹圍在花園內(nèi)（含邊界，不考慮樹的粗細(xì)），設(shè)花園面積S的最大值為y，直接寫出y與a的關(guān)系式．

【答案】（1）花園的面積為192m2，x的值為12m或16m；（2）x為14m時(shí)，花園面積S有最大值，最大值為196m2；（3）當(dāng)x＝28﹣a時(shí)，函數(shù)有最大值，y=﹣（14﹣a）2+196．
【解析】
解：（1）依題意得 S＝x（28﹣x），
當(dāng)S＝192時(shí)，有S＝x（28﹣x）＝192，
即x2﹣28x+192＝0，
解得：x1＝12，x2＝16，
答：花園的面積為192m2，x的值為12m或16m；
（2）由題意可得出：
S＝x（28﹣x）
＝﹣x2+28x
＝﹣（x﹣14）2+196，
答：x為14m時(shí)，花園面積S有最大值，最大值為196m2；
（3）依題意得：
，
解得：6≤x≤28﹣a，
S＝x（28﹣x）＝﹣x2+28x＝﹣（x﹣14）2+196，
∵a＝﹣1＜0，當(dāng)x≤14，y隨x的增大而增大，
又6≤x≤28﹣a，
∴當(dāng)x＝28﹣a時(shí)，函數(shù)有最大值，
∴y＝﹣（28﹣a﹣14）2+196＝﹣（14﹣a）2+196．
20．某文具店購(gòu)進(jìn)一批紀(jì)念冊(cè)，每本進(jìn)價(jià)為20元，出于營(yíng)銷考慮，要求每本紀(jì)念冊(cè)的售價(jià)不低于20元且不高于28元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)該紀(jì)念冊(cè)每周的銷售量y（本）與每本紀(jì)念冊(cè)的售價(jià)x（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系：當(dāng)銷售單價(jià)為22元時(shí)，銷售量為36本；當(dāng)銷售單價(jià)為24元時(shí)，銷售量為32本．
（1）求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)文具店每周銷售這種紀(jì)念冊(cè)獲得150元的利潤(rùn)時(shí)，每本紀(jì)念冊(cè)的銷售單價(jià)是多少元？
（3）設(shè)該文具店每周銷售這種紀(jì)念冊(cè)所獲得的利潤(rùn)為w元，將該紀(jì)念冊(cè)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，才能使文具店銷售該紀(jì)念冊(cè)所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？
【答案】（1）y=﹣2x+80；（2）每本紀(jì)念冊(cè)的銷售單價(jià)是25元；（3）該紀(jì)念冊(cè)銷售單價(jià)定為28元時(shí)，才能使文具店銷售該紀(jì)念冊(cè)所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是192元．
【解析】
試題分析：（1）待定系數(shù)法列方程組求一次函數(shù)解析式.
(2)列一元二次方程求解.
(3)總利潤(rùn)=單件利潤(rùn)銷售量：w＝(x－20)(－2x＋80)，得到二次函數(shù)，先配方，在定義域上求最值.
試題解析：
(1)設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx＋b.
把(22，36)與(24，32)代入，得
解得
∴y＝－2x＋80.
(2)設(shè)當(dāng)文具店每周銷售這種紀(jì)念冊(cè)獲得150元的利潤(rùn)時(shí)，每本紀(jì)念冊(cè)的銷售單價(jià)是x元，根據(jù)題意，得
(x－20)y＝150，即(x－20)(－2x＋80)＝150.
解得x1＝25，x2＝35(舍去)．
答：每本紀(jì)念冊(cè)的銷售單價(jià)是25元．
(3)由題意，可得w＝(x－20)(－2x＋80)＝－2(x－30)2＋200.
∵售價(jià)不低于20元且不高于28元，
當(dāng)x＜30時(shí)，y隨x的增大而增大，
∴當(dāng)x＝28時(shí)，w最大＝－2×(28－30)2＋200＝192(元)．
答：該紀(jì)念冊(cè)銷售單價(jià)定為28元時(shí)，能使文具店銷售該紀(jì)念冊(cè)所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是192元．
21．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組幾名同學(xué)到某商場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，一種純牛奶進(jìn)價(jià)為每箱40元，廠家要求售價(jià)在40～70元之間，若以每箱70元銷售平均每天銷售30箱，價(jià)格每降低1元平均每天可多銷售3箱．老師要求根據(jù)以上資料，解答下列問題，你能做到嗎？
（1）寫出平均每天銷售量y（箱）與每箱售價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系；
（2）寫出平均每天銷售利潤(rùn)W（元）與每箱售價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系；
（3）現(xiàn)該商場(chǎng)要保證每天盈利900元，同時(shí)又要使顧客得到實(shí)惠，那么每箱售價(jià)為多少元？
（4）你認(rèn)為每天贏利900元，是牛奶銷售中的最大利潤(rùn)嗎？為什么？
【答案】（1）y＝﹣3x+240；（2）w＝﹣3x2+360﹣9600；（3）50；（4）不是，理由見解析.
【解析】
（1）y＝30+3（70﹣x）＝﹣3x+240；
（2）w＝（x﹣40）（﹣3x+240）＝﹣3x2+360﹣9600；
（3）當(dāng)w＝900時(shí)，
（x﹣40）（﹣3x+240）＝900
整理得：x2﹣120x+3500＝0
∴x1＝50，x2＝70，
∵要使顧客得到實(shí)惠，
∴x＝70舍去
∴每箱價(jià)格定為50元；
（4）由w＝（x﹣40）（﹣3x+240）
＝﹣3x2+360﹣9600得
w＝﹣3（x﹣60）2+1200
w最大＝1200（元）
∴贏利900元不是銷售的最大利潤(rùn)．
22．（本題滿分10分）我市某高科技公司生產(chǎn)一種矩形新型材料板，其長(zhǎng)寬之比為 3∶2，每張材料板的成本 c與它的面積成正比例。每張材料板的銷售價(jià)格 y與其寬 x 之間滿足我們學(xué)習(xí)過的某種函數(shù)關(guān)系(即一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)關(guān)系中的一種)，下表記錄了該工廠生產(chǎn)、銷售該材料板一些數(shù)據(jù)：

（1）求一張材料板的銷售格 y 其寬 x 之間的函數(shù)關(guān)系式 （不必寫出自變的取值范圍）
（2）若一張材料板的利潤(rùn) w 為銷售價(jià)格 y與成本 c 的差
①請(qǐng)直接寫出一張材料板的利潤(rùn) w 其寬 x 之間的函數(shù)關(guān)系 （不必寫出自變的取值范圍）
②當(dāng)材料板的寬為多少時(shí)，一張材料板的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？
【答案】（1） ；（2） ① ；②當(dāng)寬為60cm時(shí)，利潤(rùn)最大 ，最大利潤(rùn)為900元.
【解析】
解：（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)判斷，銷售價(jià)格y于寬x之間的函數(shù)關(guān)系是一次函數(shù)，設(shè)其解析式為y＝kx＋b，
則24k＋b＝780，30k＋b＝900，
解得：k＝20，b＝300，
將x＝42，y＝1140和x＝54，y＝1380代入檢驗(yàn)，滿足條件
所以其解析式為y＝20x＋300；
（2）①∵矩形材料板，其長(zhǎng)寬之比為3：2，
∴當(dāng)寬為x時(shí)，則長(zhǎng)為1.5x，
c＝1.5kx2；k＝，
即c＝x2，
∴w＝x2＋20x＋300；
②由①可知：w＝x2＋20x＋300＝（x?60）2＋900，
∴當(dāng)材料板的寬為60cm時(shí)，一張材料板的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是900元．

相關(guān)試卷

專題05 二次函數(shù)的三種表示方式-初升高數(shù)學(xué)銜接必備教材（解析版）：

這是一份專題05 二次函數(shù)的三種表示方式-初升高數(shù)學(xué)銜接必備教材（解析版），共19頁(yè)。

專題10 圓-初升高數(shù)學(xué)銜接必備教材（解析版）：

這是一份專題10 圓-初升高數(shù)學(xué)銜接必備教材（解析版），共31頁(yè)。

專題02 分解因式-初升高數(shù)學(xué)銜接必備教材（解析版）：

這是一份專題02 分解因式-初升高數(shù)學(xué)銜接必備教材（解析版），共18頁(yè)。試卷主要包含了十字相乘法，首項(xiàng)系數(shù)不為1的十字相乘法等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

專題01 數(shù)與式的運(yùn)算-初升高數(shù)學(xué)銜接必備教材（解析版）

專題01 數(shù)與式的運(yùn)算-初升高數(shù)學(xué)銜接必備教材（解析版）
專題08 相似形-初升高數(shù)學(xué)銜接必備教材（解析版）

專題08 相似形-初升高數(shù)學(xué)銜接必備教材（解析版）
專題13 幾何部分驗(yàn)收A卷-初升高數(shù)學(xué)銜接必備教材（解析版）

專題13 幾何部分驗(yàn)收A卷-初升高數(shù)學(xué)銜接必備教材（解析版）
專題07 方程與不等式-初升高數(shù)學(xué)銜接必備教材（解析版）

專題07 方程與不等式-初升高數(shù)學(xué)銜接必備教材（解析版）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
開學(xué)考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部