(全國通用)高考數(shù)學二輪熱點題型歸納與變式演練專題9-2 軌跡八類求法（原卷+解析）學案-學案下載-教習網(wǎng)

TOC \ "1-3" \h \u TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc29376" 一、熱點題型歸納1
\l "_Tc17993" 【題型一】直接法求軌跡1
\l "_Tc26924" 【題型二】相關點代入法求軌跡2
\l "_Tc12217" 【題型三】定義法求軌跡2
\l "_Tc30563" 【題型四】交軌法求軌跡3
\l "_Tc30563" 【題型五】參數(shù)求軌跡4
\l "_Tc30563" 【題型六】立體幾何中的軌跡4
\l "_Tc30563" 【題型七】向量與求軌跡6
\l "_Tc30563" 【題型八】新高考：復數(shù)中求軌跡7
\l "_Tc21895" 二、最新?？碱}組練8
一般情況下，求軌跡題，多在解析幾何大題第一問，小題不太多。本專題例題所選大題，大多把第二問隱去。第二問放到下一個專題中歸納細講。
【題型一】直接法求軌跡
【典例分析】
設點，，為動點，已知直線與直線的斜率之積為定值，點的軌跡是（）
A．B．
C．D．
【提分秘籍】
可以直接列出等量關系式
解題步驟：
1.根據(jù)已知條件及一些基本公式（兩點間距離公式、點到直線的距離公式、直線斜率公式等。）
2.根據(jù)公式直接列出動點滿足的等量關系式，從而得到軌跡方程。
3.注意“多點”和“少點”，一般情況下，斜率和三角形頂點等約束條件
【變式演練】
1.若兩定點A，B的距離為3，動點M滿足，則M點的軌跡圍成區(qū)域的面積為（）
A．B．C．D．
2.已知點，直線，為平面上的動點，過點作直線的垂線，垂足為，且，則動點的軌跡C的方程為（）
A．B．
C．D．
已知M(4,0)，N(1,0)，若動點P滿足eq \(MN,\s\up6(→))·eq \(MP,\s\up6(→))＝6|eq \(NP,\s\up6(→))|.(1)求動點P的軌跡C的方程；
【題型二】相關點代入法
【典例分析】
已知△ABC的頂點，頂點在拋物線上運動，求的重心的軌跡方程．
【提分秘籍】
一般情況下，所求點的運動，依賴于另外一個或者兩個多個點的運動，可以通過對這些點設坐標來尋求代換關系。
求誰設誰，設所求點坐標為（x，y）
所依賴的點稱之為“參數(shù)點”，設為或等
“參數(shù)點”滿足某個（些）方程，可供代入
尋找所求點與“參數(shù)點”之間的坐標關系，反解參數(shù)值。
代入方程，消去參數(shù)值
【變式演練】
1.已知拋物線的焦點為.
(1)點滿足.當點在拋物線上運動時,求動點的軌跡方程;
2.已知圓與直線相切，點為圓上一動點，軸于點，且動點滿足，設動點的軌跡為曲線.
（1）求動點的軌跡曲線的方程；
3.設F(1,0)，M點在x軸上，P點在y軸上，且eq \(MN,\s\up6(→))＝2eq \(MP,\s\up6(→))，eq \(PM,\s\up6(→))⊥eq \(PF,\s\up6(→))，當點P在y軸上運動時，求點N的軌跡方程．
【題型三】定義法
【典例分析】
已知動圓過定點，且與圓相外切，求動圓圓心的軌跡方程．
【提分秘籍】
若動點軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義，就用定義直接求．
橢圓，雙曲線，拋物線的定義
一些特殊圖像的定義，如阿波羅尼斯圓
兩個圓內外切情況下，較多與圓錐曲線定義有關
【變式演練】
1、已知兩個定圓O1:(x+2)2＋y2＝1：和O2(x-2)2＋y2＝4，它們的半徑分別是1和2，.動圓M與圓O1內切，又與圓O2外切，求動圓圓心M的軌跡方程，
2、已知點，直線，點是直線上動點，若過垂直于軸的直線與線段的垂直平分線交于點，則點的軌跡是（）
雙曲線 B、拋物線 C、橢圓 D、圓
3.已知點滿足條件.
（Ⅰ）求點的軌跡的方程；
【題型四】交軌法
【典例分析】
如圖，橢圓：，a，b為常數(shù))，動圓，。點分別為的左，右頂點，與相交于A，B，C，D四點。
(Ⅰ)求直線與直線交點M的軌跡方程;
【提分秘籍】
交軌法，即軌跡交點法。
所求點滿足條件方程1
所求點滿足條件方程2
動點是兩軌跡方程，則滿足兩個軌跡所組成的方程組，通過兩個方程選擇適當?shù)募记上?shù)得到軌跡的普通方程
參數(shù)法求軌跡方程，關鍵有兩點：一是選參，容易表示出動點；二是消參，消參的途徑靈活多變.
【變式演練】
1.已知是橢圓中垂直于長軸的動弦，、是橢圓長軸的兩個端點，求直線和的交點的軌跡方程。
2.由圓外一定點向圓做割線，交圓周于A、B兩點，求弦AB中點的軌跡
【題型五】參數(shù)法
【典例分析】
如圖3所示，過雙曲線C：的左焦點F作直線l與雙曲線交于P、Q，以OP、OQ為鄰邊作平行四邊形OPMQ，求點M的軌跡方程。
【提分秘籍】
解題步驟：
1 引入?yún)?shù)，用此參數(shù)分別表示動點的橫縱坐標；
2.消去參數(shù)，得到關于的方程，即為所求軌跡方程。
【變式演練】
1.已知拋物線y2＝4px (p>0)，O為頂點，A、B為拋物線上的兩動點，且滿足OA⊥OB，如果OM⊥AB于M點，求點M的軌跡方程．
2.在平面直角坐標系xOy中，拋物線上異于坐標原點Ｏ的兩不同動點Ａ、Ｂ滿足．（Ⅰ）求得重心Ｇ（即三角形三條中線的交點）的軌跡方程；
3.設M是橢圓上的一點，P、Q、T分別為M關于y軸、原點、x軸的對稱點，N為橢圓C上異于M的另一點，且MN⊥MQ，QN與PT的交點為E，當M沿橢圓C運動時，求動點E的軌跡方程．
【題型六】立體幾何中的軌跡
本方法可參考立體幾何專題對應的軌跡題型和方法總結
【典例分析】
已知正方體的棱長為a，定點M在棱上（但不在端點A，B上），點P是平面內的動點，且點P到直線的距離與點P到點M的距離的平方差為，則點P的軌跡所在曲線為（）
A．直線B．圓C．雙曲線D．拋物線
【提分秘籍】
立體幾何內的軌跡，，嘗嘗從以下方向切入
建系，利用空間坐標系求出方程。
通過轉化，把空間關系轉化為平面關系，把空間軌跡轉化為平面軌跡求解。
【變式演練】
1.如圖，在正方體中，是棱的中點，是側面上的動點，并且平面，則動點的軌跡是（）
A．圓B．橢圓C．拋物線D．線段
2.在棱長為6的正方體中，點是線段的中點，是正方體（包括邊界）上運動，且滿足，則點的軌跡周長為________.
3.如圖，正方體中，為邊的中點，點在底面和側面上運動并且使，那么點的軌跡是（）
A．兩段圓弧B．兩段橢圓弧
C．兩段雙曲線弧D．兩段拋物線弧
【題型七】向量與軌跡
【典例分析】
已知O，A，B為平面上三點，若，，動點P和實數(shù)，滿足，，，則動點P軌跡的測度是__________.（注：當動點的軌跡是曲線時，其測度指其長度；當動點的軌跡是平面區(qū)域時，其測度指該區(qū)域面積.）
【提分秘籍】
向量背景下求軌跡
1.向量幾何意義
2.向量坐標運算或者數(shù)量積運算
【變式演練】
1.已知為平面內一定點且，平面內的動點滿足：存在實數(shù)，使，若點的軌跡為平面圖形，則的面積為___________.
2.如圖，B是AC的中點，，P是平行四邊形BCDE內(含邊界)的一點，且，則下列結論正確的是（）
A．當P在C點時，，
B．當時，
C．若為定值1，則在平面直角坐標系中，點P的軌跡是一條線段
D．當P是線段CE的中點時，，
3.已知是所在平面內一點，以下說法正確的是（）
A．若動點滿足，則點的軌跡一定通過的重心．
B．若點滿足，則點是的垂心．
C．若為的外心，且，則是的內心．
D．若，則點為的外心
【題型八】復數(shù)中的軌跡（新高考）
【典例分析】
已知復平面內點對應的復數(shù)為，點對應的復數(shù)為，．若，在的軌跡上任取一點，求的面積取值范圍．
【提分秘籍】
復數(shù)中的軌跡，基本是轉化為解析幾何來求
利用復數(shù)的模運算轉化
利用復數(shù)的幾何意義
【變式演練】
1.若復數(shù)滿足，則復數(shù)對應的點的軌跡圍成圖形的面積等于（）
A．B．C．D．
2.已知復數(shù)滿足，則的軌跡為（）
A．線段B．直線
C．橢圓D．橢圓的一部分
3.設非零復數(shù)是復平面上一定點，為復平面上的動點，其軌跡方程，為復平面上另一個動點滿足，則在復平面上的軌跡形狀是（）
A．雙曲線B．圓C．一條直線D．拋物線
1．（上海市徐匯區(qū)2020-2021學年上學期期末）設是定直線的法向量，定點在直線上，定點在直線外，為一動點，若點滿足，則動點的軌跡為（）
A．直線B．橢圓C．雙曲線D．拋物線
2.（安徽省黃山市2020-2021年上學期）已知O是所在平面內的一定點，動點P滿足，則動點P的軌跡一定通過的（）
A．內心B．外心C．重心D．垂心
3.（山東省濰坊市2021-2022學年上學期高中學科核心素養(yǎng)測評）已知兩定點，，動點與?的距離之比（且），那么點的軌跡是阿波羅尼斯圓，若其方程為，則的值為（）
A．B．C．0D．4
4.（福建省福州高級中學2021-2022學年上學期期中）已知橢圓（a>b>0）的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，設Р為橢圓上一動點，角的外角平分線所在直線為l，過點F2做l的垂線，垂足為S，當點Р在橢圓上運動時，點S的軌跡所圍成的圖形的面積為：（）
A．a(chǎn)2B．4a2C．'D．
5.（2021·湖南省郴州市9月月考）試運用類似上面的解法解下列問題：求函數(shù)的值域．
6.（新疆克拉瑪依市2022屆高三第三次模擬檢測數(shù)學（理）試題）古希臘數(shù)學家阿波羅尼奧斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點A，B距離之比為常數(shù)（且）的點的軌跡是一個圓心在直線AB上的圓，該圓簡稱為阿氏圓.根據(jù)以上信息，解決下面的問題：
如圖，在長方體中，，點E在棱AB上，，動點P滿足.若點P在平面ABCD內運動，則點P所形成的阿氏圓的半徑為___________；若點P在長方體內部運動，F(xiàn)為棱的中點，M為CP的中點，則點M到平面的距離的最小值為___________.
7.（四川省綿陽市綿陽第一中學2021-2022學年上學期期中數(shù)學試題）滿足的點的軌跡是（）
A．圓B．雙曲線C．直線D．拋物線
8.（北京科技大學附屬中學2020-2021學年上學期）已知定點、，是動點且直線、的斜率之積為，則動點的軌跡可能是（）
A．圓的一部分B．橢圓的一部分C．雙曲線的一部分D．拋物線的一部分
9.( 福建省泉州科技中學2022屆高三上學期期中考試數(shù)學試題)如圖，設點A，B的坐標分別為，，直線AP，BP相交于點P，且它們的斜率之積為.
（1）求P的軌跡方程；
（2）設點P的軌跡為C，點M?N是軌跡為C上不同于A，B的兩點，且滿足APOM，BPON，求△MON的面積.
10.( 福建省莆田第二中學2021-2022學年12月階段性檢測數(shù)學試題)在平面直角坐標系中，動圓經(jīng)過點，且與直線相切，設該動圓圓心的軌跡為曲線.
（1）求動圓圓心的軌跡的方程；
（2）直線與曲線交于、兩點，若以為直徑的圓經(jīng)過點（為坐標原點），求直線的方程.

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