專題08 利用參變分離法解決導數(shù)問題-2022年高考數(shù)學高分突破沖刺練（全國通用）-試卷下載-教習網(wǎng)

專題08 利用參變分離法解決導數(shù)問題一．選擇題(在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．若關于的方程在上有兩個不等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【解析】故，則，，設，，故，在上為減函數(shù)，.故時；時.故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù).，且時；時與的圖象要有兩個交點，則的取值范圍為.故選：B2．已知函數(shù)，．對于任意，且，都有，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．【解析】因為，所以同號，因此與的單調(diào)性相同，因為，所以函數(shù)單調(diào)遞增，因此也單調(diào)遞增，，因為是增函數(shù)，故恒成立．即恒成立．，則，設因為，故單調(diào)遞增，又，故當時，，即，因此單調(diào)遞減，當時，，即，因此單調(diào)遞增，故最小值為．故．故選：D3．若函數(shù)沒有極值點，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．【解析】由題意可得，沒有零點，或者有唯一解（但導數(shù)在點的兩側(cè)符號相同），即沒有交點，或者只有一個交點但交點的兩側(cè)符號相同.令，，則，令則在上單調(diào)遞減且，所以當時，，，單調(diào)遞增，當時，，，單調(diào)遞減，故當時，取得最大值，又時，，時，，結(jié)合圖象可知，即.故選：C.4．已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)），．若存在實數(shù)，，使得，且，則實數(shù)的最大值為（）A． B． C． D．1【解析】，，又且，，由，即，整理得：，令，，則，和在上均為減函數(shù)，在上單調(diào)遞減，，即在上恒成立，在上單調(diào)遞減，，即實數(shù)的最大值為.故選：C.5．已知關于x的方程在上有兩解，則實數(shù)k的取值范圍為（）A． B． C． D．【解析】由已知可得在上有兩解，令，，則問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與在上有兩個交點，，令，則，因為，所以恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當時，，則；當時，，則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又，所以，實數(shù)k的取值范圍為.故選：B6．已知函數(shù)，其中，若對于任意的，且，都有成立，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【解析】∵對于任意的，且，都有成立，∴不等式等價為恒成立，令，則不等式等價為當時，恒成立，即函數(shù)在上為增函數(shù)；，則在上恒成立；∴；即恒成立，令，∴；∴在上為增函數(shù)；∴；∴；∴.∴的取值范圍是.故選：C.7．已知函數(shù)，，當時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【解析】函數(shù)的定義域為，當時，恒成立，即，構(gòu)造函數(shù)，則，所以，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則對任意的恒成立，，令，其中，則.，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增.所以，函數(shù)的最小值為，.因此，實數(shù)的取值范圍是.故選：D.8．已知函數(shù)與的圖象上存在兩對關于直線對稱的點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【解析】∵ 函數(shù)與的圖象上存在兩對關于直線對稱的點，∴ 函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個交點，即方程，有兩解，即方程，有兩解，令，，則，當時，，函數(shù)為減函數(shù)；當時，，函數(shù)為增函數(shù).故當時，，又，所以當時，，畫出函數(shù)圖象，如圖：由圖可知的取值范圍.故選：B.9．若對于任意的，，有恒成立，則的最小值為（）A． B． C． D．【解析】由題意，不妨設，則可變?yōu)?/span>，即，整理得：，所以函數(shù)在上為減函數(shù)，，令，得設，則，因為，所以在上為減函數(shù)，即，所以，即的最小值為.故選：C10．已知，若對任意，不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．【解析】由對任意，不等式恒成立，得對任意恒成立，即對任意恒成立．因為，所以．令，則，顯然當時，，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增．所以，故，解得．或：令，則由知，不等式可化為，故當時，恒成立，即當時，恒成立．令，則，顯然當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減．所以，故，解得．故選：C.11．已知函數(shù)，是的導函數(shù)，若關于的方程有兩個不等的根，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【解析】因為函數(shù)，則函數(shù)的定義域為，且，所以方程化為，整理得，令，則，所以，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以要使關于的方程有兩個不等的根，則實數(shù)需滿足，故選：C.12．設函數(shù)，若存在區(qū)間，使得在上的值域為，則實數(shù)k的取值范圍是（）A． B． C． D．【解析】由題意可得，設，則，所以當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，又因為，所以在上單調(diào)遞增，又在上的值域為，所以，則方程在上的兩個根為、，由，可得，構(gòu)造函數(shù)，其中，，令，其中，，當時，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，，即，此時函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，即，此時函數(shù)單調(diào)遞增.所以，，，如下圖所示：由圖象可知，當時，直線與函數(shù)在區(qū)間上的圖象有兩個交點，因此，實數(shù)的取值范圍是.故選：C.二．填空題13．已知函數(shù)，若不等式對任意恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是____________．【解析】由題意，不等式可化為，當時，恒成立；當時，不等式可化為，令，，則，求導得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則，綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是.14．若函數(shù)與圖象上存在關于點對稱的點，則實數(shù)的取值范圍是___________.【解析】在曲線上任取一點，則該點關于點的對稱點在曲線上，所以，，可得，構(gòu)造函數(shù)，其中，，當時，，，則，此時函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，，則，此時函數(shù)單調(diào)遞增.所以，，且當時，，所以，函數(shù)的值域為.因此，實數(shù)的取值范圍是.15．當時，不等式恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是__．【解析】當時，不等式恒成立，即為對恒成立，①當即時，恒成立；②當，即時，恒成立，等價為，設，，可得時，，遞增；時，，遞減，可得在處取得最大值，且為，則；③當，即時，恒成立，等價為，設，，可得時，，遞減，可得，則，綜上可得，k的范圍是．16．若時，關于不等式恒成立，則實數(shù)的最大值是______.【解析】當，時，不等式顯然恒成立.當時， .由于，即.所以原不等式恒成立，等價于恒成立.構(gòu)造函數(shù)，.易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.則原不等式等價于要證.因為，要使實數(shù)的最大，則應.即. 記函數(shù)，則.易知，.故函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以.因此只需.綜上所述，實數(shù)的最大值是.三．解答題(解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．已知點在函數(shù)(且)上.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，且在上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.【解析】（1）∵(且)過點，可得，，∴.，，所以，，，，所以函數(shù)的遞增區(qū)間為；遞減區(qū)間為在.（2）∵，∴，即恒成立，即，令，可得，當，，函數(shù)單調(diào)遞增，當，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，所以.18．已知函數(shù)（1）若，求的極值；（2）若恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【解析】（1）∵當時，，∴，令，，由于，所以，所以在上單調(diào)遞增，且時，∴當，，當時，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴時取極小值，，無極大值．（2）∵，∴，令，，令，∵，在上是單調(diào)遞減函數(shù)，且，所以當時，，即，的單調(diào)遞增函數(shù)，當時，，即，的單調(diào)遞減函數(shù)，所以，可得，即.19．已知函數(shù)，．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當時，不等式恒成立，求的取值范圍．【解析】（1）因為，．所以．①當時，令，得．在上單調(diào)遞減；令，得，在上單調(diào)遞增．②當時，令，得．在上單調(diào)遞減；令，得或．在和上單調(diào)遞增．③當時，在時恒成立，在單調(diào)遞增．④當時，令，得．在上單調(diào)遞減；令，得或．在和上單調(diào)遞增．綜上所述：當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增．（2）不等式，等價于．時，．設函數(shù)，則．當時，，此時單調(diào)遞減；當時，，此時單調(diào)遞增．，．綜上，的取值范圍為．20．已知函數(shù).（1）若，證明：函數(shù)存在兩個零點；（2）若恒成立，求a的取值范圍.【解析】（1）證明：時，.令，得.當時，，在上單調(diào)遞增，當時，，在上單調(diào)遞減，于是.注意到，因此在上存在一個零點；又，因此在上存在一個零點，故函數(shù)存在兩個零點.（2）不等式可化為，即.令，則.設，則，因此單調(diào)遞增，又，因此時，即，從而在上單調(diào)遞減，時，即，從而在上單調(diào)遞增，因此的最小值為，從而a的取值范圍是.21．已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程為.(本題可能用的數(shù)據(jù)：，是自然對數(shù)的底數(shù))（1）求函數(shù)的解析式；（2）若對任意，不等式恒成立，求整數(shù)t的最大值.【解析】（1）函數(shù)的定義域為，，所以有，解之得，故函數(shù)的解析式為：；（2）當時，則，令()，則由題意知對任意的，，而，，再令()，則，所以在上為增函數(shù)，又，，所以存在唯一的，使得，即，當時，，，所以在上單調(diào)遞減，當時，，，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，又，所以，因為t為整數(shù)，所以t的最大值為8.22．已知函數(shù)（）.（1）若為整數(shù)，且在上恒成立，求的最大值；（2）若函數(shù)的兩個極值點分別為，，且，證明：.【解析】（1）由且，得，令，則，令，因為在上單調(diào)遞增，且，，所以存在唯一零點，滿足，且在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，因為為整數(shù)，所以的最大值為；（2），令，則，為方程有兩不同實根，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，而且，因此在區(qū)間上存在唯一零點，即，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，解得，所以，因為，，由的單調(diào)性得：，所以，所以（對數(shù)不等式）.

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