二輪大題專練24—圓錐曲線（拋物線：最值范圍問題）1．已知拋物線的焦點為．（1）求上縱坐標為4的點到焦點的距離；（2）若斜率為2的直線與交于、兩點，且達到最小值，求直線的方程；（3）設是的一條弦且，求線段中點橫坐標的最小值．解：（1）拋物線的焦點，準線方程為，可得，點到焦點的距離為；（2）設直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，可得，由△，可得，設，，，，可得，，，則，當時，達到最小值，所以直線的方程為；（3）設直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，可得，設，的縱坐標分別為，，可得，，且△，即，由，可得，則，可得線段中點橫坐標，當時，，當且僅當，取得等號；當時，令，由在遞增，可得的最小值為．綜上可得，時，所求最小值為；時，所求最小值為．2．如圖，已知點，，是拋物線上的三個不同的點，且是以點為直角頂點的等腰直角三角形．（Ⅰ）若直線的斜率為1，求頂點的坐標；（Ⅱ）求三角形的面積的最小值．解：（1）直線的斜率為1，直線的傾斜角為，即，又是以點為直角頂點的等腰直角三角形，，直線與軸平行，由拋物線的對稱性知，點為原點，．（2）由對稱性知，不妨設點在軸的右側(cè)（包括軸），且，，，，，則，設直線的斜率為，則直線的斜率為，直線的方程為，聯(lián)立，得，，，，同理可得，，，，化簡可得，，的面積，當且僅當時，等號成立，故三角形的面積的最小值為1．3．如圖，已知是直線上的動點，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，，與軸分別交于，．（1）求證：直線過定點，并求出該定點；（2）設直線與軸相交于點，記，兩點到直線的距離分別為，；求當取最大值時的面積．解：（1）證明：設過點與拋物線相切的直線方程為：，由，因為相切，所以，設，是該方程的兩根，由韋達定理得：，，分別表示切線，斜率的倒數(shù)，且每條切線對應一個切點，所以切點所以直線為：，直線方程為：，所以過定點．（2）方法一由（1）知，由（1）知點坐標為，，所以直線方程為：，即：，，分居直線兩側(cè)，，，當且僅當，又由，令得：，；方法二：因為，由（1）知點坐標為，，又由（1）知直線方程為：，，當且僅當取到等號，又由，令得：，．4．已知拋物線的焦點為，且點，是拋物線上的動點，過作圓的兩條切線，分別交拋物線于，兩點．（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）當直線垂直于直線時，求實數(shù)的取值范圍．（Ⅰ）拋物線的焦點為，，則，拋物線方程為；（Ⅱ）設，，，，由題意知，，不與軸垂直，設，，由，得，則，得，同理可得，，由直線與圓相切，可得，得，則，又，，，，即，將代入，化簡有：，即，，，即，得．實數(shù)的取值范圍是，．5．已知橢圓的右頂點與的焦點重合．且橢圓的離心率為，過的右焦點且垂直于軸的直線截所得的弦長為．（1）求橢圓和拋物線的標準方程；（2）過點作兩條互相垂直的直線，，直線與橢圓交于兩點，，直線與直線交于點，求的取值范圍．解：（1）設橢圓的焦距為，實軸長為，由題意得，則，將代入得，即，所以，由，得，，，，因此橢圓方程為，拋物線的方程為．（5分）（2）設直線的方程為，，，，，由，得，故，，，當時，直線的方程為，令，得，，，令，，在上是增函數(shù)，，即，當時，，，，，，綜上的取值范圍是，．（12分）6．已知拋物線的頂點在原點，焦點在軸上，點在拋物線上，且．（1）求拋物線的方程；（2）已知圓交拋物線與，兩點，過劣弧上一點作圓的切線交拋物線與，兩點，求的取值范圍．解：（1）設拋物線的方程為，將坐標代入方程得，①又，②由①，②解得，所以拋物線的方程為．（2）由題意可得、兩點坐標分別為，當直線斜率不存在時，，當直線斜率存在時，設直線的方程為，，，，，由直線與圓相切，得，即，且，所以，在劣弧上，所以，由圖象的對稱性不妨研究，聯(lián)立，化簡得，有韋達定理得，由拋物線的定義可得，設，，，，所以，所以．（15分） 

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