二輪大題專(zhuān)練26—圓錐曲線(xiàn)（拋物線(xiàn)：定值定點(diǎn)問(wèn)題）1．已知點(diǎn)，，拋物線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于，兩點(diǎn)，直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于另一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求；（2）證明：直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)．解：（1）設(shè)點(diǎn)，，，，由題意，設(shè)直線(xiàn)，由得，△，，又，．（2）證明：設(shè)，，直線(xiàn)的斜率為，直線(xiàn)的斜率為，直線(xiàn)的斜率為，，，三點(diǎn)共線(xiàn)，，，即，，即，，，，即，，直線(xiàn)的方程是，即，，由式可知，代入上式，得，令，解得，直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)．2．已知直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于，兩點(diǎn)，滿(mǎn)足．定點(diǎn)，，是拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)，與拋物線(xiàn)的另一個(gè)交點(diǎn)分別是，．（1）求拋物線(xiàn)的方程；（2）求證：當(dāng)點(diǎn)在拋物線(xiàn)上變動(dòng)時(shí)（只要點(diǎn)、存在且不重合），直線(xiàn)恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)；并求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)．解：（1）設(shè)，，，，聯(lián)立，整理可得：，所以可得，，進(jìn)而可得，由，可得：，即，可得，所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為：；（2）證明：設(shè)，，，，，，由，，三點(diǎn)共線(xiàn)可得，，即，整理可得：，所以，同理可得，，三點(diǎn)共線(xiàn)，，所以直線(xiàn)的方程：，整理可得：，將，的值代入直線(xiàn)方程可得：，所以解得：，所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)． 3．已知曲線(xiàn)上的任意一點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線(xiàn)的距離小1．（Ⅰ）求曲線(xiàn)的方程；（Ⅱ）若不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，以線(xiàn)段為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，求證：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)．解：（Ⅰ）因?yàn)榍€(xiàn)上的任意一點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線(xiàn)的距離小1，所以曲線(xiàn)上的任意一點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線(xiàn)的距離相等，所以曲線(xiàn)為以為焦點(diǎn)，直線(xiàn)為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，即，所以曲線(xiàn)的方程為．（Ⅱ）證明：根據(jù)題意設(shè)直線(xiàn)方程為，，，，，聯(lián)立，可得，所以，，，因?yàn)橐跃€(xiàn)段為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，所以，所以，，，即（舍去）或，所以直線(xiàn)的方程為，即，所以直線(xiàn)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．4．已知曲線(xiàn)上的任意一點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線(xiàn)的距離相等．（Ⅰ）求曲線(xiàn)的方程；（Ⅱ）若不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，且．求證：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)．（Ⅰ）解：因?yàn)榍€(xiàn)上的任意一點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線(xiàn)的距離相等，根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可知，曲線(xiàn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，直線(xiàn)為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，故曲線(xiàn)的方程為；（Ⅱ）證明：設(shè)直線(xiàn)，，，，，聯(lián)立方程組，可得，所以，，所以，，，因?yàn)榫€(xiàn)段為直線(xiàn)的圓過(guò)點(diǎn)，所以為直角三角形，故有，所以，化簡(jiǎn)可得，又因?yàn)?/span>，，所以，所以，因?yàn)?/span>，，所以，所以，解得或，因?yàn)橹本€(xiàn)不過(guò)原點(diǎn)，所以，故，所以直線(xiàn)，令，則，所以直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)．5．已知拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為4．（1）求，的值；（2）設(shè)，是拋物線(xiàn)上分別位于軸兩側(cè)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)．求證：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．（1）解：由拋物線(xiàn)定義得，，所以?huà)佄锞€(xiàn)方程為，代入點(diǎn)，可解得，故；；（2）解：設(shè)直線(xiàn)的方程為，，，聯(lián)立，消得：，則，，由得：，所以：或（舍去），即，所以直線(xiàn)的方程為，所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)．6．已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，是拋物線(xiàn)上異于點(diǎn)的兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)時(shí)，的最小值為8．（1）求拋物線(xiàn)的方程；（2）若，證明：直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)．（1）解：拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，若直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，則直線(xiàn)的斜率一定不為0，不妨設(shè)直線(xiàn)的方程為，對(duì)于拋物線(xiàn)方程，可得，設(shè)，，，，則，，所以，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為，所以，所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為．（2）證明：設(shè)直線(xiàn)的方程為，，，，，聯(lián)立，得，由題意△，所以，，因?yàn)?/span>，所以，所以不符合題意，舍去），所以直線(xiàn)的方程為，所以直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)．7．已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)與圓的圓心重合．（Ⅰ）求拋物線(xiàn)的方程；（Ⅱ）與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)為，點(diǎn)，為上兩點(diǎn)，且，分別為直線(xiàn)，的斜率），過(guò)點(diǎn)作，為垂足．證明：存在定點(diǎn)，使得為定值．解：（Ⅰ）即，可得圓心的坐標(biāo)為，即有拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，即，可得，則拋物線(xiàn)的方程為；（Ⅱ）證明：由題意可得，當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，由題意可得的斜率不為0，設(shè)直線(xiàn)的方程為，，，，，聯(lián)立，消去可得，△，故，則，，消去可得，△，故，則，，因?yàn)?/span>，所以，整理可得，即，即，即，整理可得，即，由題意可得不過(guò)點(diǎn)，故，所以，則直線(xiàn)的方程為，所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)；當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在，設(shè)方程為，則，，，由可得，即，解得，也過(guò)定點(diǎn)，綜上可得，直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)．取的中點(diǎn)，則，此時(shí)始終有為定值．8．已知圓的方程為，直線(xiàn)的方程為，點(diǎn)為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，是圓的一條切線(xiàn)為切點(diǎn)），并且點(diǎn)到直線(xiàn)的距離恰好等于切線(xiàn)長(zhǎng)．（Ⅰ）求點(diǎn)的軌跡方程；（Ⅱ）已知直線(xiàn)的方程為，過(guò)直線(xiàn)上一點(diǎn)作（Ⅰ）中軌跡的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別是，兩點(diǎn)，證明：直線(xiàn)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，過(guò)點(diǎn)做圓的切線(xiàn)，則切線(xiàn)長(zhǎng)，由題意可得，整理可得，所以點(diǎn)的軌跡方程：；（Ⅱ）證明：設(shè)直線(xiàn)的方程為：，設(shè)，，，，聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的方程：，整理可得：，則，由可得，所以，所以在點(diǎn)的切線(xiàn)方程為：，即，同理可得在點(diǎn)切線(xiàn)方程為，，解得，由題意可得兩條切線(xiàn)的交點(diǎn)在上，所以，即，代入直線(xiàn)的方程：，所以直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，且定點(diǎn)的坐標(biāo)為． 

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