專題十八   雙曲線的簡單幾何性質(zhì)  一、核心素養(yǎng)聚焦考點一  數(shù)學運算-求雙曲線的方程例題6.求適合下列條件的雙曲線的標準方程：(1)虛軸長為12，離心率為；(2)焦點在x軸上，離心率為，且過點(－5,3)；【解析】(1)設雙曲線的標準方程為－＝1或－＝1(a＞0，b＞0)．由題意知2b＝12，＝且c2＝a2＋b2，∴b＝6，c＝10，a＝8，∴雙曲線的標準方程為－＝1或－＝1.(2)∵e＝＝，∴c＝a，b2＝c2－a2＝a2.又∵焦點在x軸上，∴設雙曲線的標準方程為－＝1(a＞0)．把點(－5,3)代入方程，解得a2＝16.∴雙曲線的標準方程為－＝1.考點二   直觀想象-直線與雙曲線的位置關系例題7.已知雙曲線－y2＝1，求過點A (3，－1)且被點A平分的弦MN所在直線的方程．【解析】　法一：由題意知直線的斜率存在，故可設直線方程為y＋1＝k(x－3)，即y＝kx－3k－1，由消去y，整理得(1－4k2)x2＋8k(3k＋1)x－36k2－24k－8＝0.設M(x1，y1)，N(x2，y2)，∴x1＋x2＝.∵A(3，－1)為MN的中點，∴＝3，即＝3，解得k＝－.當k＝－時，滿足Δ>0，符合題意，∴所求直線MN的方程為y＝－x＋，即3x＋4y－5＝0.法二：設M(x1，y1)，N(x2，y2)，∵M，N均在雙曲線上，∴兩式相減，得＝y－y，∴＝.∵點A平分弦MN，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝－2.∴kMN＝＝＝－.經(jīng)驗證，該直線MN存在．∴所求直線MN的方程為y＋1＝－(x－3)，即3x＋4y－5＝0.二、學業(yè)質(zhì)量測評一、選擇題1．1．雙曲線的左焦點與右頂點之間的距離等于（    ）A．6 B．8 C．9 D．10【答案】B【解析】由已知得左焦點的坐標為，右頂點的坐標為，所以左焦點與右頂點之間的距離等于8.故選：B.2．P是雙曲線上一點，雙曲線的一條漸近線的方程為，，分別是雙曲線的左?右焦點，若，則（    ）A．12 B．16 C．18 D．20【答案】A【解析】不妨設，因為雙曲線的一條漸近線的方程為，所以即，所以雙曲線的方程為，所以點，所以點的橫坐標為，代入雙曲線的方程可得點的縱坐標為，所以，.故選：A.3．已知是雙曲線的兩個焦點，是雙曲線左支上的一點，且與兩條漸近線相交于兩點．若點恰好平分線段，則雙曲線的焦距為（    ）．A． B． C． D．4【答案】C【解析】不妨取漸近線方程為，是中點，故，故，，故，，，根據(jù)勾股定理：，故，故焦距為.故選：C.4．已知雙曲線的離心率為2，則點到漸近線的距離等于（    ）A．3 B． C．2 D．6【答案】A【解析】由題意，雙曲線的離心率為2，即，解得，所以雙曲線的一條漸近線的方程為，即，所以點到的漸近線的距離為.故選：A.5．設曲線是雙曲線，則“的方程為”是“的漸近線方程為”的（    ）A．充分必要條件 B．充分而不必要條件C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若的方程為，則，，漸近線方程為，即為，充分性成立；若漸近線方程為，則雙曲線方程為（），“的方程為”是“的漸近線方程為”的充分而不必要條件.故選：B.6．雙曲線被斜率為的直線截得的弦的中點為則雙曲線的離心率為（    ）A． B． C．2 D．【答案】B【解析】設代入雙曲線方程作差有:，有，所以，故選：B．7．（多選題）已知中心在原點，且關于坐標軸對稱的雙曲線M的離心率為，且它的一個焦點到一條漸近線的距離為2，則雙曲線M的方程可能是（    ）A． B． C． D．【答案】AB【解析】焦點到一條漸近線的距離為b，所以，因為，所以，所以該雙曲線的方程為或．故選：AB8．（多選題）已知雙曲線的焦距為4，兩條漸近線的夾角為，則下列說法正確的是（    ）A．M的離心率為B．M的標準方程為C．M的漸近線方程為D．直線經(jīng)過M的一個焦點【答案】ACD【解析】依題意得，則，因為兩條漸近線的夾角為，所以兩條漸近線的傾斜角分別為，所以，所以，所以雙曲線方程為，離心率，漸近線方程為，焦點坐標為、，顯然直線過點；故選：ACD 二、填空題9．若雙曲線的一個焦點到坐標原點的距離為3，則m的值為______.【答案】7或【解析】依題意可知，當雙曲線的焦點在x軸上時，，所以；當雙曲線的焦點在y軸上時，，所以綜上，或.故答案為：7或10．傾斜角為的直線l經(jīng)過雙曲線的左焦點，交雙曲線于A，B兩點，線段的垂直平分線過右焦點，則此雙曲線的漸近線方程為_______.【答案】【解析】如圖為的垂直平分線，可得，且，可得，，由雙曲線的定義可得，，即有，即有，，，由，可得，可得，即，，則漸近線方程為．故答案為：．11．與雙曲線共漸近線且過點的雙曲線方程是___________.【答案】【解析】據(jù)題意可設所求方程為，把)代入易得，故所求雙曲線方程為.答案：12．若雙曲線x2－＝1的離心率為，則實數(shù)m＝________，其漸近線方程為________.【答案】2        【解析】由題意知＝e2＝3，則m＝2.漸近線方程為y＝±x.故填2,.三、解答題13．已知雙曲線的標準方程為 ．（1）寫出雙曲線的實軸長，虛軸長，離心率，左、右焦點、的坐標；（2）若點在雙曲線上，求證：．【答案】詳見解析【解析】(1)由，可得：，，所以離心率為，左、右焦點分別為,；(2)因為,,,所以，所以14．已知雙曲線的中心在原點，焦點F1，F2在坐標軸上，離心率為，且過點（4，－）．（1）求雙曲線方程；（2）若點M（3，m）在雙曲線上，求證：點M在以F1F2為直徑的圓上；（3）在（2）的條件下求△F1MF2的面積．【答案】（1）；（2）見解析；（3）6.【解析】∵離心率∴雙曲線為等軸雙曲線，可設其方程為，則由點在雙曲線上，可得，∴雙曲線方程為（2）證明 ∵點M（3，m）在雙曲線上，，又雙曲線的焦點為∴，∴點M在以F1F2為直徑的圓上．（3）解15．如圖所示，過雙曲線的右焦點作直線交雙曲線于兩點，若，則這樣的直線共有幾條？【答案】條【解析】設，則.對于過雙曲線一個焦點的弦長，如果弦是在同一支上，那么最短的弦是垂直于軸的弦，長度為；如果弦是跨兩支，那么最短的弦為實軸.過雙曲線的右焦點作直線交雙曲線于兩點.若軸，則為通徑，而通徑長度正好是4，故直線交雙曲線于同支上的兩點且，這樣的直線只有一條.若經(jīng)過頂點，此時，故直線交雙曲線于異支上的兩點且，這樣的直線有且只有兩條.故滿足的直線有條.    

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