方法技巧專題08 軌跡方程的求法-2022年高考數(shù)學(xué)滿分之路方法技巧篇-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

方法技巧專題8 軌跡方程問題解析版一、軌跡方程問題知識框架二、求軌跡方程的常用方法【一】定義法定義法：如果動點P的運動規(guī)律合乎我們已知的某種曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的定義，則可先設(shè)出軌跡方程，再根據(jù)已知條件，待定方程中的常數(shù)，即可得到軌跡方程。 1.例題【例1】已知的頂點A，B的坐標(biāo)分別為（-4，0），（4，0），C 為動點，且滿足求點C的軌跡。【解析】由可知，即，滿足橢圓的定義。令橢圓方程為，則，則軌跡方程為（，圖形為橢圓（不含左，右頂點）。【例2】一動圓與圓外切，同時與圓內(nèi)切，求動圓圓心的軌跡方程，并說明它是什么樣的曲線。【解析】設(shè)動圓圓心為，半徑為，設(shè)已知圓的圓心分別為、，將圓方程分別配方得：，，當(dāng)與相切時，有 ① 當(dāng)與相切時，有 ② 將①②兩式的兩邊分別相加，得，即 ③ 移項再兩邊分別平方得： ④ 兩邊再平方得：，整理得，所以，動圓圓心的軌跡方程是，軌跡是橢圓。【例3】已知A、B、C是直線l上的三點，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直線l于點A，又過B、C作⊙O′異于l的兩切線，設(shè)這兩切線交于點P，求點P的軌跡方程. 【解析】設(shè)過B、C異于l的兩切線分別切⊙O′于D、E兩點，兩切線交于點P. 由切線的性質(zhì)知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18＞6=|BC|，故由橢圓定義知，點P的軌跡是以B、C為兩焦點的橢圓，以l所在的直線為x軸，以BC的中點為原點，建立坐標(biāo)系，可求得動點P的軌跡方程為： 2.鞏固提升綜合練習(xí) 【練習(xí)1】已知圓的圓心為M1，圓的圓心為M2，一動圓與這兩個圓外切，求動圓圓心P的軌跡方程。【解析】設(shè)動圓的半徑為R，由兩圓外切的條件可得：，。 . ∴動圓圓心P的軌跡是以M1、M2為焦點的雙曲線的右支，c=4，a=2，b2=12。故所求軌跡方程為【練習(xí)2】一動圓與圓O：外切，而與圓C：內(nèi)切，那么動圓的圓心M的軌跡是（）拋物線 B. 圓 C. 橢圓 D. 雙曲線一支【解析】令動圓半徑為R，則有，則|MO|-|MC|=2，滿足雙曲線定義。故選D。【練習(xí)3】已知ΔABC中，?A,?B,?C所對應(yīng)的邊為a,b,c,且a>c>b，a,c,b成等差數(shù)列，|AB|=2,求頂點C的軌跡方程【解析】|BC|+|CA|=4>2,由橢圓的定義可知，點C的軌跡是以A、B為焦點的橢圓，其長軸為4，焦距為2, 短軸長為2, ∴橢圓方程為, 又a>b, ∴點C在y軸左側(cè)，必有x