專題16 橢圓的簡單幾何性質（核心素養(yǎng)練習）-【新教材精創(chuàng)】2020-2021學年高二數(shù)學新教材知識講學（人教A版選擇性必修第一冊）-試卷下載-教習網(wǎng)

專題十六橢圓的簡單幾何性質一、核心素養(yǎng)聚焦考點一數(shù)學運算-由離心率求橢圓方程例題9.設橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)過點(0,4)，離心率為.(1)求橢圓C的方程；(2)求過點(3,0)且斜率為的直線被C所截線段的中點的坐標．【解析】(1)將(0,4)代入C的方程，得＝1，∴b＝4.由e＝＝，得＝，即1－＝，∴a＝5，∴橢圓C的方程為＋＝1.(2)過點(3,0)且斜率為的直線方程為y＝(x－3)．設直線與C的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，將直線AB的方程y＝(x－3)代入C的方程，得＋＝1，即x2－3x－8＝0，則x1＋x2＝3，∴＝，＝(x1＋x2－6)＝－，即中點的坐標為. 考點二直觀想象-離心率和橢圓的形狀例題10比較橢圓①x2＋9y2＝36與②＋＝1的形狀，則________更扁．(填序號)【答案】①　【解析】把x2＋9y2＝36化為標準形式＋＝1，離心率e1＝＝，而＋＝1的離心率e2＝＝，這里e2＜e1，故①更扁．考點三邏輯推理-直線與橢圓的位置關系例題11、已知橢圓方程為.（1）判斷直線是否與橢圓有公共點；（2）若斜率為1的直線l與橢圓相交于A、B兩點，且，求直線l的方程.【答案】（1）沒有公共點；（2）或.【解析】（1）由可得，由于，所以該方程組無解，即直線與橢圓沒有公共點.（2）設直線l的方程為，.由方程組消去y得，由題意，得，且，因為，所以，解得，驗證知成立，所以直線l的方程為或.二、學業(yè)質量測評一、選擇題1．橢圓的焦點為，點為橢圓上的動點若為鈍角，點的橫坐標的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，為橢圓的兩焦點，則，，設，則，，因為為鈍角，所以，又∵，∴，∴.故選：B.2．若點在橢圓的內(nèi)部，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】解：，所以故選：B.3．若橢圓：的一個焦點坐標為，則的長軸長為（）A． B．2 C． D．【答案】D【解析】因為橢圓：，焦點，所以，，，即，解得或（舍去）.所以，長軸為.故選：D4．橢圓的焦點在y軸上，長軸長是短軸長的兩倍，則m的值為（）A． B．8 C．2 D．4【答案】A【解析】由題意，且，∴．故選:A．5．已知橢圓的右頂點為，左焦點為，若以為直徑的圓過短軸的一個頂點，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設橢圓的焦距為，則，，因為圓以為直徑，所以半徑，圓心到原點的距離為，因為以為直徑的圓過短軸的一個頂點，所以，即，化簡得，，，則，，，解得或（舍去），故選：B.6．“”是“橢圓的離心率為”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】橢圓離心率為，可得：時，，；時，，總之或．“”是“橢圓離心率為”的充分不必要條件．故選：A．7．（多選題）已知直線被橢圓截得的弦長為，則下列直線中被橢圓截得的弦長一定為的有（）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】由于橢圓關于原點、軸、軸對稱.對于A選項，直線與直線關于原點對稱，則直線截橢圓所得弦長為，A選項合乎要求；對于B選項，直線與直線平行，直線截橢圓所得弦長大于，B選項不合乎要求；對于C選項，直線與直線關于軸對稱，則直線截橢圓所得弦長為，C選項合乎要求；對于D選項，直線與直線關于軸對稱，則直線截橢圓所得弦長為，D選項合乎要求.故選：ACD.8．（多選題）若橢圓和橢圓的離心率相同，且，則下列結論正確的是（）A．橢圓和橢圓一定沒有公共點 B．C． D．【答案】AB【解析】依題意，，即，所以，所以，因此B正確；又，所以橢圓和橢圓一定沒有公共點，因此A正確；設，其中，則有，即有，則，因此C錯誤；，即有，則，因此D錯誤．故選：AB．二、填空題9．已知是橢圓上的一點，為右焦點，點的坐標為，則周長的最大值為_______.【答案】10【解析】如圖所示，設橢圓的左焦點為，由題意可知，則，因為的坐標為，所以，由橢圓的定義可得，因為，所以周長為，當且僅當三點共線時取等號，所以周長的最大值為10，故答案為：1010．已知F是橢圓C：（）的左焦點，是橢圓C過F的弦，的垂直平分線交x軸于點P.若，且P為的中點，則橢圓C的離心率為______.【答案】【解析】如圖，設橢圓的右焦點為，連接，過點作交于，則點為中點. 設.所以點是中點，因為,所以由橢圓的定義得在直角中，，所以（1）在直角中，所以.把代入（1）得故答案為：.11．已知橢圓，傾斜角為60°的直線與橢圓分別交于A、B兩點且，點C是橢圓上不同于A、B一點，則△ABC面積的最大值為_____．【答案】【解析】由題意，設直線AB的方程為，點 A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立方程組，整理得18x2+10mx+5m2﹣30＝0，所以x1+x2，x1x2．因為，即，代入整理得，解得，不妨?。?/span>m＝2，可得直線AB的方程為，設與直線AB平行且與橢圓相切的直線方程為yx+t，聯(lián)立方程組，整理得18x2+10tx+5t2﹣30＝0，由△＝300t2﹣72×（5t2﹣30）＝0，解得：t＝±6．取t＝﹣6時，與直線AB平行且與橢圓相切的直線與直線AB的距離，所以△ABC面積的最大值，故答案為：．12．已知橢圓：的左、右焦點分別為、，為橢圓上一點，則的最大值為______；過點作橢圓的切線，則切線的斜率為______.【答案】【解析】由余弦定理可得：，當且僅當時，取到最小值，取到最大值；可判斷直線斜率一定存在，設直線方程為：，由得，令得，化簡得故答案為：；三、解答題13．已知焦點在軸上的橢圓半長軸離心率等于.（1）求橢圓的標準方程；（2）若點是橢圓上的一點，焦點分別為，且的面積為1，求點的坐標.【答案】（1）（2）點的坐標有以下可能：，，，【解析】（1）由得，所以，所以橢圓的標準方程為（2）設，由（1）得，且得，所以，因為，解得所以點的坐標有以下可能：14．已知橢圓C：和點.（1）求橢圓C的焦點坐標和離心率；（2）設直線l：與橢圓C交于A，B兩點，求弦長；（3）求通過M點且被這點平分的弦所在的直線方程.【答案】（1）和，；（2）；（3）.【解析】（1）由得，，，，∴焦點坐標是和；離心率.（2）聯(lián)立方程組，消y得，得，或，則A，B兩點坐標分別為和，弦長.（3）顯然直線不與x軸垂直，可設此直線方程為，設交點分別為、，則，，又，，，，直線方程為即.15．已知橢圓上有一點，它關于原點的對稱點為，點為橢圓的右焦點，且滿足，設，且，求該橢圓的離心率的取值范圍．【答案】．【解析】如圖所示，設橢圓的左焦點為，連接，則四邊形為矩形，．，，．，，，，∴橢圓的離心率．