人教版八年級(jí)上冊(cè)13.4課題學(xué)習(xí) 最短路徑問(wèn)題同步測(cè)試題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

第13章軸對(duì)稱(chēng)13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問(wèn)題（中考真題專(zhuān)練）學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________ 一、單選題1．（2018·山東濱州·中考真題）如圖，∠AOB=60°，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)的定點(diǎn)且OP=，若點(diǎn)M、N分別是射線(xiàn)OA、OB上異于點(diǎn)O的動(dòng)點(diǎn)，則△PMN周長(zhǎng)的最小值是（　?。?/span>A． B． C．6 D．3【答案】D【解析】分析：作P點(diǎn)分別關(guān)于OA、OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C、D，連接CD分別交OA、OB于M、N，如圖，利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC=，∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC，所以∠COD=2∠AOB=120°，利用兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短判斷此時(shí)△PMN周長(zhǎng)最小，作OH⊥CD于H，則CH=DH，然后利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系計(jì)算出CD即可．詳解：作P點(diǎn)分別關(guān)于OA、OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C、D，連接CD分別交OA、OB于M、N，如圖，則MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC=，∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC，∴PN+PM+MN=ND+MN+MC=DC，∠COD=∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC=2∠AOB=120°，∴此時(shí)△PMN周長(zhǎng)最小，作OH⊥CD于H，則CH=DH，∵∠OCH=30°，∴OH=OC=，CH=OH=,∴CD=2CH=3．故選D．點(diǎn)評(píng)：本題考查了軸對(duì)稱(chēng)﹣最短路線(xiàn)問(wèn)題：熟練掌握軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，會(huì)利用兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短解決路徑最短問(wèn)題．2．（2017·山東菏澤·中考真題）如圖，矩形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，是的中點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，當(dāng)的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】試題分析：如圖，畫(huà)出A點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A＇,連接A＇D,與y軸交于點(diǎn)E,根據(jù)連接兩點(diǎn)的連線(xiàn)中，線(xiàn)段最短，可知此時(shí)的周長(zhǎng)最小，再由A,可得A＇（4,5），因D(-2，0)，即可求得直線(xiàn)DE表達(dá)式是，所以點(diǎn)的坐標(biāo)是，故選B.3．（2017·遼寧營(yíng)口·中考真題）如圖，在中，，點(diǎn)在上，，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】試題分析：過(guò)點(diǎn)C作CO⊥AB于O，延長(zhǎng)CO到C′，使OC′=OC，連接DC′，交AB于P，連接CP，此時(shí)DP+CP=DP+PC′=DC′的值最?。?/span>DC=1，BC=4，得到BD=3，連接BC′，由對(duì)稱(chēng)性可知∠C′BE=∠CBE=45°，于是得到∠CBC′=90°，然后根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．過(guò)點(diǎn)C作CO⊥AB于O，延長(zhǎng)CO到C′，使OC′=OC，連接DC′，交AB于P，連接CP．此時(shí)DP+CP=DP+PC′=DC′的值最小．∵DC=1，BC=4，∴BD=3，連接BC′，由對(duì)稱(chēng)性可知∠C′BE=∠CBE=45°，∴∠CBC′=90°，∴BC′⊥BC，∠BCC′=∠BC′C=45°，∴BC=BC′=4，根據(jù)勾股定理可得DC′=．故選B．考點(diǎn)：軸對(duì)稱(chēng)﹣最短路線(xiàn)問(wèn)題；等腰直角三角形.4．（2017·湖北十堰·中考真題）如圖，已知圓柱的底面直徑BC=，高AB=3，小蟲(chóng)在圓柱表面爬行，從C點(diǎn)爬到A點(diǎn)，然后再沿另一面爬回C點(diǎn)，則小蟲(chóng)爬行的最短路程為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】試題分析：首先要把圓柱的側(cè)面展開(kāi)，利用兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，然后利用勾股定理即可求解．把圓柱側(cè)面展開(kāi)，展開(kāi)圖如右圖所示，點(diǎn)A、C的最短距離為線(xiàn)段AC的長(zhǎng)．在RT△ADC中，∠ADC=90°，CD=AB=3，AD為底面半圓弧長(zhǎng)，AD=3，所以AC=3，∴從C點(diǎn)爬到A點(diǎn)，然后再沿另一面爬回C點(diǎn)，則小蟲(chóng)爬行的最短路程為2AC=6，故選D．考點(diǎn)：最短路徑問(wèn)題5．（2013·山東濟(jì)寧·中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（1，4）和（3，0），點(diǎn)C是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且A、B、C三點(diǎn)不在同一條直線(xiàn)上，當(dāng)△ABC的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)是A．（0，0） B．（0，1） C．（0，2） D．（0，3）【答案】D【解析】【詳解】解：作B點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′點(diǎn)，連接AB′，交y軸于點(diǎn)C′，
此時(shí)△ABC的周長(zhǎng)最小，
∵點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（1，4）和（3，0），
∴B′點(diǎn)坐標(biāo)為：（-3，0），則OB′=3過(guò)點(diǎn)A作AE垂直x軸，則AE=4，OE=1
則B′E=4，即B′E=AE，∴∠EB′A=∠B′AE，
∵C′O∥AE，
∴∠B′C′O=∠B′AE，∴∠B′C′O=∠EB′A∴B′O=C′O=3，
∴點(diǎn)C′的坐標(biāo)是（0，3），此時(shí)△ABC的周長(zhǎng)最小．
故選D．二、填空題6．（2015·四川攀枝花·中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，E是AC邊上一點(diǎn)，則BE+DE的最小值為_____．【答案】．【解析】【分析】作B關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，連接BB′、B′D，交AC于E，此時(shí)BE+ED=B′E+ED=B′D，根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短可知B′D就是BE+ED的最小值，【詳解】解：∵B、B′關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)，∴AC、BB′互相垂直平分，∴四邊形ABCB′是平行四邊形，∵等邊三角形ABC是邊長(zhǎng)為2，∵D為BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴AD=，BD=CD=1，BB′=2AD=，作B′G⊥BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于G，∴B′G=AD=，在Rt△B′BG中，BG===3，∴DG=BG﹣BD=3﹣1=2，在Rt△B′DG中，B′D===．故BE+ED的最小值為． 7．（2017·江蘇宿遷·中考真題）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)在邊上，且．若點(diǎn)在對(duì)角線(xiàn)上移動(dòng)，則的最小值是．【答案】.【解析】試題分析:過(guò)點(diǎn)E作EM垂直BD，交BC于點(diǎn)M，連接AM交BD與點(diǎn)P，根據(jù)正方形的對(duì)稱(chēng)性可得點(diǎn)E、點(diǎn)M關(guān)于BD對(duì)稱(chēng)，此時(shí)AP+EP的值最小，因BE=1,可得BM=1，根據(jù)勾股定理可求得AM=,由AP+EP=AM即可得的最小值是.8．（2015·山東中區(qū)·初三學(xué)業(yè)考試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（0，0）、（20，0）、（20，10）．在線(xiàn)段AC、AB上各有一動(dòng)點(diǎn)M、N，則當(dāng)BM+MN為最小值時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)是____．【答案】（12，6）．【解析】試題分析：先確定點(diǎn)M、N的位置：作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，過(guò)點(diǎn)B′作B′N(xiāo)⊥OB于N，B′N(xiāo)交AC于M．連接OB′，交DC于P，再根據(jù)矩形、軸對(duì)稱(chēng)、等腰三角形的性質(zhì)得出PA=PC，那么在Rt△ADP中，運(yùn)用勾股定理求出PA的長(zhǎng)，然后由cos∠B′ON=cos∠OPD，求出ON的長(zhǎng)，由tan∠MON=tan∠OCD，求出MN的長(zhǎng)，即可得出點(diǎn)M的坐標(biāo)．解：如圖，作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，過(guò)點(diǎn)B′作B′N(xiāo)⊥OB于N，B′N(xiāo)交AC于M，則B′N(xiāo)=B′M+MN=BM+MN，B′N(xiāo)的長(zhǎng)就是BM+MN的最小值．連接OB′，交DC于P．∵四邊形ABCD是矩形，∴DC∥AB，∴∠BAC=∠PCA，∵點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是B′，∴∠PAC=∠BAC，∴∠PAC=∠PCA，∴PA=PC．令PA=x，則PC=x，PD=20-x．在Rt△ADP中，∵PA2=PD2+AD2，∴x2=（20-x）2+102，∴x=12.5．∵cos∠B′ON=cos∠OPD，∴ON：OB′=DP：OP，∴ON：20=7.5：12.5，∴ON=12．∵tan∠MON=tan∠OCD，∴MN：ON=OD：CD，∴MN：12=10：20，∴MN=6．∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是（12，6）．故答案為（12，6）．考點(diǎn)：軸對(duì)稱(chēng)-最短路線(xiàn)問(wèn)題；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；矩形的性質(zhì)．三、解答題9．（2018·廣東廣州·中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＞CD，AD＝AB+CD．（1）利用尺規(guī)作∠ADC的平分線(xiàn)DE，交BC于點(diǎn)E，連接AE（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；（2）在（1）的條件下，①證明：AE⊥DE；②若CD＝2，AB＝4，點(diǎn)M，N分別是AE，AB上的動(dòng)點(diǎn)，求BM+MN的最小值．【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）①證明見(jiàn)解析；②．【解析】【分析】（1）利用尺規(guī)作出∠ADC的角平分線(xiàn)即可；（2）①延長(zhǎng)DE交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于F．只要證明AD=AF，DE=EF，利用等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)即可解決問(wèn)題；②作點(diǎn)B關(guān)于AE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)K，連接EK，作KH⊥AB于H，DG⊥AB于G．連接MK．由MB=MK，推出MB+MN=KM+MN，根據(jù)垂線(xiàn)段最短可知：當(dāng)K、M、N共線(xiàn)，且與KH重合時(shí)，KM+MN的值最小，最小值為KH的長(zhǎng).【詳解】（1）如圖，∠ADC的平分線(xiàn)DE如圖所示，（2）延長(zhǎng)DE交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于F，∵CD∥AF，∴∠CDE＝∠F，∵∠CDE＝∠ADE，∴∠ADF＝∠F，∴AD＝AF，∵AD＝AB+CD＝AB+BF，∴CD＝BF，∵∠DEC＝∠BEF，∴△DEC≌△FEB，∴DE＝EF，∵AD＝AF，∴AE⊥DE；②作點(diǎn)B關(guān)于AE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)K，連接EK，作KH⊥AB于H，DG⊥AB于G．連接MK， ∵AD＝AF，DE＝EF，∴AE平分∠DAF，則△AEK≌△AEB，∴AK＝AB＝4，在Rt△ADG中，DG，∵KH∥DG，∴，∴，∴KH，∵M(jìn)B＝MK，∴MB+MN＝KM+MN，∴當(dāng)K、M、N共線(xiàn)，且與KH重合時(shí)，KM+MN的值最小，最小值為KH的長(zhǎng)，∴BM+MN的最小值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖-基本作圖，軸對(duì)稱(chēng)最短問(wèn)題，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱(chēng)解決最短問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．10．（2017·江蘇徐州·）如圖，將邊長(zhǎng)為的正三角形紙片按如下順序進(jìn)行兩次折疊，展開(kāi)后，得折痕（如圖①），點(diǎn)為其交點(diǎn).（1）探求與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）如圖②，若分別為上的動(dòng)點(diǎn).①當(dāng)的長(zhǎng)度取得最小值時(shí)，求的長(zhǎng)度；②如圖③，若點(diǎn)在線(xiàn)段上，，則的最小值= .【答案】（1）AO=2OD，理由見(jiàn)解析；（2）①；②.【解析】試題分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠BAO=∠ABO=∠OBD=30°，得到AO=OB，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）如圖②，作點(diǎn)D關(guān)于BE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D′，過(guò)D′作D′N(xiāo)⊥BC于N交BE于P，則此時(shí)PN+PD的長(zhǎng)度取得最小值，根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的想知道的BD=BD′，推出△BDD′是等邊三角形，得到BN=BD=，于是得到結(jié)論；（3）如圖③，作Q關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q′，作D關(guān)于BE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D′，連接Q′D′，即為QN+NP+PD的最小值．根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的定義得到∠Q′BN=∠QBN=30°，∠QBQ′=60°，得到△BQQ′為等邊三角形，△BDD′為等邊三角形，解直角三角形即可得到結(jié)論．試題解析：（1）AO=2OD，理由：∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAO=∠ABO=∠OBD=30°，∴AO=OB，∵BD=CD，∴AD⊥BC，∴∠BDO=90°，∴OB=2OD，∴OA=2OD；（2）如圖②，作點(diǎn)D關(guān)于BE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D′，過(guò)D′作D′N(xiāo)⊥BC于N交BE于P，則此時(shí)PN+PD的長(zhǎng)度取得最小值，∵BE垂直平分DD′，∴BD=BD′，∵∠ABC=60°，∴△BDD′是等邊三角形，∴BN=BD=，∵∠PBN=30°，∴，∴PB=；（3）如圖③，作Q關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q′，作D關(guān)于BE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D′，連接Q′D′，即為QN+NP+PD的最小值．根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的定義可知：∠Q′BN=∠QBN=30°，∠QBQ′=60°，∴△BQQ′為等邊三角形，△BDD′為等邊三角形，∴∠D′BQ′=90°，∴在Rt△D′BQ′中，D′Q′=．∴QN+NP+PD的最小值=，考點(diǎn)：11．（2019·梁山縣水泊街道初級(jí)中學(xué)初二學(xué)業(yè)考試）曲阜限制“三小車(chē)輛”出行后，為方便市民出行，準(zhǔn)備為、、、四個(gè)村建一個(gè)公交車(chē)站.（1）請(qǐng)問(wèn)：公交站建在何處才能使它到4個(gè)村的距離之和最小，請(qǐng)?jiān)趫D一中找出點(diǎn)；（2）請(qǐng)問(wèn)：公交站建在何處才能使它到道路、、的距離相等，請(qǐng)?jiān)趫D二中找出點(diǎn)并加以說(shuō)明.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）公交站P是AC與BD的交點(diǎn)，要證這點(diǎn)到四點(diǎn)的距離最小，可以證明除這點(diǎn)以外的點(diǎn)到四點(diǎn)的距離大于這點(diǎn)到四點(diǎn)的距離；（2）公交站是∠ABC與∠DCB角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，由角平分線(xiàn)性質(zhì)定理可知，角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等.【詳解】解：（1）應(yīng)建在AC，BD連線(xiàn)的交點(diǎn)P處，如圖一，
理由：如下圖，若不建在P處，建在P1處，由三角形兩邊之和大于第三邊可知，，即P1A+P1C+P1B+P1D＞AC+BD，故結(jié)論成立應(yīng)建在P處．

即P1A+P1C+P1B+P1D＞AC+BD．
故結(jié)論成立應(yīng)建在P處．（2）應(yīng)建在∠ABC與∠DCB角平分線(xiàn)的交點(diǎn)處，如圖二，理由：由角平分線(xiàn)性質(zhì)定理可知，角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等.所以點(diǎn)P道路、、的距離相等.【點(diǎn)評(píng)】本題關(guān)鍵是掌握線(xiàn)段的性質(zhì)：兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段距離最短.角平分線(xiàn)性質(zhì)定理：角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等.12．（2020·云南蒙自·初三學(xué)業(yè)考試）如圖，已知△ABC 的頂點(diǎn)分別為 A（-2，2）、B（-4，5）、C（-5，1）和直線(xiàn) m （直線(xiàn) m 上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)都為 1）．（1）作出△ABC 關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的圖形△A1B1C1，并寫(xiě)出點(diǎn) A1 的坐標(biāo)；（2）作出點(diǎn) C關(guān)于直線(xiàn) m 對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)C2 ，并寫(xiě)出點(diǎn)C2 的坐標(biāo)；（3）在軸上找一點(diǎn)P，使 PA+PC的值最小，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）圖詳見(jiàn)解析，A1的坐標(biāo)為（-2，-2）；（2）圖詳見(jiàn)解析，C2(7，1)；（3）圖詳見(jiàn)解析，P（-4，0）【解析】【分析】（1）分別作出點(diǎn)A，B，C關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A1，B1，C1，再首尾順次連接可得；（2）C點(diǎn)坐標(biāo)為(-5,1)，直線(xiàn)m的橫坐標(biāo)為1，所以點(diǎn)C到直線(xiàn)m的距離為6，即點(diǎn)C2到直線(xiàn)m的距離為6，所以C2(7，1)；（3）連結(jié)AC1，與x軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，寫(xiě)出點(diǎn)P坐標(biāo)即可.【詳解】解：（1）如圖所示，△A1B1C1即為所求，其中點(diǎn)A1的坐標(biāo)為(-2，-2)； (2) 點(diǎn)C2如圖，C2(7，1)； (3)如圖所示，連結(jié)AC1，點(diǎn)P為所求，P(-4，0)【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查作圖-軸對(duì)稱(chēng)變換及最短路徑問(wèn)題. 解題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱(chēng)變換的定義和性質(zhì)，并根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)變換的定義和性質(zhì)得出變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置．

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