方法技巧專題5  立體幾何中平行與垂直證明 解析版  【一】“平行關(guān)系”常見證明方法1.1 直線與直線平行的證明1.1.1 利用某些平面圖形的特性：如平行四邊形的對邊互相平行等1.1.2 利用三角形中位線性質(zhì)1.1.3 利用空間平行線的傳遞性（即公理4）：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。 1.1.4 利用直線與平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線與一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行。     1.1.5 利用平面與平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行．     1.1.6 利用直線與平面垂直的性質(zhì)定理：垂直于同一個平面的兩條直線互相平行。1.1.7 利用平面內(nèi)直線與直線垂直的性質(zhì)：在同一個平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行。1.1.8 利用定義：在同一個平面內(nèi)且兩條直線沒有公共點(diǎn)1.2 直線與平面平行的證明1.2.1 利用直線與平面平行的判定定理：平面外的一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。   1.2.2 利用平面與平面平行的性質(zhì)推論：兩個平面互相平行，則其中一個平面內(nèi)的任一直線平行于另一個平面。1.2.3 利用定義：直線在平面外，且直線與平面沒有公共點(diǎn)1.3 平面與平面平行的證明1.3.1 利用平面與平面平行的判定定理：一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。1.3.2 利用某些空間幾何體的特性：如正方體的上下底面互相平行等1.3.3 利用定義：兩個平面沒有公共點(diǎn) 1.例題【例1】 如圖，已知菱形，其邊長為2，，繞著順時針旋轉(zhuǎn)得到，是的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．證明（1）連結(jié)AC交BD于點(diǎn)O，連結(jié)OM在菱形中，O為AC中點(diǎn)，M為的中點(diǎn)OM為APC的中位線，OM∥AP    ---------------（利用1.1.2中位線性質(zhì)）又OM面，且PA面平面  ----------------（利用1.2.1直線與平面平行的判定定理） 【例2】 已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD是、邊長為的菱形，又，且PD=CD，點(diǎn)M、N分別是棱AD、PC的中點(diǎn)． 證明：DN//平面PMB。   證明：取PB中點(diǎn)為E，連結(jié)ME、NE點(diǎn)M、N分別是棱AD、PC的中點(diǎn) NE  BC ,又MD  BC NE   MD，即四邊形ABCD為平行四邊形．　ME//DN   ----------（利用1.1.1平行四邊形性質(zhì)）又 ME面PMB，且DN面PMB， DN//平面PMB----------（利用1.2.1直線與平面平行的判定定理）【例3】如圖，已知點(diǎn)是平行四邊形所在平面外的一點(diǎn)，，分別是，上的點(diǎn)且，求證：平面．         證明：過E作EM//AD交PD于點(diǎn)M ,連結(jié)MF=     ==  PB//MF，又AD//BC，EM//BCBC面PBC，且EM面PBC，EM//面PBC，同理MF//面PBC，----------（利用1.2.1直線與平面平行的判定定理）FM面EFM，EM面EFM，EM MF于點(diǎn)M,   面EMF//面PBC,       ------------（利用1.3.1 平面與平面平行的判定定理)EF//面PBC          ------------ (利用1.2.2平面與平面平行的性質(zhì))2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】如圖，在六面體中，平面∥平面，⊥平面，,,∥,且,．   求證： ∥平面；     證明：取DG的中點(diǎn)為M連結(jié)FM、AM，∴DM=MG=EF=1又∵∥∴四邊形EFMD為平行四邊形，∴EF    DE∵⊥平面,且平面∥平面∴AD⊥DE,AD⊥AB,又∵AB、DE面ABED, AB=DE=2 ∴AB   DE∴AB    FM,即四邊形ABFM為平行四邊形，∴BF∥AM，又∵BF 面，AM面∴∥平面 【練習(xí)2】如圖，，，，分別是正方體的棱，，，的中點(diǎn)．求證：（1）平面；（2）平面平面．【解析】證明（1）如圖，取的中點(diǎn)，連接，，[來源:學(xué)&科&網(wǎng)Z&X&X&K]因為，所以，所以四邊形為平行四邊形，故，因為平面，平面，所以平面．（2）由題意可知．連接，，因為，所以四邊形是平行四邊形，故又，，所以平面平面．【練習(xí)3】在如圖所示的五面體中，四邊形為菱形，且， 平面， ， 為中點(diǎn).求證： 平面. 【解析】證明：取中點(diǎn)，連接，因為分別為中點(diǎn)，所以，又平面，且平面，所以平面，因為平面， 平面，平面平面，所以．又， ，所以， .所以四邊形為平行四邊形.所以.又平面且平面，所以平面，又，所以平面平面.又平面，所以平面. 【二】“垂直關(guān)系”常見證明方法[來源:Zxxk.Com]2.1直線與直線垂直的證明2.1.1 利用某些平面圖形的特性：如直角三角形的兩條直角邊互相垂直,等邊、等腰三角形（中線即高線），正方形、矩形鄰邊垂直，正方形菱形對角線垂直等。2.1.2 看夾角：兩條共（異）面直線的夾角為90°，則兩直線互相垂直。2.1.3 利用直線與平面垂直的性質(zhì)：如果一條直線與一個平面垂直，則這條直線垂直于此平面內(nèi)的所有直線。     2.1.4 利用平面與平面垂直的性質(zhì)推論：如果兩個平面互相垂直，在這兩個平面內(nèi)分別作垂直于交線的直線，則這兩條直線互相垂直。2.1.5 利用常用結(jié)論：①     如果兩條直線互相平行，且其中一條直線垂直于第三條直線，則另一條直線也垂直于第三條直線。    ②     如果有一條直線垂直于一個平面，另一條直線平行于此平面，那么這兩條直線互相垂直。 2.2 直線與平面垂直的證明2.2.1 利用某些空間幾何體的特性：如長方體側(cè)棱垂直于底面 等2.2.2 看直線與平面所成的角：如果直線與平面所成的角是直角，則這條直線垂直于此平面。2.2.3 利用直線與平面垂直的判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線垂直于此平面。           2.2.4 利用平面與平面垂直的性質(zhì)定理：   兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直。2.2.5 利用常用結(jié)論：①       一條直線平行于一個平面的一條垂線，則該直線也垂直于此平面。②       兩個平面平行，一直線垂直于其中一個平面，則該直線也垂直于另一個平面。 2.3 平面與平面垂直的證明2.3.1 利用某些空間幾何體的特性：如長方體側(cè)面垂直于底面等2.3.2 看二面角：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角（即平面角是直角的二面角），就說這連個平面互相垂直。2.3.3 利用平面與平面垂直的判定定理一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。    1.例題【例1】如圖,四邊形ABCD為矩形，CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，AB=4a，BC= CF=2a，P為AB的中點(diǎn).求證：平面PCF⊥平面PDE.    證明：ABCD為矩形，AB=2BC, P為AB的中點(diǎn)，PBC為等腰直角三角形，∠BPC=45°.同理可證∠APD=45°. ∠DPC=90°，即PC⊥PD.   ----------- （利用2.1.1）又DE⊥面ABCD，PC面ABCD，PC⊥DE.     ----------- （利用2.1.3）DE∩PD=D ，PC ⊥面PDE .     ----------- （利用2.2.3）又PC面PCF，面PCF⊥面PDE。----------- （利用2.3.3） 【例2】如圖，在四棱錐中，ABCD是矩形，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上移動。求證：。【證明】，  ----------- （利用2.1.3） ，----------- （利用2.1.1） ，----------- （利用2.2.3）     ，點(diǎn)是的中點(diǎn)  ----------- （利用2.1.1）     又           ----------- （利用2.1.3）  【例3】如圖，在四邊形中，，，點(diǎn)為線段上的一點(diǎn).現(xiàn)將沿線段翻折到，使得平面平面，連接，.證明：平面.【證明】(Ⅰ)連結(jié)，交于點(diǎn),在四邊形中，∵，∴，∴,∴又∵平面平面，且平面平面=∴平面----------- （利用2.2.4）  2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】 如圖，四棱錐S-ABCD的底面是矩形，SA底面ABCD，P為BC邊的中點(diǎn)，SB與平面ABCD所成的角為，且AD=2，SA=1。求證：PD平面SAP；【證明】∵SA⊥面ABCD，∴SBA為SB與面ABCD的夾角，∴SBA =，且SA⊥AB，∴AB=1在矩形ABCD中，P為BC邊的中點(diǎn)，∴AB=BP=1, ∴AP=, 同理DP=又∵AD=2，∴APD=,即AP⊥PD∵SA⊥面ABCD, ∴SA⊥PD,  且SA、AP面SAP，SAAP于點(diǎn)A,∴PD平面SAP 【練習(xí)2】 如圖，在三棱柱中，側(cè)棱底面，為棱的中點(diǎn)．，，．（1）求證：平面；（2）求證：平面；【解析】（1）證明：連接與，兩線交于點(diǎn)，連接．在中，∵，分別為，的中點(diǎn)，∴，又∵平面，平面，∴平面．（2）證明：∵側(cè)棱底面，平面，∴，又∵為棱的中點(diǎn)，，∴．∵，，平面，∴平面，∴∵，∴．又∵，∴在和中，，∴，即，∴∵，，平面，∴平面．【練習(xí)3】如圖，四棱錐中，，，，為正三角形．且．證明：平面平面．【解析】（1）證明：∵，且，∴，又為正三角形，∴，又∵，，∴，又∵，，∴，，∴平面，又∵平面，∴平面平面．1．如圖，四邊形為正方形，平面，，，，．（1）求證：；（2）若點(diǎn)在線段上，且滿足，求證：平面；（3）求證：平面． 【解析】（1）∵，∴與確定平面，∵平面，∴．由已知得且，∴平面．又平面，∴．（2）過作，垂足為，連接，則．又，∴．又且，∴且，∴四邊形為平行四邊形，∴．又平面，平面，∴平面．（3）由（1）可知，．在四邊形中，，，，，∴，則．設(shè)，∵，故，則，即．又∵，∴平面．2．直三棱柱中， ， ， ，點(diǎn)是線段上的動點(diǎn).（1）當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時，求證： 平面；（2）線段上是否存在點(diǎn)，使得平面平面？若存在，試求出的長度；若不存在，請說明理由.【解析】（1）如圖，連接，交于點(diǎn)，連接，則點(diǎn)是的中點(diǎn)，又點(diǎn)是的中點(diǎn)，由中位線定理得，因為平面， 平面，所以平面.（2）當(dāng)時平面平面.證明：因為平面， 平面，所以．又， ，所以平面，因為平面，所以平面平面，故點(diǎn)滿足.因為， ， ，所以，故是以角為直角的三角形，又，所以.3.如圖， 為等邊三角形， 平面， ， ， 為的中點(diǎn).（Ⅰ）求證： 平面；（Ⅱ）求證：平面平面.【解析】（1）證明：取的中點(diǎn)，連結(jié)∵在中， ， ∵， ∴， ∴四邊形為平行四邊形 ∴又∵平面 ∴平面（2）證：∵面， 平面，∴，又∵為等邊三角形，∴，又∵，∴平面，又∵，∴面，又∵面，∴面面[來源:Z§xx§k.Com] 已知平面四邊形中， 中， ，現(xiàn)沿進(jìn)行翻折，得到三棱錐，點(diǎn)， 分別是線段， 上的點(diǎn)，且平面.求證：（1）直線平面；[來源:學(xué)*科*網(wǎng)]（2）當(dāng)是中點(diǎn)時，求證：平面平面. 【解析】（1）證明：因為平面， 平面，平面平面，所以因為平面， 平面，所以 //平面（2）因為是的中點(diǎn)， ，所以為的中點(diǎn).[來源:學(xué)科網(wǎng)]又因為，所以又， ，所以，， 平面， ，所以平面.因為平面，所以平面平面.

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