專題18.1  平行四邊形的性質(zhì)（知識(shí)講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．理解平行四邊形的定義，從角、邊、對(duì)角線三個(gè)角度理解并識(shí)記平行四邊形的性質(zhì)定理；2．能初步運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算，并體會(huì)如何利用所學(xué)的三角形的知識(shí)解決四邊形的問(wèn)題．3.認(rèn)識(shí)平行四邊形對(duì)角線分得的三角形的關(guān)系及拓展關(guān)系3. 靈活運(yùn)用綜合運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)定理進(jìn)行證明和計(jì)算．【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、平行四邊形的定義平行四邊形的定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形. 平行四邊形ABCD記作“ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”.要點(diǎn)詮釋：（1）平行四邊形的基本元素：邊、角、對(duì)角線.相鄰的兩邊為鄰邊，有四對(duì)；（2）相對(duì)的邊為對(duì)邊，有兩對(duì)；（3）相鄰的兩角為鄰角，有四對(duì)；（4）相對(duì)的角為對(duì)角，有兩對(duì)；（5）對(duì)角線有兩條.要點(diǎn)二、平行四邊形的性質(zhì)    1．邊的性質(zhì)：平行四邊形兩組對(duì)邊平行且相等；2．角的性質(zhì)：平行四邊形對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)；3．對(duì)角線性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)角線互相平分；4．平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)角線的交點(diǎn)為對(duì)稱中心；要點(diǎn)詮釋：（1）平行四邊形的性質(zhì)中邊的性質(zhì)可以證明兩邊平行或兩邊相等；角的性質(zhì)可以證明兩角相等或兩角互補(bǔ)；對(duì)角線的性質(zhì)可以證明線段的相等關(guān)系或倍半關(guān)系.（2）由于平行四邊形的性質(zhì)內(nèi)容較多，在使用時(shí)根據(jù)需要進(jìn)行選擇.（3）利用對(duì)角線互相平分可解決對(duì)角線或邊的取值范圍的問(wèn)題，在解答時(shí)應(yīng)聯(lián)系三角形三邊的不等關(guān)系來(lái)解決.要點(diǎn)三、平行線間的距離1.兩條平行線間的距離：（1）定義：兩條平行線中，一條直線上的任意一點(diǎn)到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線間的距離.注：距離是指垂線段的長(zhǎng)度，是正值.（2）平行線間的距離處處相等任何兩平行線間的距離都是存在的、唯一的，都是夾在這兩條平行線間最短的線段的長(zhǎng)度.兩條平行線間的任何兩條平行線段都是相等的. 2.平行四邊形的面積：        1.平行四邊形的面積＝底×高；等底等高的平行四邊形面積相等； 2.平行四邊形對(duì)角線分得的四個(gè)三角形面積相等，如圖                                                          平行四邊形內(nèi)任意一個(gè)分得的四個(gè)三角形的四個(gè)三角形面積有如下關(guān)系：                                             【典型例題】類型一、平行四邊形的性質(zhì)1、如圖，在平行四邊形中，的平分線與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)于點(diǎn).（1）求證:；（2）若，求的長(zhǎng)．【分析】（1）先證明，得到，再根據(jù)，利用等腰三角形性質(zhì)得到結(jié)論；（2）根據(jù)平行四邊形性質(zhì)和，求出BE和AB，問(wèn)題得解．（1）證明:四邊形是平行四邊形，即.平分又；（2）解:四邊形是平行四邊形，．【總結(jié)升華】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的判定和性質(zhì)，證明是解答本題關(guān)鍵．舉一反三：【變式】如圖，在中，于點(diǎn)點(diǎn)在上，交于點(diǎn)，若，求的長(zhǎng)度．【答案】解：四邊形是平行四邊形，．類型二、平行四邊形與面積有關(guān)的計(jì)算2、在平行四邊形ACBO中，AO＝5，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣2，4）．（1）寫出點(diǎn)A、C的坐標(biāo)；（2）求出平行四邊形ACBO的面積． 【答案】（1）點(diǎn)A坐標(biāo)（﹣5，0），點(diǎn)C坐標(biāo)（﹣7，4）；（2）20【分析】（1）首先過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸于E，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸于D，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得OA＝BC＝5，OA∥BC，AC＝OB，易得CE＝BD＝4，AE＝OD＝2，則點(diǎn)A坐標(biāo)，點(diǎn)C坐標(biāo)即可求出；（2）利用平行四邊形的面積公式直接計(jì)算即可． 解：（1）∵四邊形OACB是平行四邊形，∴OA＝BC＝5，OA∥BC，AC＝OB，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸于E，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸于D，∴CE＝BD＝4，∴AE＝OD＝2，∴點(diǎn)A坐標(biāo)（﹣5，0），點(diǎn)C坐標(biāo)（﹣7，4）；（2）∵AO＝5，BD＝4，∴S?AOBC＝5×4＝20．【總結(jié)升華】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及平行四邊形面積公式的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合思想解題．舉一反三：【變式】如圖，在中，的平分線交于點(diǎn)，且，.（1）求的周長(zhǎng)；（2）連結(jié)，若，求的面積.解：（1）如圖，∵在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，∴∠DAE=∠AED，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE=5，∵EC=8，∴BC=5+8=13∴平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為：2×（5+13）=36；（2）∵AB=5，BC=13，AC=12，AB2+AC2=BC2，∴△ABC為直角三角形，即AC⊥AB，∴平行四邊形ABCD的面積=AB×AC=60．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．類型三、平行四邊形性質(zhì)的綜合訓(xùn)練3．在中，點(diǎn)和點(diǎn)是直線上不重合的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，．（1）如圖①，求證：；（2）由圖①易得，請(qǐng)分別寫出圖②，圖③中，，三者之間的數(shù)量關(guān)系，并選擇一個(gè)關(guān)系進(jìn)行證明；（3）在（1）和（2）的條件下，若，，則______． 【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明≌，得，由即可得出；（2）圖②，證明≌，得，根據(jù)線段的和得結(jié)論；圖③，證明≌，得，同理得出結(jié)論；（3）分別代入圖①和圖②條件下的，計(jì)算即可．證明：（1）∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∵，∴，∴≌（AAS），∴，∴，即．（2）圖②：，理由是：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴≌（AAS），∴，∴．圖③：，理由是：同理得：≌（AAS），∴，∴．（3）圖①，，圖②，，∴或4．【點(diǎn)撥】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，屬于四邊形綜合題，證明相關(guān)三角形全等是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】如圖，的對(duì)角線相交于點(diǎn)，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿以每秒個(gè)單位的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．求的長(zhǎng)（用含的代數(shù)式表示)；問(wèn)取何值時(shí)，四邊形是平行四邊形?【答案】（1）5-t；（2）【分析】（1）先證明△APO≌△CQO，可得出AP=CQ=t，則BQ即可用t表示；
（2）由題意知AP∥BQ，根據(jù)AP=BQ，列出方程即可得解； 解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA=OC，AD∥BC，
∴∠PAO=∠QCO，
∵∠AOP=∠COQ，
∴△APO≌△CQO（ASA），
∴AP=CQ=t，
∵BC=5，
∴BQ=5-t；
（2）∵AP∥BQ，
當(dāng)AP=BQ時(shí)，四邊形ABQP是平行四邊形，
即t=5-t，,當(dāng)時(shí)，四邊形ABQP是平行四邊形.【點(diǎn)撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問(wèn)題．

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