專題17 雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程（知識(shí)精講）-【新教材精創(chuàng)】2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)新教材知識(shí)講學(xué)（人教A版選擇性必修第一冊(cè)）學(xué)案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

專題十七雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程一知識(shí)結(jié)構(gòu)圖內(nèi) 容考點(diǎn)關(guān)注點(diǎn) 雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程雙曲線的定義定義運(yùn)用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程由方程確定焦點(diǎn)位置、求方程二.學(xué)法指導(dǎo)1．雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種求法(1)定義法：根據(jù)雙曲線的定義得到相應(yīng)的a，b，c，再寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)待定系數(shù)法：先設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程－＝1或－＝1(a，b均為正數(shù))，然后根據(jù)條件求出待定的系數(shù)代入方程即可．2．求雙曲線中的焦點(diǎn)△PF1F2面積的方法(1)①根據(jù)雙曲線的定義求出||PF1|－|PF2||＝2a；②利用余弦定理表示出|PF1|、|PF2|、|F1F2|之間滿足的關(guān)系式；③通過配方，整體的思想求出|PF1|·|PF2|的值；④利用公式S＝×|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2求得面積．(2)利用公式＝×|F1F2|×|yP|求得面積．3．求解與雙曲線有關(guān)的點(diǎn)的軌跡問題，常見的方法有兩種：(1)列出等量關(guān)系，化簡(jiǎn)得到方程；(2)尋找?guī)缀侮P(guān)系，結(jié)合雙曲線的定義，得出對(duì)應(yīng)的方程．求解雙曲線的軌跡問題時(shí)要特別注意：(1)雙曲線的焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸；(2)檢驗(yàn)所求的軌跡對(duì)應(yīng)的是雙曲線的一支還是兩支．三.知識(shí)點(diǎn)貫通知識(shí)點(diǎn)1 求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程－＝1(a＞0，b＞0)－＝1(a＞0，b＞0)焦點(diǎn)F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)a，b，c的關(guān)系c2＝a2＋b2 例題1.根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)a＝4，經(jīng)過點(diǎn)A；(2)與雙曲線－＝1有相同的焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)(3，2)；【解析】　(1)當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)所求標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1(b>0)，把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入，得b2＝－×<0，不符合題意；當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)所求標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1(b>0)，把A點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得b2＝9.故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1.(2)法一：∵焦點(diǎn)相同，∴設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1(a>0，b>0)，∴c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20. ①∵雙曲線經(jīng)過點(diǎn)(3，2)，∴－＝1. ②由①②得a2＝12，b2＝8，∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1.法二：設(shè)所求雙曲線的方程為－＝1(－4<λ<16)．∵雙曲線過點(diǎn)(3，2)，∴－＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1.知識(shí)點(diǎn)二雙曲線定義的應(yīng)用雙曲線的定義文字語言平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F2的距離的差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡.符號(hào)語言||PF1|－|PF2||＝常數(shù)(常數(shù)＜|F1F2|)焦點(diǎn)定點(diǎn)F1，F2焦距兩焦點(diǎn)間的距離例題2：△ABC中，A(－5,0)，B(5,0)，點(diǎn)C在雙曲線－＝1上，則＝(　　)A．　　　B．±　　　C．－　　　D．±【答案】D　【解析】在△ABC中，sin A＝，sin B＝，sin C＝＝(其中R為△ABC外接圓的半徑)．∴＝＝.又∵|BC|－|AC|＝±8，∴＝±＝±.知識(shí)點(diǎn)三與雙曲線有關(guān)的軌跡問題雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F2的距離的差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡.例題3 .如圖所示，在△ABC中，已知|AB|＝4，且三個(gè)內(nèi)角A，B，C滿足2sin A＋sin C＝2sin B，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求頂點(diǎn)C的軌跡方程．【解析】　以AB邊所在的直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則A(－2，0)，B(2，0)．由正弦定理，得sin A＝，sin B＝，sin C＝(R為△ABC的外接圓半徑)．∵2sin A＋sin C＝2sin B，∴2|BC|＋|AB|＝2|AC|，即|AC|－|BC|＝＝2<|AB|.由雙曲線的定義知，點(diǎn)C的軌跡為雙曲線的右支(除去與x軸的交點(diǎn))．由題意，設(shè)所求軌跡方程為－＝1(x>a)，∵a＝，c＝2，∴b2＝c2－a2＝6.即所求軌跡方程為－＝1(x>)．五易錯(cuò)點(diǎn)分析易錯(cuò)一求雙曲線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離例題4.已知F1，F2分別是雙曲線－＝1的左、右焦點(diǎn)，且其上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F1的距離為10.求點(diǎn)P到F2的距離。[解]　由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5。由雙曲線定義得||PF1|－|PF2||＝2a＝6，∴|10－|PF2||＝6。解得|PF2|＝4或|PF2|＝16誤區(qū)警示
求雙曲線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，要注意雙曲線定義的運(yùn)用，距離差的絕對(duì)值。

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