方法技巧專題4  立體幾何中的向量方法【一】證明平行問題線線平行設(shè)兩條不重合的直線l，m的方向向量分別為a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，則l∥m?a∥b?(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)線面平行設(shè)l的方向向量為a＝(a1，b1，c1)，α的法向量為u＝(a2，b2，c2)，則l∥α?a·u＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0面面平行設(shè)α，β的法向量分別為u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，則α∥β?u∥v?(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)         [來源:學(xué)科網(wǎng)] 1.例題【例1】如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別為DD1和BB1的中點(diǎn)．求證：四邊形AEC1F是平行四邊形．      【例2】在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是CC1，B1C1的中點(diǎn)．求證：MN∥平面A1BD． [來源:學(xué)科網(wǎng)ZXXK]       【例3】在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是CC1，B1C1的中點(diǎn)，試證明平面A1BD∥平面CB1D1.   【例4】如圖，直角梯形與等腰直角三角形所在的平面互相垂直．，，，.(1) 求證：；(2) 求直線與平面所成角的正弦值；(3) 線段上是否存在點(diǎn)，使平面若存在，求出；若不存在，說明理由．      2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】長方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別是面對角線B1D1，A1B上的點(diǎn)，且D1E＝2EB1，BF＝2FA1.求證：EF∥AC1.     【練習(xí)2】在如圖所示的多面體中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中點(diǎn)，求證：AB∥平面DEG.   【練習(xí)3】如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點(diǎn)．設(shè)Q是CC1上的點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)Q在什么位置時，平面D1BQ∥平面PAO?                                                           【二】證明垂直問題1.例題【例1】如圖，在直三棱柱中，，，，，M是棱的中點(diǎn)，求證：.                                                                    【例2】如圖所示，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點(diǎn)．求證：AB1⊥平面A1BD．                                                                   【例3】 如圖所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E為BB1的中點(diǎn)，證明：平面AEC1⊥平面AA1C1C．                                                            【例4】如圖，在三棱錐中，平面，底面是以為斜邊的等腰直角三角形，，是線段上一點(diǎn)．（1）若為的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值．（2）是否存在點(diǎn)，使得平面平面？若存在，請指出點(diǎn)的位置，并加以證明；若不存在，請說明理由．                                                                     2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是線段EF的中點(diǎn)．求證：AM⊥平面BDF.                                                 【練習(xí)2】如圖所示，△ABC是一個正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD．求證：平面DEA⊥平面ECA．                                                                       【三】利用空間向量求空間角1.例題【例1】如圖，在三棱柱OAB-O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝，求異面直線A1B與AO1所成角的余弦值的大小．                                                                【例2】如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM＝2MD，N為PC的中點(diǎn)．                                                     (1)證明MN∥平面PAB；(2)求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.                                                                          【例3】如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.(1)證明：平面PAB⊥平面PAD；(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角A-PB-C的余弦值.                                                                【例4】如圖，在四棱錐中，四邊形是矩形，是等邊三角形，平面平面，，為棱上一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，四棱錐的體積為.（1）若為棱的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，求證：平面平面；（2）是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成的銳二面角的余弦值為？若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由.                                                                       2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】已知四棱錐S-ABCD的底面是正方形且側(cè)棱長與底面邊長都相等，E是SB的中點(diǎn)，則AE，SD所成的角的余弦值為多少？    【練習(xí)2】如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝.(1)求證：PD⊥平面PAB．(2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值．(3)在棱PA上是否存在點(diǎn)M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值；若不存在，說明理由．                                                                                                                                   【練習(xí)3】如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其內(nèi)部)以AB邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)120°得到的，G是的中點(diǎn)．[來源:學(xué)§科§網(wǎng)Z§X§X§K](1)設(shè)P是上的一點(diǎn)，且AP⊥BE，求∠CBP的大??；(2)當(dāng)AB＝3，AD＝2時，求二面角E-AG-C的大?。?/span>                                                                         【練習(xí)4】如圖，在三棱錐P-ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA＝BP＝BQ，D，C，E，F分別是AQ，BQ，AP，BP的中點(diǎn)，AQ＝2BD，PD與EQ交于點(diǎn)G，PC與FQ交于點(diǎn)H，連接GH. (1)求證：AB∥GH；(2)求二面角D-GH-E的余弦值．[來源:Zxxk.Com] 【四】利用空間向量求距離1.例題【例1】　已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，E，F，G分別是C1C，D1A1，AB的中點(diǎn)，求點(diǎn)A到平面EFG的距離．                                                                         【例2】在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別是BC，CD的中點(diǎn)，則BD到平面EFD1B1的距離為________.【例3】在棱長為的正方體中，則平面與平面之間的距離為(    )A．         B．        C．       D．2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面,，,是中點(diǎn). （I）求直線與平面所成的角的正弦值；（II）求點(diǎn)到平面的距離．                                                                   【練習(xí)2】　如圖所示，在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別為BB1，CC1的中點(diǎn)，DG＝DD1，過E，F，G的平面交AA1于點(diǎn)H，求D1A1到平面EFGH的距離．                                                                           【練習(xí)3】如圖，在四棱錐O?ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA=2，M，N，R分別為OA，BC，AD的中點(diǎn)，求直線MN與平面OCD的距離及平面MNR與平面OCD的距離.                                                                                                   三、課后自我檢測                         1．如圖，已知在四棱錐中，平面，點(diǎn)在棱上，且，底面為直角梯形，分別是的中點(diǎn)．（1）求證：//平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求點(diǎn)到平面的距離.                                                                   2．如圖，已知菱形和矩形所在的平面互相垂直，，.(1)求直線與平面的夾角；(2)求點(diǎn)到平面的距離.                                                                          3．如圖,在四棱錐S-ABCD中，平面，底面ABCD為直角梯形，,,且（Ⅰ）求與平面所成角的正弦值.（Ⅱ）若E為SB的中點(diǎn)，在平面內(nèi)存在點(diǎn)N，使得平面，求N到直線AD,SA的距離.                                                                      4．如圖：正三棱柱的底面邊長為，是延長線上一點(diǎn)，且，二面角的大小為；（1）求點(diǎn)到平面的距離；[來源:學(xué)科網(wǎng)]（2）若是線段上的一點(diǎn) ，且，在線段上是否存在一點(diǎn)，使直線平面？ 若存在，請指出這一點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由．                                                                5．如圖所示，正方形與矩形所在平面互相垂直，,點(diǎn)為的中點(diǎn).（1）求證： 平面；    （2）設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使二面角的大小為，求此時的長及點(diǎn)到平面的距離.                                                           6．如圖，在三棱錐中，是邊長為4的正三角形， ，分別為的中點(diǎn)，且.（1）證明：平面ABC；（2）求二面角的余弦值；                                                                  7．如圖所示的幾何體中，垂直于梯形所在的平面，為的中點(diǎn)，，四邊形為矩形，線段交于點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得與平面所成角的大小為？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由.                                                              8．如圖，在四棱錐中，，，，，，點(diǎn)在線段上，且．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）在線段上是否存在點(diǎn)，使得，若存在，求出線段的長，若不存在，說明理由．                                                                   

相關(guān)試卷

方法技巧專題26 平面向量-2022年高考數(shù)學(xué)滿分之路方法技巧篇：

這是一份方法技巧專題26 平面向量-2022年高考數(shù)學(xué)滿分之路方法技巧篇，文件包含方法技巧專題26平面向量解析版docx、方法技巧專題26平面向量原卷版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共40頁， 歡迎下載使用。

方法技巧專題08 軌跡方程的求法-2022年高考數(shù)學(xué)滿分之路方法技巧篇：

這是一份方法技巧專題08 軌跡方程的求法-2022年高考數(shù)學(xué)滿分之路方法技巧篇

方法技巧專題14 導(dǎo)數(shù)與切線方程問題-2022年高考數(shù)學(xué)滿分之路方法技巧篇：

這是一份方法技巧專題14 導(dǎo)數(shù)與切線方程問題-2022年高考數(shù)學(xué)滿分之路方法技巧篇，文件包含方法技巧專題14導(dǎo)數(shù)與切線方程問題解析版docx、方法技巧專題14導(dǎo)數(shù)與切線方程問題原卷版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共28頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

方法技巧專題10 圓錐曲線中的垂徑定理-2022年高考數(shù)學(xué)滿分之路方法技巧篇

方法技巧專題10 圓錐曲線中的垂徑定理-2022年高考數(shù)學(xué)滿分之路方法技巧篇
方法技巧專題05 立體幾何中平行與垂直證明-2022年高考數(shù)學(xué)滿分之路方法技巧篇

方法技巧專題05 立體幾何中平行與垂直證明-2022年高考數(shù)學(xué)滿分之路方法技巧篇
方法技巧專題06 直線與圓問題-2022年高考數(shù)學(xué)滿分之路方法技巧篇

方法技巧專題06 直線與圓問題-2022年高考數(shù)學(xué)滿分之路方法技巧篇
方法技巧專題01 數(shù)列求和問題-2022年高考數(shù)學(xué)滿分之路方法技巧篇

方法技巧專題01 數(shù)列求和問題-2022年高考數(shù)學(xué)滿分之路方法技巧篇
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
  • 精品推薦
  • 所屬專輯29份
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部