?專題1.13 《三角形的證明》專題練習(xí)（提升篇）
一、單選題
1．如圖，在中，，，AB的中點(diǎn)為D．以C為原點(diǎn)，射線CB為x軸的正方向，射線CA為y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系．P是BC上的一個動點(diǎn)，連接AP、DP，則最小時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ）

A． B． C． D．
2．如圖，C是線段AB上的一點(diǎn)，和都是等邊三角形，AE交CD于M，BD交CE于N，交AE于，則①；②；③；④；⑤是等邊三角形．其中，正確的有（ ）

A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
3．如圖，平分，于點(diǎn)，于點(diǎn)，延長，交， 于點(diǎn)，，下列結(jié)論錯誤的是（ ）

A． B．
C． D．
4．如圖，中，，，則等于（　　?。?br />
A． B． C． D．
5．如圖，已知等腰三角形中，，，分別以、兩點(diǎn)為圓心，以大于的長為半徑畫圓弧，兩弧分別交于點(diǎn)、，直線與相交于點(diǎn)，則的度數(shù)是（ ）

A．50° B．60° C．75° D．45°
6．如圖所示，已知AB∥CD，與的平分線交于點(diǎn)，于點(diǎn)，且，則點(diǎn)到，的距離之和是（ ）

A． B． C． D．
7．如圖，已知AD為的高線，，以AB為底邊作等腰，連接ED，EC延長CE交AD于F點(diǎn)，下列結(jié)論：①；②；③；④為等腰三角形；⑤，其中正確的有（ ）

A．①③⑤ B．①②④ C．①③④ D．①②③⑤
8．如圖，，點(diǎn)D在AC邊上，AE和BD相交于點(diǎn)O，若，，則的度數(shù)為（ ）

A．45° B．40° C．35° D．30°
9．如圖，在中，DE是AC的垂直平分線，交AC邊于E，交BC邊于D，連接AD，若，的周長為13，則的周長（ ）

A．16 B．19 C．20 D．24
10．如圖，在中，，，點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)以每秒的速度向點(diǎn)C運(yùn)動，點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)以每秒的速度向點(diǎn)B運(yùn)動，其中一個動點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一個動點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，當(dāng)是以為底的等腰三角形時，則這時等腰三角形的腰長是（ ）

A． B． C． D．
11．若是的邊，且則是( )．
A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形
12．如圖，在等邊△ABC中，AB=2．N為AB上一點(diǎn)，且AN=1，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D．M是AD上的動點(diǎn)，連結(jié)BM、MN．則BM+MN的最小值是( ? ?)

A．? B．2?? C．1?? D．3
13．如圖所示，已知點(diǎn)，一次函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸分別交于A，B兩點(diǎn)，M，P分別是線段OB，AB上的動點(diǎn)，則的最小值是（ ）

A．4 B．5 C． D．
14．如圖，在中，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)，已知，，CE平分交AB于點(diǎn)E，連接DE，則的度數(shù)為（ ）

A． B． C． D．

二、填空題
15．如圖，C為∠AOB的邊OA上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作CD∥OB交∠AOB的平分線OE于點(diǎn)F，作CH⊥OB交BO的延長線于點(diǎn)H，若∠EFD＝α，現(xiàn)有以下結(jié)論：①∠COF＝α；②∠AOH＝180°﹣2α；③CH⊥CD；④∠OCH＝2α﹣90°．其中正確的是__（填序號）．

16．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D，BE⊥AD于E，AB=6，AC=14，∠ABC=3∠C，則BE=____．

17．如圖，已知 O 為△ABC 三邊垂直平分線的交點(diǎn)，且∠A＝50°，則∠BOC 的度數(shù)為_____度．

18．已知：如圖，ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=，ABD是等邊三角形，則CD的長度為______．

19．如圖，△ABC是等邊三角形，邊長為2，AD是BC邊上的高．E是AC邊中點(diǎn)，點(diǎn)P是AD上的一個動點(diǎn)，則PC＋PE的最小值是_______ ，此時∠CPE的度數(shù)是_______．

20．如圖，在中，，且，，則的度數(shù)為______．

21．如圖，已知，AB的垂直平分線交AB于D，交BC于E，AC的垂直平分線交AC于F，交BC于G，若，，，則的面積為______．

22．如圖，在長方形中，，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，且，點(diǎn)是邊上一動點(diǎn)，連接、．給出下列結(jié)論：

①；
②當(dāng)時，；
③當(dāng)時，平分；
④若，則．其中正確的是______．


三、解答題
23．如圖，在中，，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，連接AD，，BE分別交AC，AD于點(diǎn)E、，若，求AF的長度．

24．如圖，ABC中，AC=2AB=6，BC=．AC的垂直平分線分別交AC，BC于點(diǎn)D，E．

（1）求BE的長；
（2）延長DE交AB的延長線于點(diǎn)F，連接CF．若M是DF上一動點(diǎn)，N是CF上一動點(diǎn)，請直接寫出CM+MN的最小值為 ．
25．在中，，在的外部作等邊三角形，E為的中點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)F，連接．

（1）如圖1，若，求和的度數(shù)；
（2）如圖2，的平分線交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，連接．
①補(bǔ)全圖2；
②若，求證：．

參考答案
1．A
【分析】作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A'，連接A'P，則AP=A'P，當(dāng)A'，P，D在同一直線上時，AP+DP的最小值等于A'D的長，依據(jù)待定系數(shù)法即可得到直線A'D的解析式，進(jìn)而得出點(diǎn)P的坐標(biāo)為．
解：如圖所示，作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A'，連接A'P，則AP=A'P，

∴AP+DP=A'P+DP，
當(dāng)A'，P，D在同一直線上時，AP+DP的最小值等于A'D的長，
∵AC=BC=2，AB的中點(diǎn)為D，
∴A（0，2），B（2，0），D（1，1），A'（0，-2），
設(shè)直線A'D的解析式為y=kx+b（k≠0），則
，
解得：，
∴y=3x2，
當(dāng)y=0時，x=，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0），
故選：A．
2．C
【分析】易證△ACE≌△DCB，可得①正確；即可求得∠AOB＝120°，可得③錯誤；再證明△ACM≌△DCN，可得②④正確和CM＝CN，即可證明⑤正確；即可解題．
解：∵和都是等邊三角形
∵∠ACD＝∠BCE＝60°，
∴∠DCE＝60°，
在△ACE和△DCB中，
，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴∠BDC＝∠EAC，DB＝AE，①正確；
∠CBD＝∠AEC，
∵∠AOB＝180°?∠OAB?∠DBC，
∴∠AOB＝180°?∠AEC?∠OAB＝120°，③錯誤；
在△ACM和△DCN中，
，
∴△ACM≌△DCN（ASA），
∴AM＝DN，④正確；
∠AMC＝∠DNC，②正確；
CM＝CN，
∵∠ACD＝∠BCE＝60°，
∴∠MCN＝180°-∠ACD-∠BCE =60°，
∴△CMN是等邊三角形，⑤正確；
故有①②④⑤正確．
故選：C．
3．D
【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理判斷A選項；證明△OPC≌△OPD判斷B選項；根據(jù)△OPC≌△OPD即可判斷C選項；證明△DPE≌△CPF判斷D選項．
解：∵平分，于點(diǎn)，于點(diǎn)，
∴PC=PD，故A選項正確；
∵∠ODP=∠OCP=，
又∵OP=OP，PC=PD，
∴Rt△OPC≌Rt△OPD，
∴OC=OD，故B選項正確；
∵△OPC≌△OPD，
∴，故C選項正確；
∵∠PDE=∠PCF=，PD=PC，∠DPE=∠CPF，
∴△DPE≌△CPF，
∴PE=PF，
∵PF>PC，
∴PE>PC，故D選項錯誤；
故選：D．
4．A
【分析】利用AD=AC，求出∠ADC=∠C=，利用AD=AB，即可求得∠B=∠BAD．
解：∵AD=AC，
∴∠ADC=∠C，
∵，
∴∠ADC=∠C=，
∵AD=AB，
∴∠B=∠BAD，
故選：A．
5．A
【分析】根據(jù)中垂線的性質(zhì)可得DA=DB，設(shè)∠A=x，則∠ABD=x，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，列出方程，即可求解．
解：又作圖可知：EF是AB的垂直平分線，
∴DA=DB，
∴∠A=∠ABD，
設(shè)∠A=x，則∠ABD=x，
∵，
∴∠ABC=x+15°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC=x+15°，
∴2(x+15°)+x=180°，
∴x=50°，
故選A．
【點(diǎn)撥】
本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，中垂線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，掌握中垂線的性質(zhì)定理以及方程思想，是解題的關(guān)鍵．
6．B
【分析】過點(diǎn)O作MN，MN⊥AB于M，證明MN⊥CD，則MN的長度是AB和CD之間的距離；然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)，分別求出OM、ON的長度，再把它們求和即可．
解：如圖，過點(diǎn)O作MN，MN⊥AB于M，交CD于N，


∵AB∥CD，
∴MN⊥CD，
∵AO是∠BAC的平分線，OM⊥AB，OE⊥AC，OE＝3cm，
∴OM＝OE＝3cm，
∵CO是∠ACD的平分線，OE⊥AC，ON⊥CD，
∴ON＝OE＝3cm，
∴MN＝OM＋ON＝6cm，
即AB與CD之間的距離是6cm，
故選B
7．D
【分析】①由等腰直角三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論；
②證明△ADE≌△BCE，可得∠AEC=∠DEB，即可求得∠AED=∠BEG，即可解題；
③證明△AEF≌△BED即可；
④AE≠DE，故④不正確；
⑤易證△FDC是等腰直角三角形，則CE=EF，S△AEF=S△ACE，由△AEF≌△BED，可知S△BDE=S△ACE，所以S△BDE=S△ACE．
解：①∵AD為△ABC的高線，
∴∠CBE+∠ABE+∠BAD=90°，
∵Rt△ABE是等腰直角三角形，
∴∠ABE=∠BAE=∠BAD+∠DAE=45°，AE=BE，
∴∠CBE+∠BAD=45°，
∴∠DAE=∠CBE，
故①正確
②在△DAE和△CBE中，
，
∴△ADE≌△BCE（SAS）；
∴∠EDA=∠ECB，
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠EDC+∠ECB=90°，
∴∠DEC=90°，
∴CE⊥DE；
故②正確；
③∵∠BDE=∠ADB+∠ADE，∠AFE=∠ADC+∠ECD，
∴∠BDE=∠AFE，
∵∠BED+∠BEF=∠AEF+∠BEF=90°，
∴∠BED=∠AEF，
在△AEF和△BED中，
，
∴△AEF≌△BED（AAS），
∴BD=AF；
故③正確；
④∵AE≠DE，
∴△ADE不是等腰三角形，
⑤∵AD=BC，BD=AF，
∴CD=DF，
∵AD⊥BC，
∴△FDC是等腰直角三角形，
∵DE⊥CE，
∴EF=CE，
∴S△AEF=S△ACE，
∵△AEF≌△BED，
∴S△AEF=S△BED，
∴S△BDE=S△ACE．
故⑤正確；
故選：D．
8．A
【分析】
由△AEC≌△BED可知：EC=ED，∠C=∠BDE，∠BED=∠AEC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可知∠C的度數(shù)，從而可求出∠ADB的度數(shù)．
解：∵△AEC≌△BED，
∴EC=ED，∠C=∠BDE，∠BED=∠AEC，
∴∠BEO+∠AED=∠CED+∠AED，
∴∠BEO=∠CED,
∵∠AED=30°，∠BEC=120°，
∴∠BEO=∠CED==45°，
在△EDC中，
∵EC=ED，∠CED=45°，
∴∠C=∠EDC=67.5°，
∴∠BDE=∠C=67.5°，
∴∠ADB=180°-∠BDE-∠EDC=180°-67.5°-67.5°=45°，
故選A．
9．B
【分析】根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出 AD = DC ，求出和 AB + BC 的長，即可求出答案．
解： DE 是 AC 的垂直平分線,AE=3cm,.
AC=2AE=6cm，AD = DC ,
△ ABD 的周長為13cm，
AB + BD +AD=13cm，
AB + BD + DC = AB +BC=13cm
△ ABC 的周長為 AB + BC +AC=13cm+6cm=19cm，
故選 B．
10．D
【分析】要求運(yùn)動后得到的等腰三角形的腰長，首先要求出動點(diǎn)所運(yùn)動的時間．我們可以設(shè)M、N運(yùn)動的時間為x秒．
解：設(shè)M、N運(yùn)動的時間為x秒．
當(dāng)是以為底的等腰三角形時，
即，解得．
∴腰長為
故選D．
11．D
【分析】由偶次方的非負(fù)性質(zhì)得出a-b=0，a-c=0，b-c=0，得出a=b=c，即可得出結(jié)論．
解：∵，
∴a-b=0，a-c=0，b-c=0，
∴a=b，a=c，b=c，
∴a=b=c，
∴這個三角形是等邊三角形；
故選：D．
12．A
【分析】連接CN，與AD交于點(diǎn)M，連接BM，此時BM+MN取得最小值，由AD為∠BAC的角平分線，利用三線合一得到AD⊥BC，且平分BC，可得出BM＝CM，由BM+MN＝CM+MN＝CN，可得出CN的長為最小值，利用等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理求出即可．
解：如圖，連接CN，與AD交于點(diǎn)M，此時BM+MN取得最小值，


∵AD為∠BAC的角平分線，等邊△ABC
∴AD⊥BC，且平分BC，
∴AD為BC的垂直平分線，
∴CM＝BM，
∴BM+MN＝CM+MN＝CN，即最小值為CN的長，
∵△ABC為等邊三角形，且AB＝2，AN＝1，
∴CN為AB邊上的中線，
∴CN⊥AB，
在Rt△ACN中，AC＝AB＝2，AN＝1，
根據(jù)勾股定理得：，
故選：A．
13．C
【分析】如圖，點(diǎn)N關(guān)于OB的對稱點(diǎn)N′（-1，0），過點(diǎn)N′作N′P⊥AB交OB于M，則PN′=PM+MN的最小值，根據(jù)直線AB的解析式為y=-x+4，得到直線N′P的解析式為y=x+1，得到，推出△PAN′是等腰直角三角形，于是得到結(jié)論．
解：如圖，點(diǎn)N關(guān)于OB的對稱點(diǎn)N′（-1，0），過點(diǎn)N′作N′P⊥AB交OB于M，
則PN′=PM+MN的最小值，

∵直線AB的解析式為y=-x+4，
∴A（4，0），B（0，4），
∴直線N′P的解析式為y=x+1，
由 解得
，
∵A（4，0），B（0，4），
∴OA=OB，
∴∠BAO=45°，
∴△PAN′是等腰直角三角形，
∵AN′=4+1=5，
∴
∴PM+MN的最小值是
故選：C
14．B
【分析】過點(diǎn)E作于M，于N，于H，如圖，先計算出，則AE平分，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得，再由CE平分得到，則，于是根據(jù)角平分線定理的逆定理可判斷DE平分，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)解答即可．
解：過點(diǎn)E作于M，于N，于H，如圖，
，，
，
平分，
，
平分，
，
，
平分，
，
由三角形外角可得：，
，
，
而，
，
故選：B．

15．①②③④
解：∵CD∥OB，∠EFD＝α，
∴∠EOB＝∠EFD＝α，
∵OE平分∠AOB，
∴∠COF＝∠EOB＝α，故①正確；
∠AOB＝2α，
∵∠AOB+∠AOH＝180°，
∴∠AOH＝180°﹣2α，故②正確；
∵CD∥OB，CH⊥OB，
∴CH⊥CD，故③正確；
∴∠HCO+∠HOC＝90°，∠AOB+∠HOC＝180°，
∴∠OCH＝2α﹣90°，故④正確．
故答案為：①②③④．
16．
【分析】如圖，延長 交于 證明 可得 再求解 再證明： 可得 從而可得答案．
解：如圖，延長 交于


AD平分∠BAC，














故答案為：
17．100【分析】連接AO延長交BC于D，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得OB=OA=OC，再根據(jù)等腰三角形的等邊對等角和三角形的外角性質(zhì)可得∠BOC=2∠A，即可求解．
解：連接AO延長交BC于D，
∵O 為△ABC 三邊垂直平分線的交點(diǎn)，
∴OB=OA=OC，
∴∠OBA=∠OAB，∠OCA=∠OAC，
∵∠BOD=∠OBA+∠OAB=2∠OAB，∠COD=∠OCA+∠OAC=2∠OAC，
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2∠OAB+2∠OAC=2∠BAC，
∵∠BAC=50°，
∴∠BOC=100°．
故答案為：100．

18．
解：∵∠ACB=90°，AC=BC=，
∴AB=，∠CAB=∠CBA=45°，
∵ABD是等邊三角形，
∴AB=AD=BD=2，∠DAB=∠ABD=60°，
∵AC=BC，AD=BD，
∴AB⊥CD于E，且AE=BE=1，
在Rt△AEC中，∠AEC=90°，∠EAC=45°，
∴∠EAC=∠ACE=45°，
∴AE=CE=1，
在Rt△AED中，∠AED=90°，AD=2，AE=1，
∴DE=，
∴CD=．


故答案為．
【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)等知識．運(yùn)用勾股定理求出DE是解決本題的關(guān)鍵．
19． 60°
解：作點(diǎn)E關(guān)于AD的對稱點(diǎn)F，然后連接CF，交AD于點(diǎn)H，連接HE，如圖所示：

∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC=BC，∠B=∠ACB=∠BAC=60°，
∵AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC，BD=DC，
∵點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，AD垂直平分EF，
∴點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，
∴CF⊥AB，CF平分∠ACB，
∴∠BCF=30°，
∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)H重合時，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)及兩點(diǎn)之間線段最短可得此時PC+PE為最小值，即為CF的長，
∵BC=2，
∴BF=1，
在Rt△CBF中，，
∴PC+PE的最小值為；
∴∠DHC=∠FHP=60°，
∵AD垂直平分EF，
∴FH=HE，
∴∠FHP=∠PHE=60°，
∴∠CHE=60°，即為∠CPE=60°；
故答案為；60°．
【點(diǎn)撥】本題主要考查勾股定理、等邊三角形的性質(zhì)及軸對稱的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理、等邊三角形的性質(zhì)及軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
20．120°
解：設(shè)∠ABC=，
∴．
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：120°．
【點(diǎn)撥】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．
21．18
【分析】連接AE、AG，根據(jù)中垂線的性質(zhì)，求出AE，AG的長，結(jié)合勾股定理的逆定理，推出，進(jìn)而即可求解．
解：連接AE、AG

∵DE垂直平分AB，
∴，
∵FG垂直平分AC，
∴，
∵，，，
∴，
在中，，，，
∴為直角三角形，
∴，
∴．
故答案是：18
【點(diǎn)撥】
本題主要考查垂直平分線的性質(zhì)定理以及勾股定理的逆定理，掌握中垂線的性質(zhì)定理，添加合適的輔助線，是解題的關(guān)鍵．
22．①②③④
【分析】
設(shè)BE=x，則=8－x，利用勾股定理列出方程即可判斷①；利用SAS證出△AEP≌△CPE，即可證出∠AEP=∠CPE，從而判斷②；過點(diǎn)E作EH⊥AD于H，利用勾股定理求出PE，從而得出PA=PE，利用等邊對等角可得∠PAE=∠PEA，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠AEB=∠PAE，從而判斷③；根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可判斷④．
解：設(shè)BE=x，則=8－x，
在Rt△ABE中，AB2＋BE2=AE2
∴42＋x2=（8－x）2
解得：x=3
即BE=3，故①正確；
∴BE=EC=5
若
∴AP=CE，
∵四邊形ABCD為長方形
∴AD∥BC
∴∠APE=∠CEP
∵PE=EP
∴△AEP≌△CPE
∴∠AEP=∠CPE
∴，故②正確；
當(dāng)時，過點(diǎn)E作EH⊥AD于H，

∴AH=BE=3，HE=AB=4
∴PH=AP－AH=
∴PE==
∴PA=PE
∴∠PAE=∠PEA
∵AD∥BC
∴∠AEB=∠PAE，
∴∠AEB=∠PEA
∴平分，故③正確；
∵∠BPC=180°－∠PCB－∠PBE
∠PEC=180°－∠PCB－∠EPC
∵
∴，故④正確；
綜上：正確的有①②③④
故答案為：①②③④．
【點(diǎn)撥】此題考查的是勾股定理、全等三角形的判定及性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定及性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，掌握勾股定理、全等三角形的判定及性質(zhì)、平行線的判定及性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理是解題關(guān)鍵．
23．
【分析】根據(jù)點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)得到BD=5 ，由勾股定理計算可得AD的長，由等腰直角三角形性質(zhì)得DF=5，最后由線段的差可得結(jié)論．
解：，
，
，
，
中，，
，
中，，
是等腰直角三角形，
，
．
【點(diǎn)撥】本題主要考查的是等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形，結(jié)合題干中條件找出對應(yīng)量是關(guān)鍵．
24．（1）；（2）
【分析】
（1）利用勾股定理逆定理可得ABC是直角三角形，，連接AE，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，在中利用勾股定理列出方程即可求解；
（2）根據(jù)題意畫出圖形，若使的值最小，則A，M，N共線，且，利用全等三角形的判定與性質(zhì)即可求解．
解：（1）連接AE，
，
∵，，
∴，
∴ABC是直角三角形，，
∵DE垂直平分AC，
∴，
在中，，即，
∴，解得；
（2）∵DE垂直平分AC，M是DF上一動點(diǎn)，
∴，
∴，
若使的值最小，則A，M，N共線，且，如圖，
，
在和中，
，
∴≌，
∴．
【點(diǎn)撥】本題考查勾股定理逆定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)，靈活運(yùn)用以上基本性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
25．（1），；（2）①作圖見解析；②見解析
【分析】（1）結(jié)合等腰三角形和等邊三角形的性質(zhì)，可得∠ABD=∠ADB，從而求解出角度后，再計算∠BDF即可；
（2）①根據(jù)尺規(guī)作圖作角平分線的方法畫出的平分線即可；
②設(shè)∠ACM=∠BCM=α，由AB=AC，推出∠ABC=∠ACB=2α，可得∠NAC=∠NCA=α，∠DAN=60°+α，由△ABN≌△ADN（SSS），推出∠ABN=∠ADN=30°，∠BAN=∠DAN=60°+α，∠BAC=60°+2α，在△ABC中，根據(jù)∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°，構(gòu)建方程求出α，再證明∠MNB=∠MBN即可解決問題．
解：（1）∵，為等邊三角形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
又∵E為的中點(diǎn)，
∴由“三線合一”知，，
∴；
（2）①如圖所示：利用尺規(guī)作圖的方法得到CP，交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N；

②如圖所示，連接，
∵平分，
∴設(shè)，
∵，
∴，
在等邊三角形中，
∵為的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，

∴，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用各類圖形的性質(zhì)進(jìn)行綜合分析．

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