專題十六   橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 一 知識(shí)結(jié)構(gòu)圖內(nèi)  容考點(diǎn)關(guān)注點(diǎn) 橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)性質(zhì)運(yùn)用離心率 求離心率，由離心率求方程 二.學(xué)法指導(dǎo)1．由標(biāo)準(zhǔn)方程研究性質(zhì)時(shí)的兩點(diǎn)注意(1)已知橢圓的方程討論性質(zhì)時(shí)，若不是標(biāo)準(zhǔn)形式的先化成標(biāo)準(zhǔn)形式，再確定焦點(diǎn)的位置，進(jìn)而確定橢圓的類型．(2)焦點(diǎn)位置不確定的要分類討論，找準(zhǔn)a與b，正確利用a2＝b2＋c2求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，再寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)．同時(shí)要注意長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦距不是a，b，c，而應(yīng)是2a,2b,2c.2．利用橢圓的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程的思路(1)利用橢圓的幾何性質(zhì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，通常采用待定系數(shù)法，其步驟是：①確定焦點(diǎn)位置；②設(shè)出相應(yīng)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(對(duì)于焦點(diǎn)位置不確定的橢圓可能有兩種標(biāo)準(zhǔn)方程)；③根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的關(guān)系式，利用方程(組)求參數(shù)，列方程(組)時(shí)常用的關(guān)系式有b2＝a2－c2，e＝等．(2)在橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)中，軸長(zhǎng)、離心率不能確定橢圓的焦點(diǎn)位置，因此僅依據(jù)這些條件求所要確定的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可能有兩個(gè)．3．求橢圓離心率及范圍的兩種方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解．(2)方程法：若a，c的值不可求，則可根據(jù)條件建立a，b，c的齊次關(guān)系式，借助于a2＝b2＋c2，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，c的齊次方程或不等式，再將方程或不等式兩邊同除以a的最高次冪，得到關(guān)于e的方程或不等式，即可求得e的值或范圍．4.代數(shù)法判斷直線與橢圓的位置關(guān)系判斷直線與橢圓的位置關(guān)系，通過解直線方程與橢圓方程組成的方程組，消去方程組中的一個(gè)變量，得到關(guān)于另一個(gè)變量的一元二次方程，則Δ>0?直線與橢圓相交；Δ＝0?直線與橢圓相切；Δ<0?直線與橢圓相離．5.解決橢圓的中點(diǎn)弦問題的兩種方法(1)方程組法通過解直線方程與橢圓方程構(gòu)成的方程組，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解．(2)點(diǎn)差法設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)(弦的端點(diǎn))坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，將這兩點(diǎn)代入橢圓的方程并對(duì)所得兩式作差，得到一個(gè)與弦AB的中點(diǎn)(x0，y0)和斜率kAB有關(guān)的式子，可以大大減少運(yùn)算量．我們稱這種代點(diǎn)作差的方法為“點(diǎn)差法”，事實(shí)上就是橢圓的垂徑定理．利用kAB＝＝－·＝－·，轉(zhuǎn)化為中點(diǎn)(x0，y0)與直線AB的斜率之間的關(guān)系，這是處理弦中點(diǎn)軌跡問題的常用方法．三.知識(shí)點(diǎn)貫通知識(shí)點(diǎn)1   由橢圓方程研究幾何性質(zhì)焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程＋＝1(a＞b＞0)＋＝1(a>b>0)范圍－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a對(duì)稱性對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，對(duì)稱中心為原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)軸長(zhǎng)短軸長(zhǎng)|B1B2|＝2b，長(zhǎng)軸長(zhǎng)|A1A2|＝2a焦點(diǎn)F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c 例題1.求橢圓9x2＋16y2＝144的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)坐標(biāo)和頂點(diǎn)坐標(biāo)．【解析】　把已知方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1，所以a＝4，b＝3，c＝＝，所以橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)分別是2a＝8和2b＝6；離心率e＝＝；兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(－，0)，(，0)；四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)，(0,3)．知識(shí)點(diǎn)二   由幾何性質(zhì)求橢圓的方程焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程＋＝1(a＞b＞0)＋＝1(a>b>0)范圍－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a對(duì)稱性對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，對(duì)稱中心為原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)軸長(zhǎng)短軸長(zhǎng)|B1B2|＝2b，長(zhǎng)軸長(zhǎng)|A1A2|＝2a焦點(diǎn)F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c例題2：求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)橢圓過點(diǎn)(3,0)，離心率e＝；(2)在x軸上的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩個(gè)端點(diǎn)的連線互相垂直，且焦距為8；【解析】　(1)若焦點(diǎn)在x軸上，則a＝3，∵e＝＝，∴c＝，∴b2＝a2－c2＝9－6＝3.∴橢圓的方程為＋＝1.若焦點(diǎn)在y軸上，則b＝3，∵e＝＝＝＝，解得a2＝27.∴橢圓的方程為＋＝1.∴所求橢圓的方程為＋＝1或＋＝1.(2)設(shè)橢圓方程為＋＝1(a＞b＞0)．如圖所示，△A1FA2為等腰直角三角形，OF為斜邊A1A2的中線(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，∴c＝b＝4，∴a2＝b2＋c2＝32，故所求橢圓的方程為＋＝1.知識(shí)點(diǎn)三   求橢圓的離心率(1)定義：橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比稱為橢圓的離心率．(2)性質(zhì)：離心率e的范圍是(0,1)．當(dāng)e越接近于1時(shí)，橢圓越扁；當(dāng)e越接近于0時(shí)，橢圓就越接近于圓．例題3 .設(shè)橢圓＋＝1(a＞b＞0)的兩焦點(diǎn)為F1，F2，若在橢圓上存在一點(diǎn)P，使·＝0，求橢圓的離心率e的取值范圍．【解析】　由題意知PF1⊥PF2，所以點(diǎn)P在以F1F2為直徑的圓上，即在圓x2＋y2＝c2上．又點(diǎn)P在橢圓上，所以圓x2＋y2＝c2與橢圓＋＝1有公共點(diǎn)．連接OP(圖略)，則易知0＜b≤c＜a，所以b2≤c2＜a2，即a2－c2≤c2＜a2.所以≤c2＜a2，所以≤e＜1.所以e∈.知識(shí)點(diǎn)四  直線與橢圓的位置關(guān)系直線y＝kx＋m與橢圓＋＝1(a>b>0)的位置關(guān)系：聯(lián)立消去y得一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程．位置關(guān)系解的個(gè)數(shù)Δ的取值相交兩解Δ>0位置關(guān)系解的個(gè)數(shù)Δ的取值相切一解Δ＝0相離無解Δ<0 例題4．已知直線l：y＝2x＋m，橢圓C：＋＝1.試問當(dāng)m取何值時(shí)，直線l與橢圓C：(1)有兩個(gè)公共點(diǎn)；(2)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；(3)沒有公共點(diǎn)．【解析】直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得方程組消去y，得9x2＋8mx＋2m2－4＝0　①.方程①的判別式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.(1)當(dāng)Δ＞0，即－3＜m＜3時(shí)，方程①有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，可知原方程組有兩組不同的實(shí)數(shù)解．這時(shí)直線l與橢圓C有兩個(gè)公共點(diǎn)．(2)當(dāng)Δ＝0，即m＝±3時(shí)，方程①有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)解，可知原方程組有兩組相同的實(shí)數(shù)解．這時(shí)直線l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．(3)當(dāng)Δ＜0，即m＜－3或m＞3時(shí)，方程①沒有實(shí)數(shù)解，可知原方程組沒有實(shí)數(shù)解．這時(shí)直線l與橢圓C沒有公共點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)五   弦長(zhǎng)和中點(diǎn)弦問題設(shè)直線與橢圓交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，則有|AB|＝＝·＝·(k為直線斜率)．例題5過橢圓＋＝1內(nèi)一點(diǎn)M(2,1)引一條弦，使弦被M點(diǎn)平分．(1)求此弦所在的直線方程；(2)求此弦長(zhǎng)．【解析】(1)法一：設(shè)所求直線方程為y－1＝k(x－2)．代入橢圓方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.又設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1，x2是方程的兩個(gè)根，于是x1＋x2＝.又M為AB的中點(diǎn)，∴＝＝2，解得k＝－.故所求直線的方程為x＋2y－4＝0.法二：設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)．又M(2,1)為AB的中點(diǎn)，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.又A，B兩點(diǎn)在橢圓上，則x＋4y＝16，x＋4y＝16.兩式相減得(x－x)＋4(y－y)＝0.于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.∴＝－＝－，即kAB＝－.又直線AB過點(diǎn)M(2,1)，故所求直線的方程為x＋2y－4＝0.(2)設(shè)弦的兩端點(diǎn)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x2－4x＝0，∴x1＋x2＝4，x1x2＝0，∴|AB|＝·＝·＝2.知識(shí)點(diǎn)六    與橢圓有關(guān)的綜合問題例題6.　橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)經(jīng)過點(diǎn)A(－2,0)，且離心率為.(1)求橢圓E的方程；(2)過點(diǎn)P(4,0)任作一條直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N.在x軸上是否存在點(diǎn)Q，使得∠PQM＋∠PQN＝180°？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解析】　(1)由條件可知，橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，且a＝2，又e＝＝，得c＝.由a2－b2＝c2得b2＝a2－c2＝2.∴所求橢圓的方程為＋＝1.(2)若存在點(diǎn)Q(m,0)，使得∠PQM＋∠PQN＝180°，則直線QM和QN的斜率存在，分別設(shè)為k1，k2.等價(jià)于k1＋k2＝0.依題意，直線l的斜率存在，故設(shè)直線l的方程為y＝k(x－4)．由，得(2k2＋1)x2－16k2x＋32k2－4＝0.因?yàn)橹本€l與橢圓C有兩個(gè)交點(diǎn)，所以Δ＞0.即(16k2)2－4(2k2＋1)(32k2－4)＞0，解得k2＜.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1＋x2＝，x1x2＝，y1＝k(x1－4)，y2＝k(x2－4)，令k1＋k2＝＋＝0，(x1－m)y2＋(x2－m)y1＝0，當(dāng)k≠0時(shí)，2x1x2－(m＋4)(x1＋x2)＋8m＝0，化簡(jiǎn)得，＝0，所以m＝1.當(dāng)k＝0時(shí)，也成立．所以存在點(diǎn)Q(1,0)，使得∠PQM＋∠PQN＝180°.五 易錯(cuò)點(diǎn)分析易錯(cuò)一  由橢圓的方程研究橢圓性質(zhì)例題7.橢圓＋＝1(a＞b＞0)與橢圓＋＝λ(λ＞0且λ≠1)有(　　)A．相同的焦點(diǎn)　 B．相同的頂點(diǎn)C．相同的離心率              D．相同的長(zhǎng)、短軸【答案】C　【解析】在兩個(gè)方程的比較中，端點(diǎn)a、b均取值不同，故A，B，D都不對(duì)，而a，b，c雖然均不同，但倍數(shù)增長(zhǎng)一樣，所以比值不變，故應(yīng)選C. 誤區(qū)警示
由橢圓的方程判斷焦點(diǎn)的位置，誰的分母大，焦點(diǎn)就在那個(gè)軸上。易錯(cuò)二 由橢圓的性質(zhì)求參數(shù)的范圍例題8.設(shè)是橢圓的離心率，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B．C． D．【答案】D【解析】當(dāng)焦點(diǎn)在x軸時(shí)，，當(dāng)焦點(diǎn)在y軸時(shí)，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.錯(cuò)誤區(qū)警示由橢圓的方程不能確定焦點(diǎn)的位置時(shí)，要分情況討論。

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