專題11 圓的方程知識精講 -【新教材精創(chuàng)】2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)新教材知識講學(xué)（人教A版選擇性必修第一冊）學(xué)案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

二.學(xué)法指導(dǎo)
1．判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的方法
(1)只需計(jì)算該點(diǎn)與圓的圓心距離，與半徑作比較即可；
(2)把點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷式子兩邊的符號，并作出判斷．
2．確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法
(1)幾何法
它是利用圖形的幾何性質(zhì)，如圓的性質(zhì)等，直接求出圓的圓心和半徑，代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，從而得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
(2)待定系數(shù)法
由三個(gè)獨(dú)立條件得到三個(gè)方程，解方程組以得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中三個(gè)參數(shù)，從而確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．它是求圓的方程最常用的方法，一般步驟是：
①設(shè)—設(shè)所求圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2；
②列—由已知條件，建立關(guān)于a，b，r的方程組；
③解—解方程組，求出a，b，r；
④代—將a，b，r代入所設(shè)方程，得所求圓的方程．
3．求圓的方程時(shí)，如果由已知條件容易求得圓心坐標(biāo)、半徑或需利用圓心的坐標(biāo)或半徑列方程的問題，一般采用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再用待定系數(shù)法求出a，b，r；如果已知條件與圓心和半徑都無直接關(guān)系，一般采用圓的一般方程，再用待定系數(shù)法求出常數(shù)D，E，F(xiàn).
4．圓的方程的幾種特殊情況
5..求涉及到曲線的軌跡問題時(shí)，一般有兩種方法：一是直接法，即把動點(diǎn)滿足的條件直接用坐標(biāo)“翻譯”過來的方法；二是代入法，代入法也叫相關(guān)點(diǎn)法，就是把動點(diǎn)(x，y)與相關(guān)點(diǎn)(x0，y0)建立等式，再把x0，y0用x，y表示后代入到它所滿足的曲線的方法．解題時(shí)要注意條件的限制．
三.知識點(diǎn)貫通
知識點(diǎn)1 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其圓心為C(a，b)，半徑為r，點(diǎn)P(x0，y0)，設(shè)d＝|PC|＝eq \r(?x0－a?2＋?y0－b?2).
例題1.已知圓的圓心M是直線2x＋y－1＝0與直線x－2y＋2＝0的交點(diǎn)，且圓過點(diǎn)P(－5,6)，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并判斷點(diǎn)A(2,2)，B(1,8)，C(6,5)是在圓上，在圓內(nèi)，還是在圓外？
【解析】解方程組eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y－1＝0，,x－2y＋2＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝1，))
∴圓心M的坐標(biāo)為(0,1)，
半徑r＝|MP|＝eq \r(52＋?1－6?2)＝5eq \r(2).
∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y－1)2＝50.
∵|AM|＝eq \r(?2－0?2＋?2－1?2)＝eq \r(5)＜r，
∴點(diǎn)A在圓內(nèi)．
∵|BM|＝eq \r(?1－0?2＋?8－1?2)＝eq \r(50)＝r，
∴點(diǎn)B在圓上．
∵|CM|＝eq \r(?6－0?2＋?5－1?2)＝eq \r(52)＞r，
∴點(diǎn)C在圓外．∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y－1)2＝50，且點(diǎn)A在圓內(nèi)，點(diǎn)B在圓上，點(diǎn)C在圓外．
知識點(diǎn)二求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：圓心為A(a，b)，半徑長為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
當(dāng)a＝b＝0時(shí)，方程為x2＋y2＝r2，表示以原點(diǎn)O為圓心、半徑為r的圓．
例題2：求過點(diǎn)A(1，－1)，B(－1,1)，且圓心在直線x＋y－2＝0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【解析】設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由已知條件知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(?1－a?2＋?－1－b?2＝r2，,?－1－a?2＋?1－b?2＝r2，,a＋b－2＝0，))
解此方程組，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝1，,r2＝4.))
故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4.
知識點(diǎn)三與圓有關(guān)的最值問題
與圓有關(guān)的最值問題的常見類型及解法
(1)形如u＝eq \f(y－b,x－a)形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為過點(diǎn)(x, y)和(a, b)的動直線斜率的最值問題．
(2)形如l＝ax＋by形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線y＝－eq \f(a,b) x＋eq \f(l,b)截距的最值問題．
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點(diǎn)(x, y)到定點(diǎn)(a, b)的距離的平方的最值問題．
例題3 .已知x和y滿足(x＋1)2＋y2＝eq \f(1,4)，試求x2＋y2的最值．
【解析】由題意知x2＋y2表示圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)距離的平方，顯然當(dāng)圓上的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離取最大值和最小值時(shí)，其平方也相應(yīng)取得最大值和最小值．原點(diǎn)O(0,0)到圓心C(－1,0)的距離d＝1，故圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的最大距離為1＋eq \f(1,2)＝eq \f(3,2)，最小距離為1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2).因此x2＋y2的最大值和最小值分別為eq \f(9,4)和eq \f(1,4).
知識點(diǎn)四圓的一般方程的認(rèn)識
判斷方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0是否表示圓，關(guān)鍵是將其配方eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(D,2)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(E,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(D2＋E2－4F,4)，最后轉(zhuǎn)化為判斷D2＋E2－4F的正負(fù)問題．
例題4．下列方程各表示什么圖形？若表示圓，求出其圓心坐標(biāo)和半徑長．
①x2＋y2－4x＝0；②2x2＋2y2－3x＋4y＋6＝0；③x2＋y2＋2ax＝0.
【解析】 ①方程可變形為(x－2)2＋y2＝4，故方程表示圓，圓心為C(2,0)，半徑r＝2.
②方程可變形為2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4)))eq \s\up12(2)＋2(y＋1)2＝－eq \f(23,8)，此方程無實(shí)數(shù)解．故方程不表示任何圖形．
③原方程可化為(x＋a)2＋y2＝a2.
當(dāng)a＝0時(shí)，方程表示點(diǎn)(0,0)，不表示圓；
當(dāng)a≠0時(shí)，方程表示以(－a,0)為圓心，|a|為半徑的圓．
知識點(diǎn)五求圓的一般方程
圓的一般方程的概念
當(dāng)D2＋E2－4F＞0時(shí)，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圓的一般方程．
其中圓心為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，圓的半徑為r＝eq \f(1,2)eq \r(D2＋E2－4F).
例題5已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為A(1,4)，B(－2,3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圓方程、外心坐標(biāo)和外接圓半徑．
【解析】設(shè)△ABC的外接圓方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
∵A，B，C在圓上，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋16＋D＋4E＋F＝0，,4＋9－2D＋3E＋F＝0，,16＋25＋4D－5E＋F＝0，))
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝－2，,E＝2，,F＝－23，))
∴△ABC的外接圓方程為x2＋y2－2x＋2y－23＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝25.
∴外心坐標(biāo)為(1，－1)，外接圓半徑為5.
五易錯點(diǎn)分析
易錯一圓的一般方程
例題6.方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的圖形是( )
A．一個(gè)點(diǎn) B．一個(gè)圓
C．一條直線D．不存在
【答案】A
【解析】方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0，可化為x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝0，∴方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示點(diǎn)(1，－2)．
誤區(qū)警示
關(guān)于x,y的一元二次方程能否表示圓，一種方法可將一元二次方程配方，另一種方法，可根據(jù)一般方程表示圓的條件來判斷。
內(nèi) 容
考點(diǎn)
關(guān)注點(diǎn)
圓的方程
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
圓心坐標(biāo)、半徑
點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
距離與半徑比較
圓的一般方程
與標(biāo)準(zhǔn)方程互化
一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)
過原點(diǎn)
x2＋y2＋Dx＋Ey＝0
圓心在x軸上
x2＋y2＋Dx＋F＝0(D2－4F＞0)
圓心在y軸上
x2＋y2＋Ey＋F＝0(E2－4F＞0)
位置關(guān)系
d與r的大小
圖示
點(diǎn)P的坐標(biāo)的特點(diǎn)
點(diǎn)在圓外
d＞r
(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2
點(diǎn)在圓上
d＝r
(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
點(diǎn)在圓內(nèi)
d＜r
(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2