專題5.7   分式的加減法（知識(shí)講解） 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．能利用分式的基本性質(zhì)通分．2．會(huì)進(jìn)行同分母分式的加減法．3．會(huì)進(jìn)行異分母分式的加減法．【要點(diǎn)整理】要點(diǎn)一、同分母分式的加減同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減；上述法則可用式子表為：.特別說(shuō)明：（1）“把分子相加減”是把各分式的分子的整體相加減，即各個(gè)分子都應(yīng)用括號(hào)，當(dāng)分子是單項(xiàng)式時(shí)，括號(hào)可以省略；當(dāng)分子是多項(xiàng)式時(shí)，特別是分子相減時(shí)，括號(hào)不能省，不然，容易導(dǎo)致符號(hào)上的錯(cuò)誤.  （2）分式的加減法運(yùn)算的結(jié)果必須化成最簡(jiǎn)分式或整式.要點(diǎn)二、異分母分式的加減異分母分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质剑偌訙p.上述法則可用式子表為：.特別說(shuō)明：（1）異分母的分式相加減，先通分是關(guān)鍵.通分后，異分母的分式加減法變成同分母分式的加減法.（2）異分母分式加減法的一般步驟：①通分，②進(jìn)行同分母分式的加減運(yùn)算，③把結(jié)果化成最簡(jiǎn)分式.【典型例題】類型一、同分母分式的加減1（2020·全國(guó)八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：．華華的計(jì)算過(guò)程如下：解：原式．請(qǐng)問(wèn)華華的計(jì)算結(jié)果正確嗎？如果不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】不正確，理由見(jiàn)解析【分析】按照同分母的減法法則計(jì)算即可．解：華華的計(jì)算結(jié)果不正確，理由：減式的分子是一個(gè)多項(xiàng)式，沒(méi)有注意分?jǐn)?shù)線的括號(hào)作用；正確的運(yùn)算是：原式．【點(diǎn)撥】本題考查了分式的加減，掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．注意： 減式的分子是一個(gè)多項(xiàng)式，運(yùn)算時(shí)要注意分?jǐn)?shù)線的括號(hào)作用，防止出現(xiàn)的錯(cuò)誤．舉一反三：【變式】（2018·全國(guó)八年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算：（1）【答案】（1）；（2）m-n；（3）1；（4）-1【分析】首先通分，然后再依照“分母不變，分子相加減”的規(guī)則進(jìn)行運(yùn)算，計(jì)算過(guò)程中要合理運(yùn)用因式分解相關(guān)公式，注意結(jié)果要約分化為最簡(jiǎn)形式.解：（1）原式=；（2）原式=；（3）原式=；（4）原式=.【點(diǎn)撥】分式加減運(yùn)算中，通分是關(guān)鍵環(huán)節(jié)，要學(xué)會(huì)尋找最簡(jiǎn)公分母，同時(shí)注意最后結(jié)果的約分.類型二、異分母分式的加減 2、（2021·北京門頭溝區(qū)·八年級(jí)期末）閱讀材料，并回答問(wèn)題：小亮在學(xué)習(xí)分式運(yùn)算過(guò)程中，計(jì)算解答過(guò)程如下：解：①②③④問(wèn)題：（1）上述計(jì)算過(guò)程中，從      步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤（填序號(hào)）；（2）發(fā)生錯(cuò)誤的原因是：                              ；（3）在下面的空白處，寫出正確解答過(guò)程：【答案】（1）③；（2）分式加法法則運(yùn)用錯(cuò)誤；（3）見(jiàn)解析【分析】觀察整個(gè)運(yùn)算過(guò)程，根據(jù)分式的加法運(yùn)算法則，找出錯(cuò)誤的步驟并正確求解即可．解：（1）③；（2）同分母分式相加時(shí)，分母不變，分子相加，不能去掉分母；（3）原式，，，．【點(diǎn)撥】本題考查了分式的加法運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】（2020·全國(guó)八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）計(jì)算下列各題（1）    （2）【答案】（1）0；（2）【分析】（1）先通分，可化成同分母分式，根據(jù)同分母分式的加減，可得答案；
（2）從左到右依次通分相減即可．解：（1）原式.    （2）原式.【點(diǎn)撥】本題考查了分式的加減，異分母分式通分是解答此題的關(guān)鍵．類型三、分式的加減乘除混合運(yùn)算3、（2021·山東臨沂市·八年級(jí)期末）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【答案】；【分析】分式的混合運(yùn)算，注意先算乘除，然后算加減，有小括號(hào)先算小括號(hào)里的，然后代入求值即可．   解：==當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)撥】本題考查分式的混合運(yùn)算，分式的化簡(jiǎn)求值，掌握運(yùn)算順序和計(jì)算法則正確計(jì)算是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】 （2021·河南鄭州市·八年級(jí)期末）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中【答案】；【分析】分式的混合運(yùn)算，注意先算乘除，然后算加減，有小括號(hào)先算小括號(hào)里面的，然后代入求值即可 解：把代入上式，得：【點(diǎn)撥】本題考查分式的混合運(yùn)算，掌握運(yùn)算法則和運(yùn)算順序正確計(jì)算是解題關(guān)鍵． 【變式2】 （2021·廣西北海市·八年級(jí)期末）先化簡(jiǎn)：，然后從，，中選擇一個(gè)合適的數(shù)代入求值．【答案】；1【分析】根據(jù)分式的減法和除法可以化簡(jiǎn)題目中的式子，然后從0，2，3中選擇一個(gè)使得原分式有意義值，代入化簡(jiǎn)后的式子即可解答本題．解：∵當(dāng)或時(shí)，原式?jīng)]有意義，∴當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)撥】本題考查分式的化簡(jiǎn)求值，明確分式化簡(jiǎn)求值的方法和分式有意義的條件是解答本題的關(guān)鍵．類型四、分式的加減乘除運(yùn)算的應(yīng)用4．（2019·四川資陽(yáng)市·八年級(jí)期中）探索：（1）如果，則m=         （2）如果 ，則m=       總結(jié)：如果（其中a.b.c為常數(shù)），則m=       應(yīng)用：利用上述結(jié)論解決：若代數(shù)式的值為整數(shù)，求滿足條件的整數(shù)x的值．【答案】（1）m=﹣13；（2）m=﹣5；（3）m=b﹣ac；（4）x=2或0 【分析】（1）根據(jù)分式的性質(zhì)把5化出來(lái)，再根據(jù)等式的性質(zhì)求出m的值；（2）根據(jù)分式的性質(zhì)把3化出來(lái)，再根據(jù)等式的性質(zhì)求出m的值；總結(jié)：根據(jù)分式的性質(zhì)把a化出來(lái)，再根據(jù)等式的性質(zhì)求出m的值，先把代數(shù)式的4化出來(lái)即可求解.解：（1）∵∴m=﹣13；（2）∵∴m=﹣5；總結(jié)：∵∴m=b﹣ac；應(yīng)用：∵=又∵代數(shù)式的值為整數(shù)，∴為整數(shù)，∴x﹣1=1或x﹣1=﹣1，∴x=2或0【點(diǎn)撥】此題主要考查分式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知等式進(jìn)行求解，再得出規(guī)律進(jìn)行解答.舉一反三：【變式】 （2019·河南商丘市·八年級(jí)期末）閱讀下列 材料，并解答總題：材料：將分式拆分成一個(gè)整式與一個(gè)分式（分子為整數(shù)）的和的形式．解：由分母x+1，可設(shè)則=∵對(duì)于任意上述等式成立∴，解得，∴這樣，分式就拆分成一個(gè)整式與一個(gè)分式的和的形式．（1）將分式拆分成一個(gè)整式與一個(gè)分式（分子為整數(shù)）的和的形式為___________； （2）已知整數(shù)使分式的值為整數(shù)，則滿足條件的整數(shù)=________．【答案】（1）；（2）4、16、2、-10【分析】（1）仿照例題，列出方程組，求出a、b的值，把原式拆分成一個(gè)整式與一個(gè)分式（分子為整數(shù)）的和的形式；
  （2）仿照例題，列出方程組，求出a、b的值，把原式拆分成一個(gè)整式與一個(gè)分式（分子為整數(shù)）的和的形式，根據(jù)整除運(yùn)算解答； 解：（1）由分母x-1，可設(shè)x2+6x-3=（x-1）（x+a）+b
則x2+6x-3=（x-1）（x+a）+b=x2+ax-x-a+b=x2+（a-1）x-a+b
∵對(duì)于任意x上述等式成立，解得：，拆分成x+7+故答案為：x+7+（2）由分母x-3，可設(shè)2x2+5x-20=（x-3）（2x+a）+b
則2x2+5x-20=（x-3）（2x+a）+b=2x2+ax-6x-3a+b=2x2+（a-6）x-3a+b
∵對(duì)于任意x上述等式成立，，解得拆分成2x+11+∵整數(shù)使分式的值為整數(shù)，∴為整數(shù)，則滿足條件的整數(shù)x=4、16、2、-10，
故答案為：4、16、2、-10；【點(diǎn)撥】本題考查的是分式的混合運(yùn)算，掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則、二元一次方程組的解法，讀懂材料掌握方法是解題的關(guān)鍵．5（2019·全國(guó)七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知，求A，B的值.【答案】A=3，B=-2. 【分析】已知等式右邊通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，利用分式相等的條件求出A與B的值即可．解：可得，,解得：A=3，B=-2.【點(diǎn)撥】此題考查了分式的加減法，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．

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