專題13 圓與圓的位置關(guān)系 知識精講 -【新教材精創(chuàng)】2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)新教材知識講學(xué)（人教A版選擇性必修第一冊）學(xué)案

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專題十三   圓與圓的位置關(guān)系一 知識結(jié)構(gòu)圖內(nèi)  容考點關(guān)注點圓與圓的位置關(guān)系圓與圓的位置關(guān)系判斷兩圓的位置關(guān)系  二.學(xué)法指導(dǎo)1．判斷兩圓的位置關(guān)系或利用兩圓的位置關(guān)系求參數(shù)的取值范圍有以下幾個步驟：(1)化成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，寫出圓心和半徑；(2)計算兩圓圓心的距離d；(3)通過d，r1＋r2，|r1－r2|的關(guān)系來判斷兩圓的位置關(guān)系或求參數(shù)的范圍，必要時可借助于圖形，數(shù)形結(jié)合．2．過兩圓的交點的圓的方程已知圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，則過兩圓交點的圓的方程可設(shè)為x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．3．判斷兩圓的位置關(guān)系的方法(1)由兩圓的方程組成的方程組有幾個實數(shù)解確定，這種方法計算量比較大，一般不用．(2)依據(jù)圓心距與兩圓半徑的和或兩圓半徑的差的絕對值的大小關(guān)系．相交?|R－r|＜d＜R＋r.相切相離(特別地d＝0時，兩圓為同心圓)4．當(dāng)兩圓相交時，把兩圓的方程作差消去x2和y2就得到兩圓的公共弦所在的直線方程．即若圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，則兩圓公共弦所在直線的方程為(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.三.知識點貫通知識點1   圓與圓的位置關(guān)系的判斷圓與圓位置關(guān)系的判定(1)幾何法：若兩圓的半徑分別為r1，r2，兩圓的圓心距為d，則兩圓的位置關(guān)系的判斷方法如下：位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖示d與r1，r2的關(guān)系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|0＜d＜|r1－r2|(2)代數(shù)法：通過兩圓方程組成方程組的公共解的個數(shù)進行判斷．一元二次方程 例題1.當(dāng)實數(shù)k為何值時，兩圓C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、外離？【解析】　將兩圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k.圓C1的圓心為C1(－2,3)，半徑長r1＝1；圓C2的圓心為C2(1,7)，半徑長r2＝(k＜50)，從而|C1C2|＝＝5.當(dāng)1＋＝5，即k＝34時，兩圓外切．當(dāng)|－1|＝5，即＝6，即k＝14時，兩圓內(nèi)切．當(dāng)|－1|＜5＜1＋，即14＜k＜34時，兩圓相交．當(dāng)＋1|<5，即34＜k＜50時，兩圓外離．知識點二   兩圓相切問題處理兩圓相切問題的兩個步驟(1)定性，即必須準(zhǔn)確把握是內(nèi)切還是外切，若只是告訴相切，則必須分兩圓內(nèi)切還是外切兩種情況討論．(2)轉(zhuǎn)化思想，即將兩圓相切的問題轉(zhuǎn)化為兩圓的圓心距等于兩圓半徑之差的絕對值(內(nèi)切時)或兩圓半徑之和(外切時)．例題2：求半徑為4，與圓(x－2)2＋(y－1)2＝9相切，且和直線y＝0相切的圓的方程．【解析】　設(shè)所求圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝16，由圓與直線y＝0相切、半徑為4，則圓心C的坐標(biāo)為C1(a,4)或C2(a，－4)．已知圓(x－2)2＋(y－1)2＝9的圓心A的坐標(biāo)為(2,1)，半徑為3.由兩圓相切，則|CA|＝4＋3＝7或|CA|＝4－3＝1.①當(dāng)圓心為C1(a,4)時，(a－2)2＋(4－1)2＝72或(a－2)2＋(4－1)2＝12(無解)，故可得a＝2±2，故所求圓的方程為(x－2－2)2＋(y－4)2＝16或(x－2＋2)2＋(y－4)2＝16.②當(dāng)圓心為C2(a，－4)時，(a－2)2＋(－4－1)2＝72或(a－2)2＋(－4－1)2＝12(無解)，解得a＝2±2.故所求圓的方程為(x－2－2)2＋(y＋4)2＝16或(x－2＋2)2＋(y＋4)2＝16.綜上所述，所求圓的方程為(x－2－2)2＋(y－4)2＝16或(x－2＋2)2＋(y－4)2＝16或(x－2－2)2＋(y＋4)2＝16或(x－2＋2)2＋(y＋4)2＝16.知識點三   兩圓相交問題求兩圓公共弦長的方法一是聯(lián)立兩圓方程求出交點坐標(biāo)，再用距離公式求解；二是先求出兩圓公共弦所在的直線方程，再利用半徑長、弦心距和弦長的一半構(gòu)成的直角三角形求解．例題3 .已知圓C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圓C2：x2＋y2＋6y－28＝0.(1)求兩圓公共弦所在直線的方程；(2)求經(jīng)過兩圓交點且圓心在直線x－y－4＝0上的圓的方程．【解析】　(1)設(shè)兩圓交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A，B兩點坐標(biāo)是方程組的解．①－②，得x－y＋4＝0.∵A，B兩點坐標(biāo)都滿足此方程，∴x－y＋4＝0即為兩圓公共弦所在直線的方程．(2)解方程組得兩圓的交點A(－1,3)，B(－6，－2)．設(shè)所求圓的圓心為(a，b)，因圓心在直線x－y－4＝0上，故b＝a－4.則＝，解得a＝，故圓心為，半徑為.故圓的方程為＋＝，即x2＋y2－x＋7y－32＝0.五 易錯點分析易錯一  判斷兩圓相交例題4.圓O1：x2＋y2－2x＝0和圓O2：x2＋y2－4y＝0的位置關(guān)系為(　　)A．相離　　　B．相交　　　C．外切　　　D．內(nèi)切【答案】B　【解析】圓O1的圓心坐標(biāo)為(1,0)，半徑長r1＝1；圓O2的圓心坐標(biāo)為(0,2)，半徑長r2＝2；1＝r2－r1<|O1O2|＝<r1＋r2＝3，即兩圓相交．誤區(qū)警示
兩圓相交，圓心距大于兩圓半徑的差，小于兩圓半徑的和。