考點06 函數(shù)周期性的3個結論-2022年新高考數(shù)學方法研究（人教A版2019）練習題-試卷下載-教習網(wǎng)

?專題二函數(shù)
考點6 函數(shù)周期性的3個結論

【方法點撥】

【高考模擬】
1．若奇函數(shù)f（x）在[1，3]上是增函數(shù)，且最小值是1，則它在[-3，-1]上是（　?。?br /> A．增函數(shù)，最小值-1 B．增函數(shù)，最大值-1
C．減函數(shù)，最小值-1 D．減函數(shù)，最大值-1
【答案】B
【解析】
因為函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，且在[1，3]上是增函數(shù)，故函數(shù)在對稱區(qū)間上單調性相同，即函數(shù)在[-3，-1]上是增函數(shù)，在-1處取得最大值，由奇函數(shù)的性質得到
故答案選B.
點睛：本題考查的是函數(shù)的單調性和奇偶性的綜合性質，根據(jù)結論知道奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調性相同，偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調性相反；在根據(jù)奇偶函數(shù)的定義式：奇函數(shù) ，偶函數(shù)滿足
2．已知是定義在上的偶函數(shù)，且在上為增函數(shù)，則的解集為（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
是定義在上的偶函數(shù)，
，即，
則函數(shù)的定義域為
函數(shù)在上為增函數(shù)，

故兩邊同時平方解得，
故選
3．已知函數(shù)是上的奇函數(shù),且對任意有是偶函數(shù),且,則( ).
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】
根據(jù)題意，由函數(shù)奇偶性的定義分析可得，進而可得，即可得是周期為4的周期函數(shù)，據(jù)此求出的值，相加即可得答案．
【解析】
解：根據(jù)題意，是偶函數(shù)，則，
變形可得.
又由是上的奇函數(shù)，則，
變形可得，
所以是周期為4得周期函數(shù).
因為是上的奇函數(shù)，
所以，
則；
.
故.
故選：A.
【點睛】
本題考查函數(shù)的奇偶性與周期性的應用，關鍵是分析函數(shù)的周期性，屬于基礎題．
4．分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當時，，且，則不等式的解集是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
構造函數(shù)h（x）＝f（x）g（x），利用已知可判斷出h（x）的奇偶性和單調性，進而即可得出不等式的解集．
【解析】
令h（x）＝f（x）g（x），分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，
則h（﹣x）＝f（﹣x）g（﹣x）＝﹣f（x）g（x）＝﹣h（x），因此函數(shù)h（x）在R上是奇函數(shù)．
∵當x＜0時，，∴h（x）在時單調遞減，故函數(shù)h（x）在上單調遞減．
∵，∴h（3）＝f（3）g（3）＝0，進而h（-3）＝f（-3）g（-3）＝0，
且h（0）=f（0）g（0）=0，∴h（x）＝，∴或．
故選：D
【點睛】
本題考查函數(shù)的奇偶性、單調性和應用，考查導數(shù)的運算法則的逆用，函數(shù)的單調性與導數(shù)的符號之間的關系，考查運算能力，屬于中檔題．
5．已知定義在上的偶函數(shù)的導函數(shù)為，函數(shù)滿足：當時，，且.則不等式的解集是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
構造函數(shù)，則時，單調遞增，為上的奇函數(shù)且，則當時，單調遞增，不等式,當時，時，.
【解析】
當時，，，
令，則，即當時，單調遞增.又為上的偶函數(shù),為上的奇函數(shù)且，則當時，單調遞增.不等式,當時，，即，即，；當時，，，即，
. 綜上，不等式的解集為.
故答案為C.
【點睛】
本題考查函數(shù)的單調性與奇偶性的綜合應用，以及導數(shù)在探究函數(shù)單調性中的應用，注意奇函數(shù)的在對稱區(qū)間上的單調性的性質；對于解抽象函數(shù)的不等式問題或者有解析式，但是直接解不等式非常麻煩的問題，可以考慮研究函數(shù)的單調性和奇偶性等，以及函數(shù)零點等，直接根據(jù)這些性質得到不等式的解集．
6．已知函數(shù)為奇函數(shù)，，若，則數(shù)列的前項和為( )
A．2017 B．2016 C．2015 D．2014
【答案】B
【解析】
∵函數(shù)為奇函數(shù)圖象關于原點對稱，
∴函數(shù)的圖象關于點(,0)對稱，
∴函數(shù)的圖象關于點(,1)對稱，
∴，
∵，
∴數(shù)列的前2016項之和為，
故選：B
點睛：本題主要考查函數(shù)的奇偶性及對稱性結合數(shù)列，抓住通項特征可以看出是首尾相加是定值，采用倒序相加會很快得出答案。、
7．若定義在上的增函數(shù)的圖象關于點對稱，且，令，則下列結論不一定成立的是（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
首先根據(jù)題意得到函數(shù)為定義在上奇函數(shù)，B選項，計算即可判定B正確，C選項，計算，即C正確，D選項，計算，根據(jù)的單調性即可判斷D正確.
【解析】
因為函數(shù)向左平移一個單位得到，
函數(shù)的圖象關于點對稱，
所以的圖象關于點，即函數(shù)為定義在上奇函數(shù).
B選項，，故B正確.
C選項，，
故C正確.
D選項，，
因為在上為增函數(shù)，所以，即.
所以，故D正確.
故選：A
【點睛】
本題主要考查奇函數(shù)的性質，同時考查了函數(shù)圖象的平移變換，屬于中檔題.
8．已知偶函數(shù)的導函數(shù)為，且滿足，當時，，則使成立的的取值范圍為
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
構造函數(shù),因為是偶函數(shù),所以,即g(x)是偶函數(shù), 又,當時, ,即在上單調遞減,且,的解為, 的解為,又偶函數(shù),所以使成立的的取值范圍為,故選B.
9．已知是定義在上的奇函數(shù)，當時，單調遞增且，則不
等式的解集為 ( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，在（0，+∞）上是增函數(shù)，且f（1）=0，
∴f（x）在（﹣∞，0）上是增函數(shù)，且f（﹣1）=f（1）=0，
若，則不等式等價為f（1），
即＞1，此時解得x>2．
若＜0，則不等式等價f（﹣1），
即＞﹣1，此時解得＜x＜1．
綜上不等式的解為＜x＜1或x>2，
故選：B．
10．定義在上的偶函數(shù)滿足：對任意的，，有，且，則不等式解集是（）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
由對任意的，，有，則函數(shù)在為減函數(shù)，又函數(shù)在上為偶函數(shù)，則函數(shù)在為增函數(shù)，再利用函數(shù)的性質可得等價于，再求解即可.
【解析】
解：由對任意的，，有，則函數(shù)在為減函數(shù)，又函數(shù)在上為偶函數(shù)，則函數(shù)在為增函數(shù)，
又，則當時，，當或時，，
又等價于，即，即或，
即或，即或，
即不等式解集是.
故選：B.
【點睛】
本題考查了函數(shù)的奇偶性及單調性，主要考查了利用函數(shù)的性質求解不等式，重點考查了運算能力，屬中檔題.
11．已知偶函數(shù)滿足，現(xiàn)給出下列命題：①函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)；②函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)；③函數(shù)為奇函數(shù)；④函數(shù)為偶函數(shù)，則其中真命題的個數(shù)是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由偶函數(shù)的定義和條件，將x換為x+2，可得f（x+4）＝f（x），可得周期為4，即可判斷①②的正確性；再由奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義，將x換為﹣x，化簡變形即可判斷③④的正確性．
【解析】
解：偶函數(shù)f（x）滿足f（x）+f（2﹣x）＝0，
即有f（﹣x）＝f（x）＝﹣f（2﹣x），
即為f（x+2）＝﹣f（x），f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），
可得f（x）的最小正周期為4，故①錯誤；②正確；
由f（x+2）＝﹣f（x），可得f（x+1）＝﹣f（x﹣1），
又f（﹣x﹣1）＝f（x+1），即有f（﹣x﹣1）＝﹣f（x﹣1），故f（x﹣1）為奇函數(shù)，故③正確；
由f（﹣x﹣3）＝f（x+3），若f（x﹣3）為偶函數(shù)，即有f（﹣x﹣3）＝f（x﹣3），
可得f（x+3）＝f（x﹣3），即f（x+6）＝f（x），可得6為f（x）的周期，這與4為最小正周期矛盾，故④錯誤．
故選B．
【點睛】
本題考查抽象函數(shù)的周期性和奇偶性的判斷，注意運用定義法，考查化簡變形能力和運算能力，屬于中檔題．

12．設為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，且，則是最小正周期為______的周期函數(shù)。
【答案】
【解析】
【解析】
因為為偶函數(shù),所以,,
因此,,即是最小正周期為的周期函數(shù).
13．n 是正整數(shù)， .則__________.
【答案】-1
【解析】
【解析】
易知.
所以.
14．設函數(shù)滿足對一切的，，且.已知當時，則=______.
【答案】
【解析】
【解析】
由已知得
.
又，則.
故是以2為周期的周期函數(shù).
由，有.
則.
故答案為:
15．已知，對于，定義：，.如果，那么的解析式是__________。
【答案】
【解析】
【解析】
易知的反函數(shù)為，則

類似地，有，，…，=

于是，，.
故.
16．已知函數(shù)對任意的，均有，且.則__________.
【答案】
【解析】
注意到，.
于是，.
則.
17．已知定義在上的奇函數(shù)，它的圖象關于直線對稱．當時，，則______．
【答案】2
【解析】
【解析】
由為奇函數(shù)，且其圖象關于直線對稱，
知，且，
所以，．
是以8為周期的周期函數(shù)．
又，，
所以．
18．已知是定義在實數(shù)集上的函數(shù)，且.若，則的值是_________.
【答案】
【解析】
【解析】
由，得.
∴.
∴.
故是以8為周期的周期函數(shù).
∴
.
19．若定義在上的奇函數(shù)的圖像關于直線對稱，且當時，，則方程在區(qū)間內的所有實根之和為______.
【答案】30
【解析】
【解析】
由函數(shù)的圖像關于直線對稱，以及為奇函數(shù)知.
因此，，即是周期函數(shù)，4是它的一個周期.
由是定義在上的奇函數(shù)知.
于是，方程化為.
結合圖像可知，在、內各有一個實根，且這兩根之和為2；在、內各有一個實根，且這兩根之和為10；在、內各有一個實根，且這兩根之和為18.
故原方程在區(qū)間內有六個不同的實根，其和為30.
20．在上定義函數(shù)則______.
【答案】1
【解析】
【解析】
先考慮區(qū)間上函數(shù)值的求法.
若，則
.
于是，對，有.
從而，在區(qū)間上是以6為周期的周期函數(shù).
故 .

21．設是定義在上的奇函數(shù) 且對任意實數(shù)，恒有，當時，．
（1）求證：是周期函數(shù)；
（2）計算
（3）當時，求的解析式
【答案】（1）是周期為的周期函數(shù)，證明見解析；（2）；
（3）.
【分析】
（1）根據(jù)條件可得即得證；
（2）當時，可知，將代入，再由即可求出，當時，結合周期性即可求，
（3）先計算的值，利用函數(shù)的周期性即可求解；
【解析】
（1）因為，所以．
所以是周期為的周期函數(shù)；
（2）因為當時，．
所以，，，
因為是周期為的周期函數(shù)，
所以，，
，
所以.
（3）當，，所以，
所以，
又，
所以，
即，．
當時，，
，
綜上所述：
【點睛】
關鍵點點睛：證明函數(shù)的周期性用定義即可，求周期函數(shù)在某一區(qū)間的解析式，一般求哪個區(qū)間的解析式就把設在哪個區(qū)間，再利用周期性和奇偶性即可求解.
22．給定函數(shù)、，定義.
（1）證明：；
（2）若，，證明：是周期函數(shù)；
（3）若，，，，，證明：是周期函數(shù)的充要條件是為有理數(shù).
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析.
【分析】
（1）運用新定義，去絕對值，即可得證；
（2）由正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的周期，即可得證；
（3）運用周期函數(shù)的定義，結合和差化積公式，即可得證．
【解析】
證明：（1）由F（f（x），g（x）），
f（x）≥g（x）時，f（x），
f（x）＜g（x）時，g（x），
則F（f（x），g（x））；
（2）f（x）＝sin2x﹣cosx，g（x）＝sin2x+cosx，
F（f（x），g（x））sin2x+|cosx|，
由F（f（x+π），g（x+π））＝sin（2x+2π）+|cos（x+π）|＝sin2x+|cosx|
＝F（f（x），g（x）），即F（f（x），g（x））是最小正周期為π的周期函數(shù)；
（3）f（x）+g（x）是周期函數(shù)??x∈R，?T≠0，f（x+T）+g（x+T）＝f（x）+g（x）恒成立
?A1sinω1（x+T）+A2sinω2（x+T）＝A1sinω1x+A2sinω2x，
由A1[sinω1（x+T）﹣sinω1x]+A2[sinω2（x+T）﹣sinω2x]＝0，
可得sinω1（x+T）﹣sinω1x＝0，sinω2（x+T）﹣sinω2x＝0，
即2cos（ω1xω1T）sinω1T＝0，2cos（ω2xω2T）sinω2T＝0，
由x∈R，可得sinω1T＝0，sinω2T＝0，
即有ω1T＝kπ，k∈Z；ω2T＝mπ，m∈Z，k，m≠0，
即有為有理數(shù)，
可得f（x）+g（x）是周期函數(shù)的充要條件是為有理數(shù)．
【點睛】
本題考查分段函數(shù)的表示和性質，考查周期函數(shù)的判斷和證明，注意定義法的合理運用，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．
23．已知函數(shù)，若存在非零實數(shù)?，使得對定義域內任意的，均有成立，則稱該函數(shù)為階梯周期函數(shù).
（1）判斷函數(shù)是否為階梯周期函數(shù)，請說明理由.(其中表示不超過的最大整數(shù)，例如：，)
（2）已知函數(shù)，的圖像既關于點對稱，又關于點對稱.
①求證：函數(shù)為階梯周期函數(shù)；
②當時，(?為實數(shù))，求函數(shù)的值域.
【答案】（1）是，理由見解析；（2）①證明見解析；②，.
【分析】
（1）根據(jù)階梯周期函數(shù)的定義求解判斷.
（2）①根據(jù)函數(shù)的圖像既關于點對稱，又關于點對稱，得到求解.②根據(jù)①的結論，分和兩種情況討論求解.
【解析】
（1）因為,
所以存在,使得函數(shù)為階梯周期函數(shù)
（2）①因為函數(shù)的圖像既關于點對稱，又關于點對稱，
所以，
兩式相減得：，
即
所以函數(shù)為階梯周期函數(shù)；
②當時，，
由，得，
當時，，
由，得，
綜上：函數(shù)的值域是.
【點睛】
關鍵點點睛：本題關鍵是階梯周期函數(shù)定義的理解以及若關于點對稱，則結合應用.
24．已知周期函數(shù)的圖象如圖所示，

（1）求函數(shù)的周期；
（2）畫出函數(shù)的圖象；
（3）寫出函數(shù)的解析式.
【答案】（1）.（2）見解析（3）
【分析】
（1）根據(jù)周期定義結合圖象求得結果；
（2）把向左平移一個單位得的圖象；
（3）根據(jù)一次函數(shù)解析式得在一個周期上的解析式，再根據(jù)周期得結果.
【解析】
解：（1）.
（2）把向左平移一個單位得的圖象，即如圖所示

（3）
所以.
【點睛】
本題考查函數(shù)周期、圖象變換以及解析式，考查基本分析求解能力，屬基礎題.
25．)是定義在R上的奇函數(shù)，且，當時，，
（1）求函數(shù)的周期；
（2）求函數(shù)在的表達式；
（3）求.
【答案】（1）4；（2）；（3）.
【分析】
（1）根據(jù)已知推導；（2）根據(jù)求解；（3）根據(jù)周期和已知求值.
【解析】
解：因為，
所以，
所以周期.
(2)任取，則，所以
因為是奇函數(shù)，所以，
即.
（3）因為的周期為4，所以，
又，
所以.
【點睛】
本題主要考查函數(shù)周期性，奇偶性.
26．設函數(shù)在上滿足，，且在閉區(qū)間上，只有．
（1）試判斷函數(shù)的奇偶性；
（2）試求方程在區(qū)間上的根的個數(shù)，并證明你的結論．
【答案】（1）是非奇非偶函數(shù)；（2）個根，理由見解析
【分析】
（1）分函數(shù)是偶函數(shù)、奇函數(shù)兩種情況討論，利用特殊值法推出矛盾，進而可說明函數(shù)為非奇非偶函數(shù)；
（2）推導出函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，推導出方程在區(qū)間上的根，由此可得出方程在區(qū)間和上的根，結合周期性可得出方程上的根的個數(shù).
【解析】
（1）由已知條件，得函數(shù)的圖象關于直線，對稱．
若為偶函數(shù)，由，得，由關于對稱，得，矛盾；
若為奇函數(shù)，則，矛盾；
所以是非奇非偶函數(shù)；
（2）由，得．
由，得．，
得，所以函數(shù)的周期為．
若，則由，得，矛盾.
同理，若，則由，得，矛盾．
因此在上，僅有兩解，．
所以在時也只有兩解，，
在上僅有兩解．
所以方程在上共有個根，在上共有個根，
所以方程在區(qū)間共有個根．
【點睛】
本題考查函數(shù)奇偶性的判斷，同時也考查了函數(shù)零點個數(shù)的求解，考查了函數(shù)周期性的應用，屬于中等題.
27．已知函數(shù)對任意滿足＋＝0，＝，若當時，(a＞0且a≠1)，且．
（1）求的值；
（2）求實數(shù)的值；
（3）求函數(shù)的值域．
【答案】（1） f(1)＝0 ；（2） a=，b=﹣1；（3）[﹣，)．
【分析】
（1）對題干條件進行賦值，即可求得的值；
（2）由題意可得，f(x)是奇函數(shù)，即可求得b的值，根據(jù)＝，可得f(x)的周期為2，又，代入數(shù)據(jù)，即可求得a的值；
（3）根據(jù)f(x)在上的解析式，可求得其在上的范圍，根據(jù)f(x)是奇函數(shù)，可得f(x)在(﹣1，0)上的范圍，根據(jù)f(x)的周期為2，可得f(x)在R上的值域，令t=f(x) 利用二次函數(shù)的性質，即可求得g(x)的值域.
【解析】
（1）∵f(x)+f(﹣x)=0，∴f(1)+f(-1)=0……①，
∵f(x﹣1)=f(x+1)，∴f(－1)=f(1)……②，
由①②可得f(1)＝0；
（2）∵f(x)+f(﹣x)=0，
∴f(﹣x)=﹣f(x)，即f(x)是奇函數(shù)，
所以，所以，即，
∵f(x﹣1)=f(x+1)，
∴f(x+2)=f(x)，即函數(shù)f(x)是周期為2的周期函數(shù)，
又f()=f()=f()=1-=，
解得a=，
所以；
（3）當時，f(x)=ax+b=()x﹣1∈(﹣，0]，
由f(x)為奇函數(shù)知，
當x∈(﹣1，0)時，f(x)∈(0，)，
又f(x)的周期為2，
∴當x∈R時，f(x)∈(﹣，)，
設t=f(x)∈(﹣，)，
∴g(x)=f2(x)+f(x)=t2+t=(t+)2﹣∈[﹣，)，
故函數(shù)g(x)=f2(x)+f(x)的值域為[﹣，)．
【點睛】
本題考查奇函數(shù)的應用、函數(shù)的周期性、二次函數(shù)的圖像與性質，綜合性較強，考查分析理解，求值計算的能力，考查學生對基礎知識的掌握程度，屬中檔題.
28．已知函數(shù)，且.
（1）求a的值；
（2）求出的最小正周期，并證明；（“周期”要證，“最小”不用證明）
（3）是否存在正整數(shù)n，使得在區(qū)間內恰有2021個零點，若存在，求出n的值；若不存在，說明理由.
【答案】（1）（2）證明見解析（3）存在正整數(shù)，理由見解析.
【分析】
（1）計算時的值，從而解得的值；
（2）根據(jù)，求得的最小正周期為；
（3）根據(jù)的最小正周期為，且，內有4個零點，可解得．
【解析】
（1）函數(shù)，
令，得，解得；
（2）
，
所以的最小正周期為．
（3）存在正整數(shù)，使得在區(qū)間，內恰有2021個零點．
當時，．
設，則，
于是，
令，得或，
于是，或或，其中，
當時，．
設，則，
于是，令，
解得或，故在沒有實根．
綜上討論可得，在，上有4個零點，
而，
所以函數(shù)在有2021個零點.
【點睛】
本題考查三角函數(shù)的周期性及其求法，根據(jù)三角函數(shù)的值求角的大小，判斷在上有4個零點是解題的關鍵，屬于難題.
29．已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的定義域和值域；
（2）判斷函數(shù)的奇偶性；
（3）判斷函數(shù)的周期性，若是周期函數(shù)，求其周期．
【答案】（1）定義域為，值域為；（2）偶函數(shù)；（3）是周期函數(shù)，最小正周期為.
【分析】
（1）由可求得函數(shù)的定義域，由結合對數(shù)函數(shù)的單調性可得出函數(shù)的值域；
（2）利用函數(shù)奇偶性的定義判斷可得出結論；
（3）利用函數(shù)周期性的定義判斷可得出結論.
【解析】
（1）對于函數(shù)，可得，則，解得，
所以，函數(shù)的定義域為.
由于，則，即函數(shù)的值域為；
（2）函數(shù)的定義域關于原點對稱，
且，
所以，函數(shù)為偶函數(shù)；
（3）如下圖所示：

函數(shù)在上是最小正周期為的周期函數(shù)，
，
所以，函數(shù)是周期函數(shù)，且最小正周期為.
【點睛】
思路點睛：利用定義法判斷函數(shù)的奇偶性，步驟如下：
（1）一是看定義域是否關于原點對稱，如果定義域不關于原點對稱，則該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)；
（2）若函數(shù)的定義域關于原點對稱，接下來就是判斷與之間的關系；
（3）下結論.
30．定義在R上的函數(shù)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若的最小正周期是，且當時，，求的值．
【答案】
【分析】
由函數(shù)周期性和奇偶性可得，而當時，，從而可求出答案
【解析】
解：因為的最小正周期是，且為偶函數(shù)，
所以，
因為當時，，
所以，
所以
【點睛】
此題考查了利用函數(shù)的周期性和奇偶性求值，屬于基礎題.

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