專題二  函數(shù)考點4  函數(shù)單調(diào)性的5種判斷方法及3個應用方向 【方法點撥】 一、函數(shù)單調(diào)性的判斷及解決應用問題的方法 判斷函數(shù)單調(diào)性的常用方法(1)定義法；（2）圖象法；(3)利用函數(shù)的性質(zhì)“增+增=增，減+減=減”判斷；(4)復合函數(shù)的單調(diào)性根據(jù)“同增異減”判斷；(5)導數(shù)法2.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間先定定義域，在定義域內(nèi)求單調(diào)區(qū)間.單調(diào)區(qū)間不連續(xù)時，要用“和”或“，“連接，不能用“U”連接.3.單調(diào)性的應用的三個方向(1)比較大?。簩⒆宰兞哭D(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大?。?/span>(2)解函數(shù)型不等式：利用函數(shù)單調(diào)性，由條件脫去“f”；(3)求參數(shù)值或取值范圍：利用函數(shù)的單調(diào)性構建參數(shù)滿足的方程(組)、不等式(組). 【高考模擬】1．函數(shù)與的單調(diào)遞增區(qū)間分別為（    ）A．[1，+∞)，[1，+∞) B．(﹣∞，1]，[1，+∞)C．(1，+∞)，(﹣∞，1] D．(﹣∞，+∞)，[1，+∞)【答案】A【分析】先對，進行化簡，再求單調(diào)區(qū)間即可.【解析】解： ，在上單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞增，故選：A.2．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（     ）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出函數(shù)的定義域，利用復合函數(shù)法可求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【解析】由題意，，可得或，函數(shù)的定義域為，令，則外層函數(shù)在上單調(diào)遞增，內(nèi)層函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：D.【點睛】方法點睛：求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間一般有以下幾種方法：一是圖象法，主要適用與基本初等函數(shù)及其在基本初等函數(shù)的基礎上進行簡單變化后的函數(shù)以及分段函數(shù)，可以借助圖像來得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；二是復合函數(shù)法，主要適用于函數(shù)結(jié)構較為復雜的函數(shù)，采用換元的思想將函數(shù)解析式分解為多層，利用同增異減的原理來求解；三是導數(shù)法，對于可導函數(shù)，可以解相應的導數(shù)不等式來求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.3．函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則使得為增函數(shù)的區(qū)間為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先將函數(shù)看作函數(shù)向右平移3個單位所得到，再判斷增區(qū)間即可.【解析】函數(shù)可以看作函數(shù)向右平移3個單位所得到，故由函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，得在區(qū)間上是增函數(shù).故選：C.4．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】將函數(shù)寫成分段函數(shù)的形式，即再根據(jù)解析式得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【解析】直接通過解析式，結(jié)合二次函數(shù)圖象得：遞增，在遞減，故選：A.5．函數(shù)f(x)=x2+2(a-1)x+2在區(qū)間(-∞，4)上遞減，則a的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)，比較對稱軸和區(qū)間端點的大小，列不等式可得a的取值范圍．【解析】函數(shù)f(x)的對稱軸是，開口向上，則，解得故選：B6．若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為（    ）．A． B． C． D．【答案】D【分析】直接由單調(diào)性的定義求解即可【解析】解：任取，且，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，，因為，所以，，，所以．故選：D7．如果函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，那么實數(shù)的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出二次函數(shù)的對稱軸，根據(jù)單調(diào)區(qū)間與對稱軸之間的關系建立條件，即可求出的取值范圍．【解析】解：二次函數(shù)的對稱軸為，拋物線開口向上，函數(shù)在，上單調(diào)遞減，要使在區(qū)間，上單調(diào)遞減，則對稱軸，解得．故選：．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)單調(diào)性與對稱軸之間的關系是解決本題的關鍵．8．“”是“函數(shù)單調(diào)遞減”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】求出的導函數(shù)，利用單調(diào)遞減，則恒成立，求出的范圍，比較所求范圍和條件中給定范圍的關系，得出結(jié)論.【解析】由，若函數(shù)單調(diào)遞減，必有當時，恒成立，可化為，可得．故“”是“函數(shù)單調(diào)遞減”的充分不必要條件.故選：A.9．若函數(shù)的定義域是(﹣∞，1)∪[2，5)，則其值域為（    ）A．(﹣∞，0) B．(﹣∞，2]C． D．【答案】D【分析】分x<1和x∈[2，5)兩種情況，利用反比例函數(shù)的性質(zhì)得出函數(shù)的值域．【解析】由題意可得：當x<1時，則x﹣1<0所以y∈(﹣∞，0)當x∈[2，5)時，則x﹣1∈[1，4)，所以y∈所以函數(shù)的值域為.故選：D.10．若關于的不等式在，上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（    ）A．， B．， C．， D．，【答案】D【分析】利用參數(shù)分離法進行轉(zhuǎn)化，構造函數(shù)求函數(shù)的最大值即可得到結(jié)論.【解析】解：由題意知，在，上恒成立，設，則函數(shù)在上為增函數(shù)，當時，，則，故選：.【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是將已知不等式恒成立問題，通過參變分離得到參數(shù)的恒成立問題，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出最值.11．若且，則的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用已知條件構造函數(shù)，再求其值域即得結(jié)果.【解析】由且知，，故設，設，則，，即，故，即，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，故函數(shù)的值域為.故選：D.【點睛】方法點睛：利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法（1）取值：設是該區(qū)間內(nèi)的任意兩個值，且；（2）作差變形：即作差，即作差，并通過因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判斷符號的方向變形；（3）定號：確定差的符號；（4）下結(jié)論：判斷，根據(jù)定義作出結(jié)論.即取值---作差----變形----定號----下結(jié)論.12．函數(shù)的最小值為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，利用基本不等式求得，構造函數(shù)，證明出函數(shù)在上為增函數(shù)，由此可求得函數(shù)的最小值.【解析】令，則，因為，所以，又，令，其中，任取、且，即，則，，，，，即，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，因此，.故選：C.【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.13．若函數(shù)在區(qū)間上的最大值是4，則實數(shù)的值為（    ）A．-1 B．1 C．3 D．1或3【答案】B【分析】分和兩種情況求解，時，在區(qū)間上為增函數(shù)，從而可求出其最大值，當時，在區(qū)間上為減函數(shù)，從而可求出其最大值，進而可得答案【解析】解：當時，在區(qū)間上為增函數(shù)，則當時，取得最大值，即，解得；當時，在區(qū)間上為減函數(shù)，則當時，取得最大值，即，解得舍去，所以，故選：B14．函數(shù)在[1，2]上的最大值與最小值的差為3，則實數(shù)為（    ）A．3 B．-3 C．0 D．3或-3【答案】D【分析】討論的取值，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，作差即可求解.【解析】解：①當時，，不符合題意；②當時，在上遞增，則，解得；③當時，在上遞減，則，解得．綜上，得，故選：D．15．已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為2，則實數(shù)t的值為（    ）A．2或3 B．1或3 C．2 D．3【答案】A【分析】函數(shù)，，根據(jù)絕對值的最大值為2進行分類討論檢驗即可.【解析】由題函數(shù)，的最大值為或當時，即時，最大值解得：；當時，即時，最大值解得：綜上所述：的值等于2或3.故選：A【點睛】解決本題的關鍵是利用單調(diào)性求出的范圍，再結(jié)合絕對值的性質(zhì)進行求解.16．若函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍為（    ）A．， B． C．， D．，【答案】C【分析】根據(jù)分段函數(shù)的值域為，具有連續(xù)性，由是減函數(shù)，可得也是減函數(shù)，故得，，可得答案.【解析】解：函數(shù)的值域為，由是減函數(shù)，也是減函數(shù)，故得，解得：，函數(shù)的值域為，，解得：.實數(shù)的取值范圍是，.故選：.17．若函數(shù)是上的減函數(shù)，，則下列不等式一定成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，以及題中條件，逐項判斷，即可得出結(jié)果.【解析】因為函數(shù)是上的減函數(shù)，，A選項，，當時，，所以；當時，，所以，即B不一定成立；B選項，當時，，所以；當時，，所以，即B不一定成立；C選項，時，，則，所以C不成立；D選項，，則；所以，即D一定成立.故選：D.18．已知函數(shù)，且，則下列不等式中成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由，即可得到圖象的對稱軸為，所以根據(jù)圖象上的點離對稱軸的距離即可比較出的大小關系.【解析】由得圖象的對稱軸為，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以，故選：C.【點睛】方法點睛：該題考查的是有關函數(shù)值的比較大小的問題，解題方法如下：（1）首先根據(jù)題中所給的函數(shù)解析式，判斷函數(shù)類型，根據(jù)題中所給的條件，判斷出函數(shù)圖象的對稱軸；（2）利用對稱性，將自變量所對應的函數(shù)值進行轉(zhuǎn)換；（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得結(jié)果.19．若定義在上的偶函數(shù)在上是減函數(shù)，則下列各式一定成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由偶函數(shù)及在上是減函數(shù)，知在上是增函數(shù)，即可判斷各項的正誤.【解析】A：在上是減函數(shù)，即，錯誤；B：，在上是減函數(shù)，有，即，錯誤；C：，在上是減函數(shù)，有，即，正確；D：由題意，在上是增函數(shù)，，錯誤；故選：C20．設函數(shù)是上的減函數(shù)，又若，則（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用特殊值法可判斷ABC選項的正誤，利用函數(shù)的單調(diào)性可判斷D選項的正誤.【解析】對于A選項，取，則，，A選項錯誤；對于B選項，取，則，所以，，B選項錯誤；對于C選項，取，則，所以，，C選項錯誤；對于D選項，對任意的，，所以，，D選項正確.故選：D.21．函數(shù)的定義域為為的導函數(shù)，且，則不等式的解集是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】依題意可得再定義域上單調(diào)遞增，又，即可得到時，；時，；再分類討論分別計算最后取并集即可；【解析】解：由題意可知在單調(diào)遞增，又，時，；時，；對于，當時，不等式成立，當時，，不等式不成立；當時，，且，不等式成立不等式的解集故選：.22．已知定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為，且滿足，，則不等式的解集為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意構造新函數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)性，對問題進行變形，由單調(diào)性轉(zhuǎn)化為求解不等式問題，即可得到結(jié)果【解析】由題可設，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，，將不等式轉(zhuǎn)化為，可得，即，有，故得，所以不等式的解集為，故選：D.【點睛】關鍵點睛：本題的解題關鍵是構造新函數(shù)，然后運用函數(shù)單調(diào)性求解不等式，通常情況構造新函數(shù)的形式如：、或者等，需要結(jié)合條件或者問題出發(fā)進行構造.23．已知函數(shù)，且，則實數(shù)的取值范圍是（    ）．A． B． C． D．【答案】D【分析】用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再解不等式即可.【解析】因為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，由于所以，得 故選：D【點睛】關鍵點點晴：判斷函數(shù)的單調(diào)性是解題的關鍵.24．已知定義在上的函數(shù)滿足，對恒有，則的解集為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】構造新函數(shù)，利用導數(shù)判斷單減，又可解.【解析】令，則，又因為對恒有所以恒成立，所以在R上單減.又，所以的解集為故選：B【點睛】利用單調(diào)性解不等式通常用于： (1)分段函數(shù)型不等式；(2)復合函數(shù)型不等式；(3)抽象函數(shù)型不等式；(4)解析式較復雜的不等式；25．已知函數(shù)f (x)＝，若f (2a2－5a＋4)<f (a2＋a＋4) ，則實數(shù)a的取值范圍是（    ）A．∪(2,＋∞) B．[2,6)C．∪[2,6) D．(0,6)【答案】C【分析】由解析式知在定義域上遞增，由已知函數(shù)不等式有，即可求解a的取值范圍.【解析】由題意，在上單調(diào)遞增，∵，即，∴或，可得或.故選：C【點睛】關鍵點點睛：利用函數(shù)的單調(diào)性，列不等式求參數(shù)的范圍.易錯點是定義域容易被忽略.26．已知函數(shù)的圖象關于y軸對稱，當時，單調(diào)遞增，則不等式的解集為__________．【答案】【分析】由題意可得為偶函數(shù)，再由偶函數(shù)的性質(zhì)可將，轉(zhuǎn)化為，再由當時，單調(diào)遞增，可得，從而可求出的范圍【解析】解：依題意，為偶函數(shù)，當時，單調(diào)遞增，要滿足，則要求，兩邊平方得，即，即，解得．故答案為：．27．設，若，則不等式的解集為____________.【答案】【分析】先由，解出a，討論的單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性解不等式即可.【解析】因為，且，，所以，解得.，在R上單增.可化為：解得：.不等式的解集為故答案為：【點睛】利用單調(diào)性解不等式通常用于： (1)分段函數(shù)型不等式；(2)復合函數(shù)型不等式；(3)抽象函數(shù)型不等式；(4)解析式較復雜的不等式；28．已知定義域為R的奇函數(shù)在區(qū)間上為嚴格減函數(shù)，且，則不等式的解集為___________.【答案】【分析】先由定義域為R的奇函數(shù)在區(qū)間上為嚴格減函數(shù)，且，畫出的草圖，結(jié)合圖像對進行等價轉(zhuǎn)化，解不等式即可.【解析】是定義域為R的奇函數(shù)，且在區(qū)間上為嚴格減函數(shù)，有，∴在區(qū)間上為嚴格減函數(shù)且，可作出的草圖：不等式可化為：或對于，當時，無解；對于，當時，由圖像觀察，解得：所以不等式的解集為.故答案為：【點睛】常見解不等式的類型：(1)解一元二次不等式用圖像法或因式分解法；(2)分式不等式化為標準型后利用商的符號法則；(3)高次不等式用穿針引線法；(4)含參數(shù)的不等式需要分類討論．29．已知函數(shù)在上恒成立，則的取值范圍是_________.【答案】【分析】由題意，把函數(shù)在上恒成立轉(zhuǎn)化為對上恒成立，列不等式解得a的范圍.【解析】恒成立，即恒成立，所以時顯然不成立.當時得，所以.故答案為：【點睛】（1）求參數(shù)的范圍是常見題型之一，處理的方法有兩種：①不分離參數(shù)，直接求最大值或最小值，解不等式；②分離參數(shù)法.（2）解指、對數(shù)型的不等式，通?；癁橥椎慕Y(jié)構，利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式.30．設函數(shù)，則不等式的解集為_________．【答案】【分析】先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再解抽象不等式.【解析】當時，是增函數(shù)，此時；當時， 是增函數(shù)，此時，所以函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，，解得：，所以不等式的解集是.故答案為：  

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