目錄
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc29376" 一、熱點(diǎn)題型歸納1
\l "_Tc17993" 【題型一】由動(dòng)點(diǎn)保持平行求軌跡1
\l "_Tc26924" 【題型二】由動(dòng)點(diǎn)保持垂直求軌跡2
\l "_Tc12217" 【題型三】由動(dòng)點(diǎn)保持等距（或定長(zhǎng)）求軌跡4
\l "_Tc30563" 【題型四】由動(dòng)點(diǎn)保持等角（或定角）求軌跡5
\l "_Tc30563" 【題型五】投影求軌跡6
\l "_Tc30563" 【題型六】翻折與動(dòng)點(diǎn)求軌跡7
\l "_Tc21895" 二、最新?？碱}組練8
【題型一】由動(dòng)點(diǎn)保持平行性求軌跡
【典例分析】
如圖，在邊長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H、N分別是CC1、C1D1、DD1、CD、BC的中點(diǎn)，M在四邊形EFGH邊上及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，若MN∥面A1BD，則點(diǎn)M軌跡的長(zhǎng)度是（ ）
A．a(chǎn)B．a(chǎn)C．D．
【提分秘籍】
基本規(guī)律
1.線面平行轉(zhuǎn)化為面面平行得軌跡
2.平行時(shí)可利用法向量垂直關(guān)系求軌跡
【變式演練】
1.在三棱臺(tái)中，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)是三角形內(nèi)（含邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且有平面平面，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（ ）
A．三角形邊界的一部分B．一個(gè)點(diǎn)
C．線段的一部分D．圓的一部分
2.已知正方體的棱長(zhǎng)為，、分別是棱、的中點(diǎn)，點(diǎn)為底面內(nèi)（包括邊界）的一動(dòng)點(diǎn)，若直線與平面無(wú)公共點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（ ）
A．B．C．D．

3.在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱，的中點(diǎn)，P是上底面內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），若平面BDEF，則Р點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為（ ）
A．1B．C．2D．
【題型二】動(dòng)點(diǎn)保持垂直性求軌跡
【典例分析】
在正方體中，Q是正方形內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，，則Q點(diǎn)的軌跡是（ ）
A．點(diǎn)B．線段C．線段D．平面
【提分秘籍】
基本規(guī)律
1.可利用線線線面垂直，轉(zhuǎn)化為面面垂直，得交線求軌跡
2.利用空間坐標(biāo)運(yùn)算求軌跡
3.利用垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為平行關(guān)系求軌跡
【變式演練】
1.在正方體中，點(diǎn)在側(cè)面及其邊界上運(yùn)動(dòng)，且保持，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為
A．線段B．線段
C．的中點(diǎn)與的中點(diǎn)連成的線段D．的中點(diǎn)與的中點(diǎn)連成的線段
2.在棱長(zhǎng)為1的正方體中，M，N分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)P在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，且滿足．給出下列說(shuō)法：
①點(diǎn)P可以是棱的中點(diǎn)；
②線段MP的最大值為；
③點(diǎn)P的軌跡是正方形；
④點(diǎn)P軌跡的長(zhǎng)度為．
其中所有正確說(shuō)法的序號(hào)是________．
3.如圖，在正方體中，是棱的中點(diǎn)，是側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且與平面的垂線垂直，則下列說(shuō)法不正確的是（ ）
A．與不可能平行
B．與是異面直線
C．點(diǎn)的軌跡是一條線段
D．三棱錐的體積為定值
【題型三】由動(dòng)點(diǎn)保持等距（或者定距）求軌跡
【典例分析】
已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，P為底面ABCD內(nèi)一點(diǎn)，若P到棱CD，A1D1距離相等的點(diǎn)，則點(diǎn)P的軌跡是（ ）
A．直線B．橢圓C．拋物線D．雙曲線
【提分秘籍】
基本規(guī)律
1.距離，可轉(zhuǎn)化為在一個(gè)平面內(nèi)的距離關(guān)系，借助于圓錐曲線定義或者球和圓的定義等知識(shí)求解軌跡
2.利用空間坐標(biāo)計(jì)算求軌跡
【變式演練】
1.如圖，在四棱錐中，側(cè)面為正三角形，底面為正方形，側(cè)面底面，為正方形內(nèi)（包括邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足．則點(diǎn)在正方形內(nèi)的軌跡為（ ）
A．B．
C．D．
2.如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，、分別是、的中點(diǎn)，長(zhǎng)為的線段的一個(gè)端點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)端點(diǎn)在底面上運(yùn)動(dòng)，則線段的中點(diǎn)的軌跡（曲面）與正方體（各個(gè)面）所圍成的幾何體的體積為（ ）
A．B．C．D．
3.四棱錐P﹣OABC中，底面OABC是正方形，OP⊥OA，OA＝OP＝a．D是棱OP上的一動(dòng)點(diǎn)，E是正方形OABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，DE的中點(diǎn)為Q，當(dāng)DE＝a時(shí)，Q的軌跡是球面的一部分，其表面積為3π，則a的值是（ ）
A．B．C．D．6
【題型四】由動(dòng)點(diǎn)保持等角（或定角）求軌跡
【典例分析】
正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，是邊上的一個(gè)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），是平面上一動(dòng)點(diǎn)，滿足直線 與直線 夾角與直線與直線 的夾角相等，則點(diǎn)所在軌跡為（ ）
A．橢圓B．雙曲線C．拋物線D．拋物線或雙曲線
【提分秘籍】
基本規(guī)律
直線與面成定角，可能是圓錐側(cè)面。
直線與定直線成等角，可能是圓錐側(cè)面
利用空間坐標(biāo)系計(jì)算求軌跡
【變式演練】
1.如圖，斜線段與平面所成的角為，為斜足，平面上的動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡是（ ）
A．直線B．拋物線
C．橢圓D．雙曲線的一支
2.如圖所示，為長(zhǎng)方體，且AB=BC=2，=4，點(diǎn)P為平面上一動(dòng)點(diǎn)，若，則P點(diǎn)的軌跡為（ ）
A．拋物線B．橢圓C．雙曲線D．圓
3.在長(zhǎng)方體中，，，M為棱BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P的軌跡與長(zhǎng)方體的側(cè)面的交線長(zhǎng)等于___________.
【題型五】 投影求軌跡
【典例分析】
1822年，比利時(shí)數(shù)學(xué)家 Dandelin利用圓錐曲線的兩個(gè)內(nèi)切球，證明了用一個(gè)平面去截圓錐，可以得到橢圓（其中兩球與截面的切點(diǎn)即為橢圓的焦點(diǎn)），實(shí)現(xiàn)了橢圓截線定義與軌跡定義的統(tǒng)一性．在生活中，有一個(gè)常見(jiàn)的現(xiàn)象：用手電筒斜照地面上的籃球，留下的影子會(huì)形成橢圓．這是由于光線形成的圓錐被地面所截產(chǎn)生了橢圓的截面．如圖，在地面的某個(gè)占正上方有一個(gè)點(diǎn)光源，將小球放置在地面，使得與小球相切．若，小球半徑為2，則小球在地面的影子形成的橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
基本規(guī)律
球的非正投影，可能是橢圓面
多面體的投影，多為多邊形。
【變式演練】
1.如圖，已知水平地面上有一半徑為3的球，球心為，在平行光線的照射下，其投影的邊緣軌跡為橢圓C．如圖，橢圓中心為O，球與地面的接觸點(diǎn)為E，．若光線與地面所成角為，橢圓的離心率__________．
【題型六】翻折與動(dòng)點(diǎn)求軌跡（難點(diǎn)）
【典例分析】
如圖，將四邊形中，沿著翻折到，則翻折過(guò)程中線段中點(diǎn)的軌跡是（ ）
A．橢圓的一段B．拋物線的一段
C．雙曲線的一段D．一段圓弧
【提分秘籍】
基本規(guī)律
1.翻折過(guò)程中尋找不變的垂直的關(guān)系求軌跡
2.翻折過(guò)程中尋找不變的長(zhǎng)度關(guān)系求軌跡
3.可以利用空間坐標(biāo)運(yùn)算求軌跡
【變式演練】
1.已知△ABC的邊長(zhǎng)都為2，在邊AB上任取一點(diǎn)D，沿CD將△BCD折起，使平面BCD⊥平面ACD．在平面BCD內(nèi)過(guò)點(diǎn)B作BP⊥平面ACD，垂足為P，那么隨著點(diǎn)D的變化，點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為（ ）
A．B．C．D．π
2.如圖，等腰梯形中，，，，，沿著把折起至，使在平面上的射影恰好落在上．當(dāng)邊長(zhǎng)變化時(shí)，點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（ ）
A．B．C．D．
3.已知矩形中，，，如圖，將沿著進(jìn)行翻折，使得點(diǎn)與點(diǎn)重合，若點(diǎn)在平面上的射影在四邊形內(nèi)部（包含邊界），則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度是（ ）
A．B．C．D．
1．（多選題）（海南省?？谑斜本煼洞髮W(xué)?？诟綄賹W(xué)校2021-2022學(xué)年12月月考）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為的中點(diǎn)，為正方形所在平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是( )
A．若到直線與直線的距離相等，則的軌跡為拋物線
B．若，則的中點(diǎn)的軌跡所圍成圖形的面積為
C．若與所成的角為，則的軌跡為雙曲線
D．若與平面所成的角為，則的軌跡為橢圓
2.（多選題）（廣東省六校2022屆高三上學(xué)期第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）如圖的正方體中，棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動(dòng).以下命題正確的有（ ）
A．側(cè)面上不存在點(diǎn)，使得
B．點(diǎn)到面的距離與點(diǎn)到面的距離之比為
C．若點(diǎn)滿足平面，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為
D．若點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為
3.（多選題）（2022年全國(guó)著名重點(diǎn)中學(xué)領(lǐng)航高考沖刺試卷（六））如圖，在正方體中，E為的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段上運(yùn)動(dòng)，G為底面ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．
B．若，則點(diǎn)G在線段AC上
C．當(dāng)點(diǎn)F從A向運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐的體積由小變大
D．若，GE與底面ABCD所成角相等，則動(dòng)點(diǎn)G的軌跡為圓的一部分
4.（吉林省梅河口市第五中學(xué)2021-2022上學(xué)期第一次月考）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，為底面的中心，點(diǎn)在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，且滿足，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．點(diǎn)可以是棱的中點(diǎn)B．線段的最大值為
C．點(diǎn)的軌跡是平行四邊形D．點(diǎn)軌跡的長(zhǎng)度為
5.（廣東省深圳市平岡高級(jí)中學(xué)2021屆高三上學(xué)期9月第一次月考）如圖所示，在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD -A1B1C1D1中，E是棱DD1的中點(diǎn)，F(xiàn)是側(cè)面CDD1C1上的動(dòng)點(diǎn)，且B1F∥平面A1BE，則F在側(cè)面CDD1C1上的軌跡的長(zhǎng)度是（ ）
A．a(chǎn)B．C．D．
6.（湖南省永州市2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期第一次適應(yīng)性考試）已知在三棱錐中，為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在(含邊界位置)內(nèi)，則滿足平面的點(diǎn)的軌跡為（ ）
A．線段，的中點(diǎn)連接而成的線段
B．線段的中點(diǎn)與線段靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)連接而成的線段
C．線段的中點(diǎn)與線段靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)連接而成的線段
D．線段靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)與線段靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)連接而成的線段
7.（遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2021-2022學(xué)年上學(xué)期聯(lián)考）已知正六棱柱的棱長(zhǎng)均為，點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在底面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，，為的中點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡與正六棱柱的側(cè)面和底面圍成的較小部分的體積為（ ）
A．B．C．D．
8.（福建省廈門(mén)雙十中學(xué)2020-2021學(xué)年）四棱錐中，底面是正方形，，．是棱上的一動(dòng)點(diǎn)，E是正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，的中點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，的軌跡是球面的一部分，其表面積為，則的值是（ ）
A．B．C．D．6
9.（浙江省2020屆高三）棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)P在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)到直線的距離為定值，若動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓，則此定值可能為（ ）
A．B．C．D．
10.（上海市建平中學(xué)2020-2021學(xué)年期中）已知菱形邊長(zhǎng)為2，，沿對(duì)角線折疊成三棱錐，使得二面角為60°，設(shè)為的中點(diǎn)，為三棱錐表面上動(dòng)點(diǎn)，且總滿足，則點(diǎn)軌跡的長(zhǎng)度為（ ）
A．B．C．D．
11.（河南省鄲城縣第一高級(jí)中學(xué)2021-2022學(xué)年高三第一次模擬）在三棱錐中，G是的重心，P是面內(nèi)一點(diǎn)，且平面.
（1）畫(huà)出點(diǎn)P的軌跡，并說(shuō)明理由；
（2）平面，，，，當(dāng)最短時(shí)，求二面角的余弦值.

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