? 方法技巧專題14 導(dǎo)數(shù)與切線方程 解析版
一、導(dǎo)數(shù)與切線方程問(wèn)題知識(shí)框架

二、導(dǎo)數(shù)與切線方程問(wèn)題題型分析
【一】已知切點(diǎn)求切線
已知切點(diǎn)(x0 , y0)求切線方程
1. 表述：在某點(diǎn)處的切線方程，該點(diǎn)為切點(diǎn)。
2. 求切線方程的基本思路
（1） 求導(dǎo)：利用求導(dǎo)公式進(jìn)行求導(dǎo)f ’(x)
（2） 求k: 將切點(diǎn)的橫坐標(biāo)x0代入f ’(x0)=k
（3） 求線：利用點(diǎn)斜式y(tǒng)-y0=f ’(x0)(x-x0)
注意：如果切點(diǎn)的橫坐標(biāo)已知，求縱坐標(biāo)，可以將切點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入原函數(shù)（曲線）求縱坐標(biāo)。記得切點(diǎn)即在切線方程上也在原函數(shù)上。

1.例題
【例1】曲線在點(diǎn)處的切線方程是（ ）
A． B．
C． D．[來(lái)源:Zxxk.Com]
【答案】D
【解析】，選D.
【例2】函數(shù)的圖象在處的切線方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】當(dāng)x=1時(shí)，f(1)=-2+0=-2，所以切點(diǎn)為（1,-2）,
由題得，
所以切線方程為y+2=-1·(x-1),即：故選：A
【例3】已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，若曲線在處的切線為，則下列直線中與直線垂直的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】，令，則，即.，，所以的方程為，所以直線與直線垂直.選B.



2.鞏固提升綜合練習(xí)
【練習(xí)1】若函數(shù)f(x)=x2ln2x，則f(x)在點(diǎn)(12,0)處的切線方程為（ ）
A．y=0 B．2x-4y-1=0 C．2x+4y-1=0 D．2x-8y-1=0
【答案】B
【解析】由題得f'（x)=2xln2x+x2?1x=2xln2x+x，
所以切線的斜率k=f'（12)=12，
所以切線方程為y-0=12(x-12),∴2x-4y-1=0.故選：B[來(lái)源:學(xué)科網(wǎng)ZXXK]

【練習(xí)2】曲線在點(diǎn)處的切線方程為_____．
【答案】2ex﹣y﹣e＝0
【解析】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f （x）＝ex+xex，則f （1）＝e+e＝2e，即切線斜率k＝f （1）＝2e，又f（1）＝e，即切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，e）．所以切線方程為y﹣e＝2e（x﹣1），即切線方程為2ex﹣y﹣e＝0．故答案為：2ex﹣y﹣e＝0．

【練習(xí)3】曲線在點(diǎn)（0,1）處的切線方程為________.
【答案】
【解析】求導(dǎo)函數(shù)可得，y′＝（1+x）ex當(dāng)x＝0時(shí)，y′＝1
∴曲線在點(diǎn)（0，1）處的切線方程為y﹣1＝x，即．
故答案為：．

【二】過(guò)某點(diǎn)求切線
未知切點(diǎn)求切線方程
1.表述：過(guò)某點(diǎn)且與函數(shù)（曲線）相切的切線方程
2.求切線方程的基本思路
（1）判斷：判斷點(diǎn)是否在曲線上---將點(diǎn)代入曲線
①曲線等式成立即點(diǎn)在曲線上，那該點(diǎn)可能是切點(diǎn)可能不是切點(diǎn)，分類討論；一類該點(diǎn)是切點(diǎn)，參考以上一的求法求切線方程，一類不是切點(diǎn)，請(qǐng)參考下面的方法求切點(diǎn)。
②曲線等式不成立，即該點(diǎn)不是切點(diǎn)
（2）該點(diǎn)(x1 , y1)不是切點(diǎn)但在切線上時(shí)，求切線方程的思路
①設(shè)點(diǎn)：設(shè)切點(diǎn)(x0，y0)
②求x0：利用斜率的關(guān)系求切點(diǎn)橫坐標(biāo)k＝f′(x0)=y1-y0y1-x0和y0=f(x0)（即將切點(diǎn)代入原函數(shù)）聯(lián)立解x0
③求k: 利用k＝f′(x0)
④求線：利用點(diǎn)斜式y(tǒng)-y0=f ’(x0)(x-x0)或利用點(diǎn)斜式y(tǒng)-y1=f ’(x0)(x-x1)



1.例題
【例1】已知函數(shù)，則過(guò)（1,1）的切線方程為__________．
【答案】
【解析】 由函數(shù)，則，
當(dāng)點(diǎn)為切點(diǎn)時(shí)，則，即切線的斜率，
所以切線的方程為，即，
當(dāng)點(diǎn)不是切點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)，則，即，
解得或（舍去），所以[來(lái)源:學(xué)&科&網(wǎng)]
所以切線的方程為，即.
【例2】已知曲線f(x)=1x，則過(guò)點(diǎn)(-1,3)，且與曲線y=f(x)相切的直線方程為 。
【答案】y=-x+2或y=-9x-6
【解析】設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0),切線斜率k=f'(x0)=-1x02 ，
則切線方程是y-y0=-1x02(x-x0)，又過(guò)點(diǎn)(-1,3)，所以3-y0=-1x02(-1-x0)， ①
又y0=1x0，②由①②解得，x0=1y0=1 或x0=-13y0=-3 ，代入切線方程化簡(jiǎn)可得：
切線方程為x+y-2=0 或9x+y+6=0.

2.鞏固提升綜合練習(xí)
【練習(xí)1】過(guò)點(diǎn)p(-4,0)作曲線y=xex的切線，則切線方程為_______________________.
【答案】x+e2y+4=0
【解析】點(diǎn)p(-4,0)不為切點(diǎn)，可設(shè)出切點(diǎn)Mm,n，則n=mem，①
又y'=ex+xex，則切線斜率為k=1+mem=k=nm+4，②
由①②得，m=-2,n=-2e-2,k=-e-2，故切線方程為y-0=-e-2x+4，
即x+e2y+4=0，故答案為x+e2y+4=0.
【練習(xí)2】過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)(0,?0)作曲線y=ex的切線,則切線方程為________.
【答案】y=ex
【解析】因?yàn)閥=ex， 所以y'=ex,設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為m,em，
則切線斜率為em，切線方程為y-em=emx-m，
把原點(diǎn)坐標(biāo)代入切線方程可得m=1，
所以過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)(0,?0)作曲線y=ex的切線,則切線方程為y=ex,故答案為y=ex.

【三】利用切線求參數(shù)

1.例題
【例1】已知曲線在點(diǎn)處的切線與拋物線相切，則的值為（　?。?br /> A． B．或 C． D．
【答案】C
【解析】，當(dāng)時(shí)，切線的斜率，
切線方程為，因?yàn)樗c拋物線相切，
有唯一解即
故 ，解得，故選C.
【例2】已知函數(shù)f(x)=x+a2x.若曲線y=f(x)存在兩條過(guò)(1,0)點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是（ ）
A．(-∞,1)∪(2,+∞) B．(-∞,-1)∪(2,+∞)
C．(-∞,0)∪(2,+∞) D．(-∞,-2)∪(0,+∞)
【答案】D
【解析】f'x=1-a2x2，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x0,x0+a2x0），
則切線方程為y-x0-a2x0=(1-a2x02)(x-x0)，
又切線過(guò)點(diǎn)（1,0），可得-x0-a2x0=(1-a2x02)(1-x0)，
整理得2x02+2ax0-a=0，
曲線存在兩條切線，故方程有兩個(gè)不等實(shí)根，即滿足
Δ=4a2-8-a>0，解得a>0或a0，若x20,即1p=ex22-1x2在0，+∞有兩解，令f(x)=ex2-1x,f'x=ex2-1x2-1x2,00,∴fx在（0，2）單減，在（2，+∞）單增，fx的最小值為f2=12，又x→+∞,fx→+∞,x→0,fx→+∞,故1p>12,解00恰有三個(gè)公共點(diǎn)，這三個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)從小到大分別為x1,x2,x3，則x2-x1tanx1-x3=________.
【答案】-12
【解析】由題意，直線4kx-4y-kπ=0(k>0)可得y=k(x-π4)恒過(guò)定點(diǎn)（π4，0），即x2=π4
∵k＞0恰有三個(gè)公共點(diǎn)，
其直線必與（x）的相切，因?yàn)閒（x）關(guān)于（π4，0）對(duì)稱，所以x1+x3=π2．
∴x3=π2-x1，導(dǎo)函數(shù)幾何意義：f′（2x1）=-sin2x1=k
所以切線方程：y-cos2x1=-2sin2x1（x-x1） 過(guò)（π4，0）
所以2（π4-x1）tan2x1=1 ，x2-x1tan(x1-x3)=x1-π4tan(π2-2x1) =(x1-π4)tan2x1=-12
故答案為：-12
37．若直線y=kx+b是曲線y=lnx+2的切線，也是曲線y=ex的切線，則b=___________．
【答案】0或1
【解析】直線與y=lnx+2的切點(diǎn)為x1,y1，與y=ex的切點(diǎn)x2,y2．
故1x1=ex2且ex2-lnx1-2x2-x1=1x1，消去x2得到1+lnx11-1x1=0，
故x1=1e或x1=1，故x1=1ey1=1或x1=1y1=2，故切線為y=ex或y=x+1，所以b=0或者b=1．填0或1．
38．已知函數(shù)f(x)=3sinx+16x3在x=0處的切線與直線nx-y-6=0平行，則(x+1x-2)n的展開式中常數(shù)項(xiàng)為__________．
【答案】-20
【解析】由題意知，f'x=3cosx+12x2.由題意知f'0=n，即n=3.
x+1x-23=x-1x6，Tr+1=C6r?x6-x?-1r?x-r2=-1r?C6r?x3-r
保持展開式為常數(shù)項(xiàng)，即3-r=0,r=3. 即常數(shù)項(xiàng)為-13C63=-20.
故答案為：-20
39．若直線y=kx+b是曲線y=ex的切線，也是曲線y=ln(x+2)的切線，則k=___________．
【答案】1e或1
【解析】設(shè)y=kx+b與y=ex和y=ln(x+2)的切點(diǎn)分別為：x1，ex1，x2，lnx2+2
由導(dǎo)數(shù)幾何意義得：k=ex1=1x2+2，x2+2=1ex1
切線方程為：y-ex1=ex1x-x1
即y=ex1x-ex1?x1+ex1
或y-lnx2+2=1x2+2x-x2，即y=ex1x-ex1?x2+ lnx2+2y=ex1x-ex1?x2-x1ex11-x1=2ex1-1-x1
解得x1=-1，或x1=0
即k=1e或1
故答案為1e或1


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