專題07 直線的傾斜角與斜率（知識精講）-【新教材精創(chuàng)】2020-2021學年高二數(shù)學新教材知識講學（人教A版選擇性必修第一冊）學案-學案下載-教習網(wǎng)

二.學法指導
1．求直線的傾斜角的方法及兩點注意
(1)方法：結合圖形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．
(2)兩點注意：①當直線與x軸平行或重合時，傾斜角為0°，當直線與x軸垂直時，傾斜角為90°.
②注意直線傾斜角的取值范圍是0°≤α＜180°.
2．解決斜率問題的方法
(1)由傾斜角(或范圍)求斜率(或范圍)利用定義式k＝tan α(α≠90°)解決．
(2)由兩點坐標求斜率運用兩點斜率公式k＝eq \f(y2－y1,x2－x1)(x1≠x2)求解．
(3)涉及直線與線段有交點問題常利用數(shù)形結合列公式求解．
3．直線的傾斜角和斜率的關系
(1)直線都有傾斜角，但并不是所有的直線都有斜率．當傾斜角是90°時，直線的斜率不存在，此時，直線垂直于x軸(平行于y軸或與y軸重合)．
(2)直線的斜率也反映了直線相對于x軸的正方向的傾斜程度．當0°≤α＜90°時，斜率越大，直線的傾斜程度越大；當90°＜α＜180°時，斜率越大，直線的傾斜程度也越大．
三.知識點貫通
知識點1 直線的傾斜角
(1)傾斜角的定義：當直線l與x軸相交時，以x軸為基準，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角．如圖所示，直線l的傾斜角是∠_APx，直線l′的傾斜角是∠BPx.
(2)傾斜角的范圍：直線的傾斜角α的取值范圍是0°≤α＜180°，并規(guī)定與x軸平行或重合的直線的傾斜角為0°.
例題1.求圖中各直線的傾斜角．
(1) (2) (3)
【解析】 (1)如圖①，可知∠OAB為直線l1的傾斜角．易知∠ABO＝30°，∴∠OAB＝60°，即直線l1的傾斜角為60°.
(2)如圖②，可知∠xAB為直線l2的傾斜角，易知∠OBA＝45°，∴∠OAB＝45°，∴∠xAB＝135°，即直線l2的傾斜角為135°.
(3)如圖③，可知∠OAC為直線l3的傾斜角，易知∠ABO＝60°，∴∠BAO＝30°，
∴∠OAC＝150°，即直線l3的傾斜角為150°.
① ② ③
知識點二直線的斜率
(1)定義：傾斜角α(α≠90°)的正切值．
(2)記法：k＝tan α.
(3)經(jīng)過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式：k＝eq \f(y2－y1,x2－x1).
例題2： (1)過兩點A(4，y)，B(2，－3)的直線的傾斜角是135°，則y等于( )
A．1 B．5 C．－1 D．－5
(2)(如圖，直線l1的傾斜角α1＝30°，直線l1⊥l2，求l1、l2的斜率．
【解析】(1)∵過兩點A(4，y)，B(2，－3)的直線的傾斜角是135°，
∴eq \f(y＋3,4－2)＝tan 135°＝－1，解得y＝－5.
(2)直線l1的傾斜角為α1＝30°，直線l2的傾斜角α2＝90°＋30°＝120°，
∴keq \s\d6(l1)＝tan 30°＝eq \f(\r(3),3)，keq \s\d6(l2)＝tan 120°＝－eq \r(3).
知識點三直線的傾斜角和斜率的綜合
斜率與傾斜角的對應關系．
例題3 .已知兩點A(－3,4)，B(3,2)，過點P(1,0)的直線l與線段AB有公共點．
(1)求直線l的斜率k的取值范圍；
(2)求直線l的傾斜角α的取值范圍．
【解析】如圖所示，由題意可知kPA＝eq \f(4－0,－3－1)＝－1，kPB＝eq \f(2－0,3－1)＝1.
(1)要使直線l與線段AB有公共點，則直線l的斜率k的取值范圍是k≤－1或k≥1.
(2)由題意可知，直線l的傾斜角介于直線PB與PA的傾斜角之間，又PB的傾斜角是45°，PA的傾斜角是135°，
所以α的取值范圍是45°≤α≤135°.
知識點四直線的方向向量
1.若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則直線P1P2的方向向量eq \(P1P2,\s\up8(→))的坐標為(x2－x1，y2－y1)．
2.若直線l的斜率為k，它的一個方向向量的坐標為(x，y)，則k＝eq \f(y,x).
例4. 經(jīng)過A(0，y)，B(－1,0)兩點的直線的方向向量為(1,2)，則y＝________.
【解析】由條件可知，直線的方向向量為(－1－0,0－y)，即(－1，－y)．又(1,2)是直線的另一方向向量，則eq \f(－1,1)＝eq \f(－y,2)，解得y＝2.
五易錯點分析
易錯一求斜率的范圍
例題5..已知兩點A(－3,4)，B(3,2)，過點P(1,0)的直線l與線段AB有公共點．求直線l的斜率k的取值范圍；
【解析】如圖所示，由題意可知kPA＝eq \f(4－0,－3－1)＝－1，kPB＝eq \f(2－0,3－1)＝1.
要使直線l與線段AB有公共點，則直線l的斜率k的取值范圍是k≤－1或k≥1.
誤區(qū)警示
求斜率的范圍，要考慮傾斜角。
內容
考點
關注點
直線的傾斜角與斜率
直線的傾斜角
傾斜角的范圍
直線的斜率
斜率的求解
直線的方向向量
坐標表示
圖示
傾斜角
(范圍)
α＝0°
0°＜α＜90°
α＝90°
90°＜α
＜180°
斜率
(范圍)
0
(0，＋∞)
不存在
(－∞，0)