我們學(xué)習(xí)過基本初等函數(shù),如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)、常數(shù)函數(shù),我們可以把這些函數(shù)進(jìn)行加、減、乘、除、乘方、開方等運(yùn)算得到新的函數(shù),還有一種構(gòu)造新函數(shù)的方法,那就是把兩個或幾個函數(shù)“復(fù)合”起來,怎樣“復(fù)合”呢,復(fù)合后的函數(shù)怎樣求導(dǎo)呢?本節(jié)課就讓我們來解決這些問題.
1.復(fù)合函數(shù)的概念一般地,對于兩個函數(shù)y=f(u)和u=g(x),如果通過中間變量u,y可以表示成x的函數(shù),那么稱這個函數(shù)為函數(shù)y=f(u)和u=g(x)的復(fù)合函數(shù),記作y=f(g(x)).2.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則一般地,對于由函數(shù)y=f(u)和u=g(x)復(fù)合而成的函數(shù)y=f(g(x)),它的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)y=f(u),u=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx'=yu'·ux',即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積.
名師點(diǎn)析求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)需處理好以下環(huán)節(jié):(1)中間變量的選擇應(yīng)是基本函數(shù)結(jié)構(gòu);(2)關(guān)鍵是正確分析函數(shù)的復(fù)合層次;(3)一般是從最外層開始,由外及里,一層層地求導(dǎo);(4)善于把一部分表達(dá)式作為一個整體;(5)最后要把中間變量換成關(guān)于自變量的函數(shù).
微思考函數(shù)y=lg2(x+1)是復(fù)合函數(shù)嗎?是由哪些函數(shù)復(fù)合而成的?提示:是,函數(shù)y=lg2(x+1)是由y=lg2u及u=x+1這兩個函數(shù)復(fù)合而成的.
微練習(xí)(1)函數(shù)y=sin 4x的導(dǎo)數(shù)為　　　　　　;?(2)函數(shù)y= 的導(dǎo)數(shù)為　　　　.?
求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):
分析:先分析每個復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成,再按照復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo).
解:(1)設(shè)y=u2,u=4-3x,則yu'=2u,ux'=-3,于是yx'=yu'·ux'=-6(4-3x)=18x-24,即y'=18x-24.
反思感悟1.解答此類問題常犯兩個錯誤:(1)不能正確區(qū)分所給函數(shù)是否為復(fù)合函數(shù);(2)若是復(fù)合函數(shù),不能正確判斷它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成.2.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的步驟:
變式訓(xùn)練1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).
復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)與導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則的綜合應(yīng)用例2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).
反思感悟此類問題出錯的主要因素一般有兩個:一是基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式記憶有誤;二是求導(dǎo)法則掌握不到位,尤其是對于積與商的求導(dǎo)法則中的符號問題出現(xiàn)混淆,導(dǎo)致運(yùn)算結(jié)果出現(xiàn)錯誤.對于復(fù)雜函數(shù)求導(dǎo),一般遵循先化簡再求導(dǎo)的原則,但要注意化簡過程中變換的等價性.
變式訓(xùn)練2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)y=(2x-1)3;(2)y=sin 2x+cs 2x;(3)y=ln2x.
解:(1)設(shè)y=u3,u=2x-1,則yu'=3u2,ux'=2,于是yx'=yu'·ux'=6(2x-1)2,即y'=6(2x-1)2;(2)y'=(sin 2x)'+(cs 2x)'=2cs 2x-2sin 2x;
導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的綜合應(yīng)用例3(1)曲線y=ln(2x-1)上的點(diǎn)到直線2x-y+3=0的最短距離是(　　)
(2)設(shè)曲線y=eax在點(diǎn)(0,1)處的切線與直線x+2y+1=0垂直,則a=　　　　　.?
求P(x0,y0)→由點(diǎn)到直線的距離求最小值(2)求y'→由y'|x=0=2求a的值
解析:(1)設(shè)曲線y=ln(2x-1)在點(diǎn)(x0,y0)處的切線與直線2x-y+3=0平行.
(2)令y=f(x),則曲線y=eax在點(diǎn)(0,1)處的切線的斜率為f'(0),又切線與直線x+2y+1=0垂直,所以f'(0)=2.因?yàn)閒(x)=eax,所以f'(x)=(eax)'=eax·(ax)'=aeax,所以f'(0)=ae0=a,故a=2.
答案:(1)A　(2)2
反思感悟?qū)?shù)綜合應(yīng)用的解題策略本題正確地求出復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是前提,審題時注意所給點(diǎn)是否是切點(diǎn),挖掘題目隱含條件,求出參數(shù),解決已知經(jīng)過一定點(diǎn)的切線問題,尋求切點(diǎn)是解決問題的關(guān)鍵.
延伸探究1本例(1)的條件變?yōu)椤扒€y=ln(2x-1)上的點(diǎn)到直線2x-y+m=0的最小距離為2 ”,求m的值.
即實(shí)數(shù)m的值為8或-12.
延伸探究2求本例(2)中曲線的切線與坐標(biāo)軸圍成的面積.
解:由題意可知,切線方程為y-1=2x,即2x-y+1=0.
等價轉(zhuǎn)化思想在導(dǎo)數(shù)幾何意義中的應(yīng)用典例已知點(diǎn)P是曲線y=f(x)=x2-ln x上任意一點(diǎn),求點(diǎn)P到直線y=x-2的距離的最小值.審題視角所求點(diǎn)P應(yīng)為與直線y=x-2平行的曲線y=x2-ln x的切線的切點(diǎn),此時最小距離應(yīng)為該切線與已知直線之間的距離,即切點(diǎn)到已知直線的距離,從而轉(zhuǎn)化為求曲線y=x2-ln x的斜率等于1的切線的切點(diǎn)坐標(biāo)問題,故可借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解.
解:由已知,可得當(dāng)點(diǎn)P是曲線y=f(x)的平行于直線y=x-2的切線的切點(diǎn)時,點(diǎn)P到直線y=x-2的距離最小.
方法點(diǎn)睛這類“求某曲線上任意一點(diǎn)到某已知直線的最小距離”問題,可結(jié)合圖形,利用等價轉(zhuǎn)化思想,將問題轉(zhuǎn)化為求曲線的平行于已知直線的切線的切點(diǎn)問題,從而借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解.其基本步驟與方法如下:(1)根據(jù)切線與已知直線平行,它們的斜率相等,得到切線的斜率.(2)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,由切線的斜率得到切點(diǎn)的橫坐標(biāo).(3)由切點(diǎn)在曲線上,求得切點(diǎn)的縱坐標(biāo),得到切點(diǎn)的坐標(biāo).(4)利用點(diǎn)到直線的距離公式求得最小距離.
變式訓(xùn)練點(diǎn)P是曲線y=-x2上任意一點(diǎn),則點(diǎn)P到直線y=x+2的最小距離為(　　)
解析:依題意知,點(diǎn)P就是曲線y=-x2上與直線y=x+2平行的切線的切點(diǎn).設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x0,y0),因?yàn)閥'=-2x,所以曲線在點(diǎn)P處的切線的斜率為k=-2x0.因?yàn)樵撉芯€與直線y=x+2平行,所以有-2x0=1,得
1.函數(shù)y=(x2-1)n的復(fù)合過程正確的是(　　)A.y=un,u=x2-1B.y=(u-1)n,u=x2C.y=tn,t=(x2-1)nD.y=(t-1)n,t=x2-1答案:A
2.(2020黑龍江大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期末)已知f(x)=sin 2x+e2x,則f'(x)=(　　)A.2cs 2x+2e2xB.cs 2x+e2xC.2sin 2x+2e2xD.sin 2x+e2x解析:因?yàn)閒(x)=sin 2x+e2x,所以f'(x)=2cs 2x+2e2x.故選A.答案:A
3.(2020福建高二期末)已知f(x)=ln(2x+1)-ax,且f'(2)=-1,則a=(　　)

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5.2 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

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