專題20 拋物線的簡單幾何性質(zhì)（知識精講）-【新教材精創(chuàng)】2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)新教材知識講學(xué)（人教A版選擇性必修第一冊）學(xué)案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

專題二十拋物線的簡單幾何性質(zhì) 一知識結(jié)構(gòu)圖內(nèi) 容考點(diǎn)關(guān)注點(diǎn) 拋物線的簡單幾何性質(zhì)拋物線的簡單幾何性質(zhì)性質(zhì)運(yùn)用直線與拋物線的位置關(guān)系直線與拋物線的位置關(guān)系的判斷及相關(guān)問題二.學(xué)法指導(dǎo)1．拋物線的性質(zhì)可以總結(jié)為五個“1”，即：一個頂點(diǎn)，一個焦點(diǎn)，一條準(zhǔn)線，一條對稱軸，離心率為1的無心圓錐曲線．2.拋物線中常見的幾個結(jié)論：已知AB是拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)弦，且A(x1，y1)，B(x2，y2)．點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)(如圖)．則有(1)y1y2＝－p2，x1x2＝.(2)|AB|＝x1＋x2＋p.(3)以過焦點(diǎn)的弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切．(4)以焦半徑為直徑的圓與y軸相切．3．應(yīng)用拋物線性質(zhì)解題的常用技巧(1)拋物線的中點(diǎn)弦問題用點(diǎn)差法較簡便．(2)軸對稱問題，一是抓住對稱兩點(diǎn)的中點(diǎn)在對稱軸上，二是抓住兩點(diǎn)連線的斜率與對稱軸所在直線斜率的關(guān)系．(3)在直線和拋物線的綜合題中，經(jīng)常遇到求定值、過定點(diǎn)問題．解決這類問題的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、參數(shù)法等．解決這些問題的關(guān)鍵是代換和轉(zhuǎn)化．(4)圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題，常選擇一參數(shù)來表示要研究問題中的幾何量，通過運(yùn)算找到定點(diǎn)、定值，說明與參數(shù)無關(guān)，也常用特值探路法找定點(diǎn)、定值．三.知識點(diǎn)貫通知識點(diǎn)1 拋物線性質(zhì)的應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)圖形性質(zhì)焦點(diǎn)準(zhǔn)線x＝－x＝y＝－y＝范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R對稱軸x軸y軸頂點(diǎn)(0,0)離心率e＝1 例題1.如圖，過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)F的直線依次交拋物線及準(zhǔn)線于點(diǎn)A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，求拋物線的方程．知識點(diǎn)二直線與拋物線的位置關(guān)系直線與拋物線有三種位置關(guān)系：相離、相切和相交．設(shè)直線y＝kx＋m與拋物線y2＝2px(p＞0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，將y＝kx＋m代入y2＝2px，消去y并化簡，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0.①k＝0時，直線與拋物線只有一個交點(diǎn)；②k≠0時，Δ＞0?直線與拋物線相交?有兩個公共點(diǎn)．Δ＝0?直線與拋物線相切?只有一個公共點(diǎn)．Δ＜0?直線與拋物線相離?沒有公共點(diǎn)．例題2：過定點(diǎn)P(0,1)作與拋物線y2＝2x只有一個公共點(diǎn)的直線有幾條？知識點(diǎn)三中點(diǎn)弦及弦長公式直線過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F，與拋物線交于A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點(diǎn)，由拋物線的定義知，|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，故|AB|＝x1＋x2＋p.例題3 .過點(diǎn)Q(4,1)作拋物線y2＝8x的弦AB，恰被點(diǎn)Q所平分，求AB所在直線的方程．知識點(diǎn)四拋物線的綜合應(yīng)用例題4．如圖所示，拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在拋物線上．(1)求拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程；(2)當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時，證明：直線AB的斜率為定值．五易錯點(diǎn)分析易錯一直線與拋物線的位置關(guān)系例題5.若直線l：y＝(a＋1)x－1與曲線C：y2＝ax(a≠0)恰好有一個公共點(diǎn)，試求實(shí)數(shù)a的取值集合．誤區(qū)警示
考慮直線與拋物線的位置關(guān)系，當(dāng)含參數(shù)時，要分情況討論。