方法技巧專題02 數(shù)列求通項問題-2022年高考數(shù)學(xué)滿分之路方法技巧篇

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?技巧方法專題2 數(shù)列求通項問題 解析版



【一】歸納法求通項
通過數(shù)列前若干項歸納出數(shù)列的一個通項公式，關(guān)鍵是依托基本數(shù)列如等差數(shù)列、等比數(shù)列，尋找an與n，an與an＋1的聯(lián)系.

1.例題
【例1】由數(shù)列的前n項，寫出通項公式：
(1)3,5,3,5,3,5，…
(2)，，，，，…
(3)2，，，，，…
(4)，，，，，…

【解析】　(1)這個數(shù)列前6項構(gòu)成一個擺動數(shù)列，奇數(shù)項為3，偶數(shù)項為5.所以它的一個通項公式為an＝4＋(－1)n.
(2)數(shù)列中的項以分?jǐn)?shù)形式出現(xiàn)，分子為項數(shù)，分母比分子大1，所以它的一個通項公式為an＝.
(3)數(shù)列可化為1＋1,2＋，3＋，4＋，5＋，…，所以它的一個通項公式為an＝n＋.
(4)數(shù)列可化為，，，，，…，所以它的一個通項公式為an＝.

【例2】已知數(shù)列：，按照從小到大的順序排列在一起，構(gòu)成一個新的數(shù)列：首次出現(xiàn)時為數(shù)列的（ ）
A．第44項 B．第76項 C．第128項 D．第144項
【解析】觀察分子分母的和出現(xiàn)的規(guī)律：，
把數(shù)列重新分組：，
可看出第一次出現(xiàn)在第16組，因為，所以前15組一共有120項；
第16組的項為，所以是這一組中的第8項，故第一次出現(xiàn)在數(shù)列的第128項，故選C.

2. 鞏固提升綜合練習(xí)
【練習(xí)1】由數(shù)列的前幾項，寫出通項公式：
(1)1，－7，13，－19，25，…
(2)，，，，，…
(3)1，－，，－，…
【解析】　(1)數(shù)列每一項的絕對值構(gòu)成一個以1為首項，6為公差的等差數(shù)列，且奇數(shù)項為正，偶數(shù)項為負(fù)，所以它的一個通項公式為an＝(－1)n＋1(6n－5).
(2)數(shù)列化為，，，，，…，分子，分母分別構(gòu)成等差數(shù)列，所以它的一個通項公式為an＝.
(3)數(shù)列化為，－，，－，…，
所以數(shù)列的一個通項公式為an＝(－1)n＋1.
【練習(xí)2】如圖是一個三角形數(shù)陣，滿足第行首尾兩數(shù)均為，表示第行第個數(shù)，則的值為__________．

【答案】4951
【解析】設(shè)第n行的第2個數(shù)為an，由圖可知，a2=2=1+1，a3=4=1+2+1，a4=7=1+2+3+1，a5=11=1+2+3+4+1…歸納可得an=1+2+3+4+…+（n-1）+1=+1，故第100行第2個數(shù)為：，故答案為4951
【二】公式法求通項
等差數(shù)列：
等比數(shù)列：

1.例題
【例1】 數(shù)列滿足，，則（ ）
A． B． C． D．
【解析】∵，∴，
∴數(shù)列是等差數(shù)列，首項為，公差為﹣1．
∴，∴．∴．故選：C．
【例2】已知數(shù)列{an}滿足a1＝4，an＝4－(n>1)，記bn＝．
求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求．
【解析】∵bn＋1－bn＝－＝－＝－＝＝.
又b1＝＝，∴數(shù)列{bn}是首項為，公差為的等差數(shù)列，
故，即．
2.鞏固提升綜合練習(xí)
【練習(xí)1】已知各項都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0．
(1)求a2，a3；
(2)證明數(shù)列{an}為等比數(shù)列,并求．
【解析】(1)由題意可得a2＝，a3＝.
(2)由a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0，得2an＋1(an＋1)＝an(an＋1).
因為{an}的各項都為正數(shù)，所以＝.
故{an}是首項為1，公比為的等比數(shù)列。所以
【練習(xí)2】已知數(shù)列和滿足
求證：是等比數(shù)列,是等差數(shù)列；
求數(shù)列和的通項公式．
【解析】證明:


是首項為,公比為的等比數(shù)列,



······




是首項為,公差為的等差數(shù)列.
由知,


【三】累加法求通項
型如an＋1＝an＋f(n)的遞推公式求通項可以使用累加法，步驟如下：
第一步　將遞推公式寫成an＋1－an＝f(n)；
第二步　依次寫出an－an－1，…，a2－a1，并將它們累加起來；
第三步　得到an－a1的值，解出an；
第四步　檢驗a1是否滿足所求通項公式，若成立，則合并；若不成立，則寫出分段形式.累乘法類似.

1.例題
【例1】在數(shù)列中，，，則（ ）
A． B． C． D．
【解析】在數(shù)列{an}中，a1＝2，，∴an+1﹣an＝
∴an＝a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（an﹣an﹣1）
＝2+ln2+ ＝2+lnn，故2+ln10
故選：A
【例2】對于等差數(shù)列和等比數(shù)列，我國古代很早就有研究成果，北宋大科學(xué)家沈括在《夢溪筆談》中首創(chuàng)的“隙積術(shù)”，就是關(guān)于高階等差級數(shù)求和的問題.現(xiàn)有一貨物堆，從上向下查，第一層有2個貨物，第二層比第一層多3個，第三層比第二層多4個，以此類推，記第層貨物的個數(shù)為，則數(shù)列的通項公式_______，數(shù)列的前項和_______.
【解析】由題意可知，，，，，累加可得，
，
.
故答案為：；.
2.鞏固提升綜合練習(xí)
【練習(xí)1】在數(shù)列中，，則數(shù)列的通項 ________.
【解析】當(dāng)時，
，
，
當(dāng)也適用，所以.
【練習(xí)2】已知數(shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列滿足（），且，則數(shù)列的最大值為__________．
【解析】根據(jù)題意，數(shù)列 是首項為 ，公差為 的等差數(shù)列，則 ， ，對于數(shù)列 滿足 ，則有，數(shù)列的通項為： ，分析可得：當(dāng) 時，數(shù)列取得最大值，此時 ；故答案為：．
【練習(xí)3】兩千多年前，古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家曾經(jīng)在沙灘上研究數(shù)學(xué)問題，他們在沙灘上畫點或用小石子來表示數(shù)，按照點或小石子能排列的形狀對數(shù)進行分類，如圖2中的實心點個數(shù)1，5，12，22，…，被稱為五角形數(shù)，其中第1個五角形數(shù)記作，第2個五角形數(shù)記作，第3個五角形數(shù)記作，第4個五角形數(shù)記作，…，若按此規(guī)律繼續(xù)下去，得數(shù)列，則；對，．

【解析】因為，，，…………
所以
以上n個式子相加，得。

【四】累積法求通項
型如的遞推公式求通項可以使用累積法

1.例題
【例1】已知數(shù)列{an}滿足a1＝，an＋1＝an，求an.
【解析】由條件知＝，分別令n＝1,2,3，…，n－1，
代入上式得(n－1)個等式累乘之，
即··…＝×××…×，
∴＝，又∵a1＝，∴an＝.
2.鞏固提升綜合練習(xí)
【練習(xí)1】已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝2nan(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項公式為(　　)
A.an＝2n－1 B.an＝2n C. D.
【解析】由an＋1＝2nan，得＝2n，即··…＝21×22×23×…×2n－1，即＝21＋2＋3＋…＋(n－1)＝，故an＝a1＝.故選C.

【五】Sn法（項與和互化求通項）

已知Sn＝f(an)或Sn＝f(n)解題步驟：
第一步　利用Sn滿足條件p，寫出當(dāng)n≥2時，Sn－1的表達(dá)式；
第二步　利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)，求出an或者轉(zhuǎn)化為an的遞推公式的形式；
第三步　若求出n≥2時的{an}的通項公式，則根據(jù)a1＝S1求出a1，并代入{an}的通項公式進行驗證，若成立，則合并；若不成立，則寫出分段形式.如果求出的是{an}的遞推公式，則問題化歸為類型二.

1.例題
【例1】已知數(shù)列的前n項和，且，則 .
【解析】因為，所以，所以，
當(dāng)時，，不符合上式，所以
【例2】設(shè)數(shù)列的前項和，若，，則的通項公式為_____．
【解析】時，，化為：．
時，，解得．不滿足上式．
∴數(shù)列在時成等比數(shù)列．
∴時，．
∴．
故答案為： ．
【例3】設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則Sn＝__________.
【答案】－.
【解析】試題分析：因為，所以，所以，即，又，即，所以數(shù)列是首項和公差都為的等差數(shù)列，所以，所以．
2.鞏固提升綜合練習(xí)
【練習(xí)1】在數(shù)列{an}中，a1＝1，a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝an＋1(n∈N*)，求數(shù)列{an}的通項an.
【解析】　由a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝an＋1，得
當(dāng)n≥2時，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝an，
兩式作差得nan＝an＋1－an，得(n＋1)an＋1＝3nan(n≥2)，
即數(shù)列{nan}從第二項起是公比為3的等比數(shù)列，且a1＝1，a2＝1，于是2a2＝2，
故當(dāng)n≥2時，nan＝2·3n－2.
于是an＝
【練習(xí)2】記數(shù)列的前項和為，若，則數(shù)列的通項公式為______.
【解析】當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，，，兩式相減可得，，故，設(shè)，故，即，故.故數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，故，故.
故答案為：
【練習(xí)3】已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8.[來源:學(xué)科網(wǎng)ZXXK]
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和，bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
【解析】(1)由題設(shè)可知a1·a4＝a2·a3＝8，又a1＋a4＝9，
可解得或(舍去).
由a4＝a1q3得公比q＝2，故an＝a1qn－1＝2n－1.
(2)Sn＝＝＝2n－1，又bn＝＝＝－，
所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝－＝1－.
【練習(xí)4】設(shè)數(shù)列滿足．
（1）求的通項公式；
（2）求數(shù)列的前項和．
【解析】（1）由n＝1得，因為，
當(dāng)n≥2時，，
由兩式作商得：（n＞1且n∈N*），
又因為符合上式，[來源:Z。xx。k.Com]
所以（n∈N*）．
（2）設(shè)，
則bn＝n＋n·2n，
所以Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝（1＋2＋…＋n）＋
設(shè)Tn＝2＋2·22＋3·23＋…+（n－1）·2n－1＋n·2n，①
所以2Tn＝22＋2·23＋…（n－2）·2n－1＋（n－1）·2n＋n·2n＋1，②
①－②得：－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1，
所以Tn＝（n－1）·2n＋1＋2．
所以，
即．
【練習(xí)5】已知數(shù)列的前項和為，，．
（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
（2）若，設(shè)數(shù)列的前項和為，求.
【解析】（1）證明：因為當(dāng)時，，
所以． 所以，
因為，所以，所以，
所以．
所以是以為首項，以1為公差的等差數(shù)列．
（2）由（1）可得，所以.
∴
∴



【六】構(gòu)造法求通項
1.型如an＋1＝pan＋q(其中p，q為常數(shù)，且pq(p－1)≠0)可用待定系數(shù)法求得通項公式，步驟如下：
第一步　假設(shè)將遞推公式改寫為an＋1＋t＝p(an＋t)；
第二步　由待定系數(shù)法，解得t＝；
第三步　寫出數(shù)列的通項公式；
第四步　寫出數(shù)列{an}通項公式.
2.an＋1＝pan＋f(n)型
【參考思考思路】確定設(shè)數(shù)列列關(guān)系式
比較系數(shù)求，
解得數(shù)列的通項公式解得數(shù)列的通項公式


1.例題
【例1】已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，求an.
【解析】遞推公式an＋1＝2an＋3可以轉(zhuǎn)化為an＋1－t＝2(an－t)，即an＋1＝2an－t，則t＝－3.
故遞推公式為an＋1＋3＝2(an＋3).
令bn＝an＋3，則b1＝a1＋3＝4，且＝＝2.
所以{bn}是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列.
所以bn＝4×2n－1＝2n＋1，即an＝2n＋1－3.

【例2】已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝2an＋n，a1＝2，求數(shù)列{an}的通項公式.
【解析】令，即
解得，，所以數(shù)列以為首項，公比為2的等比數(shù)列。，即
【例3】已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝2an＋3×5n，a1＝6，求數(shù)列{an}的通項公式.
【解析】法一：設(shè)an＋1＋x×5n＋1＝2(an＋x×5n)，①
將an＋1＝2an＋3×5n代入①式，得2an＋3×5n＋x×5n＋1＝2an＋2x×5n，等式兩邊消去2an，得3×5n＋x×5n＋1＝2x×5n，兩邊除以5n，得3＋5x＝2x，則x＝－1，代入①式得an＋1－5n＋1＝2(an－5n).②
由a1－51＝6－5＝1≠0及②式得an－5n≠0，則＝2，則數(shù)列{an－5n}是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，則an－5n＝2n－1，故an＝2n－1＋5n.
法二：an＋1＝2an＋3×5n，即，[來源:Zxxk.Com]
令，所以
所以數(shù)列是以為首項，公比為的等比數(shù)列，
故an＝2n－1＋5n.
【例4】 已知數(shù)列滿足：，，則 （ ）
A． B． C． D．
【解析】數(shù)列滿足：，
是以為首項為公差的等差數(shù)列，
故答案為：B.

2.鞏固提升綜合練習(xí)
【練習(xí)1】已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝3an＋2，且a1＝1，則an＝________.
【解析】　設(shè)an＋1＋A＝3(an＋A)，化簡得an＋1＝3an＋2A.
又an＋1＝3an＋2，∴2A＝2，即A＝1.
∴an＋1＋1＝3(an＋1)，即＝3.
∴數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列，首項為a1＋1＝2，公比為3.
則an＋1＝2×3n－1，即an＝2×3n－1－1.
【練習(xí)2】已知數(shù)列{an}的首項為a1＝1，且滿足an＋1＝an＋，則此數(shù)列的通項公式an等于(　　)
A.2n B.n(n＋1) C. D.
【解析】　∵an＋1＝an＋，∴2n＋1an＋1＝2nan＋2，即2n＋1an＋1－2nan＝2.
又21a1＝2，∴數(shù)列{2nan}是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列，∴2nan＝2＋(n－1)×2＝2n，∴an＝.
【練習(xí)3】已知非零數(shù)列的遞推公式為,.
(1)求證數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)若關(guān)于的不等式有解,求整數(shù)的最小值；
(3)在數(shù)列中,是否一定存在首項、第項、第項,使得這三項依次成等差數(shù)列？若存在,請指出所滿足的條件；若不存在,請說明理由.
【解析】(1)由，得，
法一：即，
法二：由上，，
所以是首項為2，公比為2的等比數(shù)列．
(2)由(1)可得：，所以已知的不等式等價于
令，[來源:Z*xx*k.Com]
則，
所以單調(diào)遞增，則
，
于是，即，故整數(shù)的最小值為4.
(3)由上面得，則
要使成等差數(shù)列，只需，
即
因為，則上式左端；又因為上式右端
于是當(dāng)且僅當(dāng)，且為不小于4的偶數(shù)時，成等差數(shù)列．

【七】其他求通項方法
1.例題
【例1】 已知數(shù)列滿足,,則（ ）
A． B． C． D．
【解析】依題意，，，所以，所以數(shù)列是周期為的數(shù)列，且每項的積為，故，故選B.
【例2】若數(shù)列{an}中，a1＝3且an＋1＝a(n是正整數(shù))，則它的通項公式an為________________.
【解析】由題意知an>0，將an＋1＝a兩邊取對數(shù)得lg an＋1＝2lg an，即＝2，所以數(shù)列{lg an}是以lg a1＝lg 3為首項，2為公比的等比數(shù)列，lg an＝(lg a1)·2n－1＝.即an＝.
【例3】已知數(shù)列滿足遞推關(guān)系：，，則＝（　　）
A． B． C． D．
【解析】由得：，即
又，則，數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列
， ，本題正確選項：
2.鞏固提升綜合練習(xí)
【練習(xí)1】 已知數(shù)列{an}的前n項和是Sn，且滿足an＋1＝(n∈N*)，，則S2 017＝（ ）
【解析】∵an＋1＝(n∈N*)，
∴，，
.∴數(shù)列{an}是周期為3的周期數(shù)列.a1＋a2＋a3＝.∴S2 017＝672×＋＝.
【練習(xí)2】 在數(shù)列中，已知，，則_______，歸納可知_______．
【解析】∵，，∴，
由，取倒數(shù)得 ，得，
即數(shù)列是以公差的等差數(shù)列，首項為，則，
即
故答案為： (1). (2).
【八】特征根和不動點法求通項（自我提升）
一、形如是常數(shù)）的數(shù)列
形如是常數(shù)）的二階遞推數(shù)列都可用特征根法求得通項，其特征方程為…①
若①有二異根，則可令是待定常數(shù)）
若①有二重根，則可令是待定常數(shù)）
再利用可求得，進而求得．


1.例題
【例1】已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項．
【解析】其特征方程為，解得，令，
由，得， ．

【例2】已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項．
【解析】其特征方程為，解得，令，
由，得， ．[來源:學(xué).科.網(wǎng)]
2.鞏固提升綜合練習(xí)
【練習(xí)1】設(shè)為實數(shù)，是方程的兩個實根，數(shù)列滿足，，（…）．
（1）證明：，；
（2）求數(shù)列的通項公式；
（3）若，，求的前項和．
【解析】（1）由求根公式，不妨設(shè)，得
，
（2）設(shè)，則，由
得，，消去，得，是方程的根，
由題意可知，
①當(dāng)時，此時方程組的解記為

即、分別是公比為、的等比數(shù)列，
由等比數(shù)列性質(zhì)可得,,
兩式相減，得
，，
，
，即，
②當(dāng)時，即方程有重根，，
即，得，不妨設(shè)，由①可知
，，
即，等式兩邊同時除以，得，即
數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列，

綜上所述，
（3）把，代入，得，解得





二、形如的數(shù)列
對于數(shù)列，是常數(shù)且）
其特征方程為，變形為…②
若②有二異根，則可令（其中是待定常數(shù)），代入的值可求得值．
這樣數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，于是這樣可求得．
若②有二重根，則可令（其中是待定常數(shù)），代入的值可求得值．
這樣數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，于是這樣可求得．
此方法又稱不動點法．

1.例題
【例3】已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項．
【解析】其特征方程為，化簡得，解得，令
由得，可得，
數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，
，．

【例4】已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項．
【解析】其特征方程為，即，解得，令
由得，求得，
數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，，
．

2.鞏固提升綜合練習(xí)
【練習(xí)2】已知數(shù)列滿足：對于都有（1）若求（2）若求（3）若求（4）當(dāng)取哪些值時，無窮數(shù)列不存在？
【解析】作特征方程變形得
特征方程有兩個相同的特征根
(1)∵對于都有
(2)∵ ∴
令，得.故數(shù)列從第5項開始都不存在，
當(dāng)≤4，時，.
(3)∵∴ ∴
令則∴對于∴
(4)、顯然當(dāng)時，數(shù)列從第2項開始便不存在.由本題的第（1）小題的解答過程知，時，數(shù)列是存在的，當(dāng)時，則有令則得且≥2.
∴當(dāng)（其中且N≥2）時，數(shù)列從第項開始便不存在。
于是知：當(dāng)在集合或且≥2}上取值時，無窮數(shù)列都不存在。
【練習(xí)3】記
(1)求b1、b2、b3、b4的值；(2)求數(shù)列的通項公式及數(shù)列的前n項和
【解析】由已知,得,其特征方程為解之得,或
,
,



【練習(xí)4】各項均為正數(shù)的數(shù)列中，且對滿足的正整數(shù)
都有，當(dāng)．
【解析】由得
化間得，作特征方程，，。
所以 ， ， ．


1．已知正項數(shù)列中，，則數(shù)列的通項公式為（ ）
A． B． C． D．
【解析】由題意 ,又 ,所以 ,選B.

2．在數(shù)列－1，0，，…中，0.08是它的第________項．
【答案】10
【解析】令＝0.08，得2n2－25n＋50＝0，即(2n－5)(n－10)＝0.
解得n＝10或n＝ (舍去)．

3．在數(shù)列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋，則通項公式an＝________.
【解析】原遞推公式可化為an＋1＝an＋－，
則a2＝a1＋－，a3＝a2＋－，
a4＝a3＋－，…，an－1＝an－2＋－，an＝an－1＋－，逐項相加得an＝a1＋1－，
故an＝4－.
4．已知數(shù)列中，，，則該數(shù)列的通項_______.
【解析】,
在等式兩邊同時除以，得，
，,,,

,
累加得：，
，故答案為：
5．已知數(shù)列中，，則能使的的數(shù)值是（　 ?。?br /> A．14　 B．15　 C．16　 D．17
【解析】由題意得，
數(shù)列是周期為3的數(shù)列，所以．
6．已知數(shù)列滿足且．
（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）設(shè)數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項公式．
【解析】
（1）∵，∴
所以是首項為1公比為3的等比數(shù)列。
（2）由（1）可知，所以
因為，所以


……
，
所以




7．已知數(shù)列的前項和為，，．
（1）求；
（2）求證:．
【解析】（1）∵，∴，
兩式相減得，，∴，
∴
又，滿足上式．
∴．
（2）由（1）得．
∴

．

8．已知f(x)＝logmx(m＞0且m≠1)，設(shè)f(a1)，f(a2)，…，f(an)，…是首項為4，公差為2的等差數(shù)列，
求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列，并求．
【解析】證明　由題意知f(an)＝4＋2(n－1)＝2n＋2＝logman，
∴an＝m2n＋2，∴＝＝m2，
∵m＞0且m≠1，∴m2為非零常數(shù)，
∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列.由，所以，所以
9．已知數(shù)列滿足：，，.
（1）若存在常數(shù)，使得數(shù)列是等差數(shù)列，求的值；
（2）設(shè)，證明：.
【解析】（1），，，.
由題意可得，則，解得.
若，則由得，即得與矛盾，所以
.
所以，當(dāng)時，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列；
（2）由（1）知，，
，.
設(shè)，，
兩式相減得，
.
10．已知數(shù)列滿足：，.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）若數(shù)列滿足，求的前項和．
【解析】（1）令，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
當(dāng)，滿足.
∴.
所以的通項公式為.
（2）由（1）得，
，
，
所以的前項和.

11．?dāng)?shù)列，各項均為正數(shù)，其前項和為，且滿足.
（1）求證數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和，并求使對所有的都成立的最大正整數(shù)的值.
【解析】
（1）證明：，當(dāng)時，，
整理得，，
又，
數(shù)列為首項和公差都是的等差數(shù)列.
，
又，
時，，又適合此式
數(shù)列的通項公式為；
（2）解：


依題意有，解得，
故所求最大正整數(shù)的值為.

12．已知數(shù)列中，，其前項的和為，且當(dāng)時，滿足．
（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
（2）證明：．
【解析】（1）當(dāng)時，，，即
從而構(gòu)成以1為首項，1為公差的等差數(shù)列．
（2）由（1）可知，，．
則當(dāng)時．
故當(dāng)時

又當(dāng)時，滿足題意，故．
法二：則當(dāng)時，
那么
又當(dāng)時，，
故成立。
13．已知數(shù)列滿足：，
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）若數(shù)列滿足：，證明：是等差數(shù)列.
（3）證明：.
【解析】（1）∵，∴，
∴是以為首項，為公比的等比數(shù)列.
∴.即.
（2）證明：∵，∴，
∴，①
.②
②①，得，
即，③
.④
④③，得，即，∴，
∴是等差數(shù)列.
（3）證明：∵，
∴.①
∵，，
∴，②
綜上①，②得：.

14．在平面直角坐標(biāo)系中，點、和（為非零常數(shù)），滿足，數(shù)列｛｝的首項為=1，其前項和用表示.
（1）分別寫出向量和的坐標(biāo)；
（2）求數(shù)列｛｝的通項公式；
（3）請重新設(shè)計的、坐標(biāo)（點的坐標(biāo)不變），使得在的條件下得到數(shù)列｛｝，其中=．
【解析】（1）因為、和，所以，
因此，；
（2）因為，所以
因此
（3）
設(shè)、，則
因此，；
因此．

15．已知點是函數(shù)（且）的圖象上一點,等比數(shù)列的前項和為,數(shù)列的首項為,且前項和滿足．
(1)求數(shù)列和的通項公式；
(2)若數(shù)列前項和為,問使得成立的最小正整數(shù)是多少？
【解析】(1)∵,∴
,,
．
數(shù)列成等比數(shù)列，,所以．
公比,所以,．
∵
又,，∴．
數(shù)列構(gòu)成一個首相為1公差為1的等差數(shù)列,， ，
當(dāng),，
∴．
(2)

．
由得,滿足的最小正整數(shù)為67．