專題十五     橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程 一 知識結(jié)構(gòu)圖內(nèi)  容考點關(guān)注點 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的定義橢圓上的點到焦點的距離橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 二.學(xué)法指導(dǎo)1．用待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的一般步驟(1)定位置：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點是在x軸上，還是在y軸上，還是兩個坐標(biāo)軸都有可能．(2)設(shè)方程：根據(jù)上述判斷設(shè)方程＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)或整式形式mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．(3)找關(guān)系：根據(jù)已知條件建立關(guān)于a，b，c(或m，n)的方程組．(4)得方程：解方程組，將解代入所設(shè)方程，寫出標(biāo)準(zhǔn)形式即為所求．2．橢圓定義在焦點三角形中的應(yīng)用技巧(1)橢圓的定義具有雙向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)，則點M的軌跡是橢圓；反之，橢圓上任意一點M到兩焦點的距離之和必為2a.(2)涉及焦點三角形面積時，可把|PF1|，|PF2|看作一個整體，運(yùn)用|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而無需單獨(dú)求解3．與橢圓有關(guān)的軌跡方程的求法常用方法有：直接法、定義法和代入法。4．對定義法求軌跡方程的認(rèn)識如果能確定動點運(yùn)動的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可以利用這種已知曲線的定義直接寫出其方程，這種求軌跡方程的方法稱為定義法．定義法在我們后續(xù)要學(xué)習(xí)的圓錐曲線的問題中被廣泛使用，是一種重要的解題方法．5．代入法(相關(guān)點法)若所求軌跡上的動點P(x，y)與另一個已知曲線C：F(x，y)＝0上的動點Q(x1，y1)存在著某種聯(lián)系，可以把點Q的坐標(biāo)用點P的坐標(biāo)表示出來，然后代入已知曲線C的方程 F(x，y)＝0，化簡即得所求軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做代入法(又稱相關(guān)點法)．三.知識點貫通知識點1  橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 焦點在x軸上焦點在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程＋＝1(a>b>0)＋＝1(a＞b＞0) 例題1.求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)兩個焦點的坐標(biāo)分別為F1(－4,0)，F2(4,0)，并且橢圓上一點P與兩焦點的距離的和等于10；(2)焦點坐標(biāo)分別為(0，－2)，(0,2)，經(jīng)過點(4,3)；(3)經(jīng)過兩點(2，－)，.[解]　(1)因為橢圓的焦點在x軸上，且c＝4,2a＝10，所以a＝5，b＝＝＝3，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.(2)因為橢圓的焦點在y軸上，所以可設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a＞b＞0)．法一：由橢圓的定義知2a＝＋＝12，解得a＝6.又c＝2，所以b＝＝4.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.法二：因為所求橢圓過點(4,3)，所以＋＝1.又c2＝a2－b2＝4，可解得a2＝36，b2＝32.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.(3)法一：若焦點在x軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a＞b＞0)．由已知條件得解得所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.若焦點在y軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a＞b＞0)．由已知條件得解得則a2＜b2，與a＞b＞0矛盾，舍去．綜上可知，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.法二：設(shè)橢圓的一般方程為Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)．分別將兩點的坐標(biāo)(2，－)，代入橢圓的一般方程，得解得所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.知識點二   橢圓中的焦點三角形把平面內(nèi)與兩個定點F1，F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距，焦距的一半稱為半焦距．例題2：已知橢圓＋＝1中，點P是橢圓上一點，F1，F2是橢圓的焦點，且∠PF1F2＝120°，則△PF1F2的面積為________．【答案】　【解析】由＋＝1，可知a＝2，b＝，所以c＝＝1，從而|F1F2|＝2c＝2.在△PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos∠PF1F2，即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|.　????????????? ①由橢圓定義得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4.　 ②由①②聯(lián)立可得|PF1|＝.所以S＝|PF1||F1F2|sin∠PF1F2＝××2×＝.] 知識點三   與橢圓有關(guān)的軌跡問題用定義法求橢圓的方程，首先要利用平面幾何知識將題目條件轉(zhuǎn)化為到兩定點的距離之和為定值，然后判斷橢圓的中心是否在原點、對稱軸是否為坐標(biāo)軸，最后由定義確定橢圓的基本量a，b，c.例題3 .如圖所示，圓C：(x＋1)2＋y2＝25及點A(1,0)，Q為圓上一點，AQ的垂直平分線交CQ于點M，求點M的軌跡方程．【解析】由垂直平分線的性質(zhì)可知|MQ|＝|MA|，∴|CM|＋|MA|＝|CM|＋|MQ|＝|CQ|，∴|CM|＋|MA|＝5.∴點M的軌跡為橢圓，其中2a＝5，焦點為C(－1,0)，A(1,0)，∴a＝，c＝1 ，∴b2＝a2－c2＝－1＝.∴所求點M的軌跡方程為＋＝1，即＋＝1.五 易錯點分析易錯一  由橢圓的方程求參數(shù)的范圍例題4.方程＋＝1表示焦點在x軸上的橢圓，則實數(shù)a的取值范圍是________．【答案】(－6，－2)∪(3，＋∞)　【解析】由a2＞a＋6＞0得a＞3或－6＜a＜－2.誤區(qū)警示
誰的分母大，焦點在那個軸上。  

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