專題04  利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立、能成立問題一．選擇題(在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．設(shè)函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，在上的導(dǎo)函數(shù)為，若在上恒成立，則稱函數(shù)在上為“凸函數(shù)”.已知在上為“凸函數(shù)”，則實(shí)數(shù)p的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【解析】∵，∴，∴，∵在上為“凸函數(shù)”，∴在上恒成立，即在上恒成立，令，，∴，∴在上單調(diào)遞增，∴，∴，即，故選：C.2．已知為自然對數(shù)的底數(shù)，不等式對任意的恒成立，則的最大值為（    ）A． B． C． D．【解析】由題得對任意的恒成立，設(shè)，所以，當(dāng)時，，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增，此時函數(shù)沒有最小值，不符合題意.當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以，所以，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.所以，所以的最大值為.故選：B3．已知函數(shù)，若時，，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【解析】當(dāng)，時，有在上恒成立，令，則令，則在上恒成立，由，所以在上有一根，設(shè)，即，則在上成立，在上成立，所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，故，又由可得，即，則，所以，所以.故選：B.4．設(shè)、，若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的最小值是（    ）A． B． C． D．【解析】令，則對任意的恒成立，所以，.①     當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)無最大值，不合乎題意；②當(dāng)時，令，可得.當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，所以，，即，，設(shè)，令，則，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增.所以，，因此，的最小值是.故選：C.5．已知函數(shù)，當(dāng)時，恒有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍（    ）A． B． C． D．【解析】由解析式可得是奇函數(shù)，，在R上為減函數(shù)，由得，，即在恒成立，令，則，設(shè)，則，在單調(diào)遞減，，，即.故選：A.6．已知兩個實(shí)數(shù)、滿足，在上均恒成立，記、的最大值分別為、，那么（    ）A． B． C． D．【解析】設(shè)，該函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，則.當(dāng)時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞增.所以，，即，令，則函數(shù)在上為增函數(shù)，且，，所以，存在使得，令，其中，.當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增.所以，，又，所以，存在使得.，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立；，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.所以，，即．故選：B.7．設(shè)函數(shù).若不等式對恒成立，則的最大值為（     ）A． B． C． D．【解析】由不等式對恒成立，即為，即對恒成立，設(shè)，由，可得在上遞增，且，當(dāng)時，；，，作出的圖象，再設(shè)，可得表示過，斜率為的一條射線（不含端點(diǎn)），要求的最大值，且滿足不等式恒成立，可得的最大值，由于點(diǎn)在軸上移動，只需找到合適的，且切于點(diǎn)，如圖所示：此時，即的最大值為.故選：D8．設(shè)函數(shù)，若存在唯一的正整數(shù)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【解析】當(dāng)時，由，，令，.當(dāng)或時，；當(dāng)時，.所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.函數(shù)的極大值為，極小值為，且，，，如下圖所示：設(shè)，若存在唯一的正整數(shù)使得，即，可得，即，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.9．設(shè)函數(shù)，其中，若有且僅有一個整數(shù)n，使得，則m的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【解析】函數(shù)，其中，設(shè)，，∵有且僅有一個整數(shù)n，使得，∴有且僅有一個整數(shù)n，使得在直線的下方，∵，∴當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；∴當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，直線恒過，斜率為，故，且，解得，∴的取值范圍是：，故選：D.10．設(shè)是正實(shí)數(shù)，若存在，使成立，則的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【解析】據(jù)題意 即，，，，令 即當(dāng) 時單調(diào)遞增，當(dāng)時 單調(diào)遞減,若即時，在上單調(diào)遞減。 所以 滿足題意，若當(dāng) 即時，在上先減后增。。令得，即,即滿足題意。綜上所述，的取值范圍為，故選：A.11．已知函數(shù)，若對于，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【解析】因?yàn)閷τ?/span>，恒成立，所以當(dāng)時，恒成立，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，取得最大值，所以，當(dāng)時，恒成立，因?yàn)?/span>時，，所以，當(dāng)時，恒成立，所以，當(dāng)時，等價(jià)于恒成立，所以綜上：k的取值范圍是，故選：A12．設(shè)，已知函數(shù)，對于任意，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【解析】設(shè)，則，當(dāng)或時，遞增；當(dāng)時，遞減；當(dāng)時，?，所以在上遞減；所以在上遞減；所以因?yàn)槿我?/span>，都有，所以，即，即，解得或，又，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選：B二．填空題13．已知函數(shù)，若恒成立，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【解析】∵，∴在時，，在時，，，若，則，單調(diào)遞減，成立，，，∴，若，則當(dāng)時，，遞減，時，，遞增，因此時，，所以，顯然成立，∴．綜上的取值范圍是．14．若存在一個實(shí)數(shù)t，使得成立，則稱t為函數(shù)的一個不動點(diǎn).設(shè)函數(shù)(，e為自然對數(shù)的底數(shù))，定義在R上的連續(xù)函數(shù)滿足，且當(dāng)時，.若存在，且為函數(shù)的一個不動點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為___________.【解析】由，知，令，則，即為奇函數(shù)，當(dāng)時，，故，所以在上單調(diào)遞減，所以由奇函數(shù)的對稱性可知，在上單調(diào)遞減.因?yàn)榇嬖?/span>，即，則 故，則，即.因?yàn)?/span>為函數(shù)一個不動點(diǎn)，所以在時有解，令，因?yàn)楫?dāng)時，，所以函數(shù)在時單調(diào)遞減，且時，，所以只需，得.15．已知函數(shù)，若對任意兩個不同的，，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________________【解析】,當(dāng)時，，所以，所以在單調(diào)遞減，不妨設(shè)，則，，所以等價(jià)于，即，設(shè)，則，所以在單調(diào)遞增，對于恒成立，所以，可得對于恒成立，設(shè)，只需，，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，所以，故答案為：16．設(shè)函數(shù)，若曲線上存在點(diǎn)，使得成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.【解析】因?yàn)?/span>在曲線上，，∴.由于在定義域內(nèi)是增函數(shù)，所以若，則，與矛盾，若，則，與矛盾，所以，則問題轉(zhuǎn)化為在內(nèi)有解，即方程在內(nèi)有解，得方程在內(nèi)有解，令，則，∴時，，即在上單調(diào)遞增，所以.故答案為：三．解答題(解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．（2）若，對都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1），所以，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增．當(dāng)時，由得；由得；由得．綜上所述，當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）若，則．對都有成立，等價(jià)于對都 ，由（1）知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的最大值為，，，函數(shù)在上是增函數(shù)，，所以，解得，又，所以 .18．已知函數(shù)，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)．（1）設(shè)直線是曲線的一條切線，求的值；（2）若，使得對恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）設(shè)切點(diǎn)為，其中，有，且得，所以，易解得：，則；（2）記，有，當(dāng)，恒成立，則函數(shù)在上遞增，無最小值，不符合題意；當(dāng)時，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以在處取得最小值，，則有，記，有，易知在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，則，所以，得.19．已知函數(shù).（1）當(dāng)時，函數(shù)的極小值為5，求正數(shù)b的值；（2）若，，且當(dāng)時，不等式在區(qū)間上有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.當(dāng)時，，則，，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的極小值為，∴.（2）當(dāng)時，，，則.①當(dāng)，即時，，所以在上單調(diào)遞增，所以；②當(dāng)，即時，設(shè)的兩根分別為，，則，，∴，，所以在區(qū)間上，，所以在上單調(diào)遞增，所以.綜上，當(dāng)時，在區(qū)間上的最大值為，∴，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.20．已知函數(shù).（1）若恒成立，求實(shí)數(shù)的值；（2）若關(guān)于的方程有四個不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1），， 又，故是的極大值點(diǎn)，所以，；另一方面，當(dāng)時，，，在區(qū)間單調(diào)遞減，故在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，所以，恒成立（2）當(dāng)時，，，  當(dāng)時，，在區(qū)間單調(diào)遞減，又，故在區(qū)間有唯一實(shí)根，① 若，， 當(dāng)時，，在區(qū)間單調(diào)遞減，故在區(qū)間至多有一個實(shí)根，不符合題意，② 若，令，（）是方程的兩不同實(shí)根，則，則故在區(qū)間，上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增. （），，，，同理可證.取，.取，，.故在，，各存在一個零點(diǎn)，實(shí)數(shù)的取值范圍是.21．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)在區(qū)間上的最小值；（2）當(dāng)時，求證：對任意，恒有成立．【解析】（1）解：函數(shù)的定義域是，． ①當(dāng)時，，則，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故函數(shù)在區(qū)間上的最小值為． ②當(dāng)時，令，得；令，得；故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（i）當(dāng)，即時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上的最小值為； （ii）當(dāng)，即時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故函數(shù)在區(qū)間上的最小值為； （iii）當(dāng)，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時函數(shù)在區(qū)間上的最小值為． 綜上，當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為；當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為；當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為． （2）證明：當(dāng)時，，要證，即證，因?yàn)?/span>，所以兩邊同時乘x，得，即證． 當(dāng)時，，而，所以成立，即成立．當(dāng)時，令，則． 設(shè)，，則因?yàn)?/span>．因?yàn)?/span>，所以，所以當(dāng)時，單調(diào)遞增， 所以，即，所以在上單調(diào)遞增，所以，即成立． 綜上，對任意，恒有成立．22．已知函數(shù)，其中.（1）若在區(qū)間上單調(diào)遞減，求的取值范圍；（2）若不等式對恒成立，證明：.【解析】（1）函數(shù)，其中，，.令得.令，解得.（2）函數(shù)，其中，，.令得，當(dāng)時，，是增函數(shù)：當(dāng)時，，是減函數(shù)，.所以當(dāng)時，既是極大值也是最大值，.令，所以成立.記，，，當(dāng)時，是增函數(shù)，，，所以存在使.當(dāng)時，，是減函數(shù)：當(dāng)時，，是增函數(shù)，所以當(dāng)時，既是極小值也是最小值，.又，所以，則成立，當(dāng)時，是減函數(shù)，所以，則，所以.  

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