一輪大題專練9—導(dǎo)數(shù)（雙變量與極值點(diǎn)偏移問題1）1．已知定義在，上的函數(shù)．（1）若為定義域上的增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，，，為的極小值，求證：．解：（1）由，得，為，上的增函數(shù)，，，，設(shè)，，為減函數(shù)，，時為定義域上的增函數(shù)，故實(shí)數(shù)的取值范圍是，；（2）證明：，，，設(shè)，，為增函數(shù)，，，，，當(dāng)時，，遞減，當(dāng)，時，，遞增，為的極小值，設(shè)，，，，設(shè)，，，，，為增函數(shù)，，，為增函數(shù)，，，，，又，，，，即．2．已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)在的最大值；（Ⅱ）證明：函數(shù)在有兩個極值點(diǎn)，，并判斷與的大小關(guān)系．（Ⅰ）解：函數(shù)，所以，則，所以當(dāng)時，，故，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，所以在上有唯一的零點(diǎn)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，所以在上的最大值為；（Ⅱ）證明：，①當(dāng)時，單調(diào)遞增，又，，所以在有唯一的零點(diǎn)，此時當(dāng)時，，則單調(diào)遞減，當(dāng)時，，則單調(diào)遞減，故是極小值點(diǎn)，不妨設(shè)；②當(dāng)時，，所以，故在上單調(diào)遞增，故沒有極值點(diǎn)；③當(dāng)，，由（Ⅰ）知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，，故由唯一的零點(diǎn)，則當(dāng)時，，則單調(diào)遞減，當(dāng)，時，，則單調(diào)遞增，又，，所以在由唯一的零點(diǎn)，此時時，，則單調(diào)遞增，當(dāng)，時，，所以是極大值點(diǎn)，即，且，由于，所以，因?yàn)?/span>，所以，即．3．已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的增區(qū)間；（2）設(shè)，是函數(shù)的兩個極值點(diǎn)，且，求證：．解：（1）由題意得，令，則，①當(dāng)△，即時，在上恒成立，即的遞增區(qū)間是，②當(dāng)△，即時，或，即在，，遞增，綜上：時，的遞增區(qū)間是，時，的遞增區(qū)間是，，；（2），有2個極值點(diǎn)，，，是方程的兩個不相等的正實(shí)數(shù)根，從而△，，解得：，由，解得：，，且，令，且，則，故當(dāng)時，，故單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，故，要證，只要證，只要證明，，只要證明，令，則，，，即在，遞增，故（1），即，故，．4．已知函數(shù)在處的切線方程為．（1）求實(shí)數(shù)及的值；（2）若有兩個極值點(diǎn)，，求的取值范圍并證明．解：（1），切線方程為，，，又，；（2）由（1）可知，則，，當(dāng)時，，在遞增，沒有極值點(diǎn)，當(dāng)時，令，其對稱軸方程為，△，①若時，△，此時，在上遞減，沒有極值點(diǎn)，②若時，△，由，即，則的兩根為，，不妨設(shè)，由，（1），，故，，，，的變化如下：，，0000遞減極小值遞增極大值遞減綜上，的取值范圍是，，此時，，故，由，，得，故．5．已知函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)的最大值不小于0．（1）求的值；（2）若，求證：．（1）解：因?yàn)?/span>為單調(diào)減函數(shù)，所以恒成立，所以在上恒成立，由于當(dāng)時，，所以，解得，因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值為，由題意可得，，解得，綜上可得，的值為；（2）證明：由（1）可知，，所以，因?yàn)?/span>，且在上單調(diào)遞減，可設(shè)，令，，所以，所以在，上單調(diào)遞減，所以（1）（1），故，，因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>為上的單調(diào)遞減函數(shù)，所以，故．6．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程；（2）若函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，，求證：．解：（1）當(dāng)時，，則，所以（1），又（1），所以切線方程為，即．（2）證明：由題意得，則，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個極值點(diǎn)，，所以有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，，令，則，①當(dāng)時，恒成立，則函數(shù)為上的增函數(shù)，故在上至多有一個零點(diǎn)，不符合題意；②當(dāng)時，令，得，當(dāng)，時，，故函數(shù)在，上單調(diào)遞減；當(dāng)，時，，故函數(shù)在，上單調(diào)遞增，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，，所以，得，不妨設(shè)，則，，又，所以，，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，可得，即，又，是函數(shù)的兩個零點(diǎn)，即，所以，因?yàn)?/span>，所以，又，函數(shù)在，上單調(diào)遞減，所以，即，又，所以，因此．

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