專題技巧10  圓錐曲線中的垂徑定理(一) 圓中的垂徑定理（問題背景：直線斜率存在）       圖1                     圖2                   圖3（1）如圖1，在圓O中，E為弦AB中點，則OE⊥AB，即（2）如圖2，在圓O中，與圓O相切于E點，則OE⊥，即.（若切點坐標為，可得切線方程：）（3）如圖3，AB為圓O直徑，E圓上異于A、B兩點的動點，則BE⊥AE，即.（二）圓錐曲線中的垂徑定理（問題情景假設：假設下列問題討論所涉及的直線斜率都存在情況下）1.橢圓中的垂徑定理（以焦點在軸的橢圓方程為例）              圖1                       圖2                     圖3（1）如圖1，在橢圓C中，E為弦AB的中點，則;（證明：用點差法）[來源:Z+xx+k.Com]（2）如圖2，在橢圓C中，與橢圓相切于E點，則;（證明：法一：極限思想，當A無窮接近B點；法二：換元法變換為證明即可；法三：導數(shù)）[來源:學+科+網(wǎng)Z+X+X+K]（3）如圖3,過中心O,交橢圓于A,B兩點,E是橢圓上異于A、B點的動點則.（證明：取AE重點M，連接OM，即可用（1）證明）【注意：若焦點在軸上的橢圓方程，     則上面結(jié)論變?yōu)椋?/span>，即】 2.雙曲線中的垂徑定理（以焦點在軸的雙曲線方程為例）      圖1               圖2                 圖3                圖4             圖5（1）如圖1或圖2，E為弦AB的中點，則;（2）如圖3，與雙曲線相切于E點，則;（3）如圖4，過O點的交雙曲線于A,B兩點，E是雙曲線上異于A、B點的動點,則.（4）如圖5，交上雙曲線兩漸近線于A,B兩點，E為線段AB的中點，則.【注意：若焦點在軸上的雙曲線方程，則上面斜率乘積結(jié)論變?yōu)椋?/span>，即】（三）例題點評1.例題初探【例1】過點M(1,1)作斜率為的直線與橢圓相交于A,B兩點，若M是線段AB的中點，則該橢圓的離心率為       .【例2】已知A、B為橢圓的左右頂點，P為橢圓上異于A、B的點，PA、PB的斜率分別為，且，則該橢圓的離心率為              【例3】設雙曲線C：的頂點為，P為雙曲線上一點，直線交雙曲線C的一條漸近線于M點，直線和的斜率分別為，若且，則雙曲線C離心率為（     ）A、2        B、        C、        D、4 【例4】已知A、B是雙曲線的兩個頂點，P是雙曲線上異于A、B的另一點，P關于軸的對稱點為，記直線AP、BQ的斜率分別為，且，則雙曲線的離心率為               【例5】過雙曲線的左焦點F且斜率為1的直線與雙曲線的兩條漸近線交于A、B兩點，記線段AB的中點為M，且等于半焦距，則雙曲線的離心率           【例6】已知直線的斜率為1，且與雙曲線相切于第一象限于點，則點的坐標為______.     2.提高與鞏固例題【例1】已知直線交橢圓于M、N兩點，B是橢圓與軸正半軸的交點，若△BMN的重心恰好為橢圓的右焦點，則直線的方程為               【例2】已知橢圓，P是橢圓的上頂點，過P作斜率為的直線交橢圓于另一點A，設點A關于原點的對稱點為B，（1）求△PAB面積的最大值（2）設線段PB的中垂線與軸交于點N，若點N在橢圓內(nèi)部，求斜率的取值范圍                 【例3】設直線與雙曲線兩條漸近線分別交于A，B，若點滿足，則該雙曲線的離心率是                 [來源:學.科.網(wǎng)] 【例4】已知某橢圓的焦點是，過點并垂直于x軸的直線與橢圓的一個交點為B，且．橢圓上不同的兩點滿足條件：成等差數(shù)列．(1) 求該橢圓的方程；(2) 求弦AC中點的橫坐標；(3) 設弦AC的垂直平分線的方程為y=kx+m，求m的取值范圍．       1.如圖，已知橢圓，過原點的直線交橢圓于點P、A兩點（其中點P在第一象限），過點P作軸的垂線，垂線為C，連AC并延長交橢圓于B，若，則橢圓的離心率為       2.已知雙曲線的左右焦點為，右頂點為A，P為雙曲線右支上一點，交雙曲線的左支于點Q，與漸近線交于點R，線段PQ的中點為M，若，，則雙曲線的離心率為          [來源:學_科_網(wǎng)] 3.如圖，已知橢圓的左右頂點分別為A、B，P為第一象限內(nèi)一點，且，連接PA交橢圓于點C，連BC、OP，若，則橢圓的離心率為         4.如圖，，分別是雙曲線C：的左右焦點，B是虛軸的端點，直線與C的兩條漸近線分別交于P，Q兩點，線段PQ的垂直平分線MN與軸交于點M，若，則C的離心率是       。 5.過點作直線與橢圓交于兩點，求的中點的軌跡的方程。     6.過點作直線與有心圓錐曲線交于兩點，是否存在這樣的直線使點為線段的中點？若存在，求直線的方程；若不存在，說明理由.         [來源:Zxxk.Com]7.如圖，，橢圓C：，不過原點O的直線與C相交于A、B兩點，且線段AB被直線OP平分，求△ABP的面積取最大值時直線的方程       8.已知橢圓的離心率為，直線與相切于點E. 求橢圓的方程.

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