?專題22 圓錐曲線中的定點、定值、定直線問題 微點2 圓錐曲線中的定值問題
專題22 圓錐曲線中的定點、定值、定值線問題
微點2 圓錐曲線中的定值問題
【微點綜述】
在解析幾何中，有些幾何量，如斜率、距離、面積、比值、角度等基本量與參變量無關(guān)，這類問題統(tǒng)稱為定值問題.對學生邏輯思維能力計算能力等要求很高，這些問題重點考查學生方程思想、函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應用.
一、探索圓錐曲線的定值問題常見方法有兩種：
解決定值問題的基本方法是函數(shù)方法.可以用變量表示題目中的點的坐標、直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等.對于定值問題，有時也可以從特殊情況出發(fā)，確定所要證明的具體定值.也可以根據(jù)要分析的結(jié)論直接驗算化簡，利用方程組、韋達定理、點在曲線上（點的坐標滿足曲線的方程）等條件，分析變量之間的關(guān)系，并確定消參的思路，可以將要求解的量看作某個變量的函數(shù)，化簡消去變量即得定值.
①從特殊入手，先根據(jù)特殊位置和數(shù)值求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；
②直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.
解答的關(guān)鍵是認真審題，理清問題與題設(shè)的關(guān)系，建立合理的方程或函數(shù)，利用等量關(guān)系統(tǒng)一變量，最后消元得出定值.
二、?？碱}型例析
（一）與斜率有關(guān)的定值問題
例1.
（2022全國）
1．已知橢圓，拋物線與橢圓有相同的焦點，拋物線的頂點為原點，點是拋物線的準線上任意一點，過點作拋物線的兩條切線PA、PB，其中A、B為切點，設(shè)直線PA，PB的斜率分別為，.

（1）求拋物線的方程及的值；
（2）若直線AB交橢圓于C、D兩點，、分別是、的面積，求的最小值.
例2
（2022安徽合肥·高三月考）
2．已知拋物線上的動點M到直線的距離比到拋物線E的焦點F的距離大.
（1）求拋物線E的標準方程；
（2）設(shè)點Q是直線上的任意一點，過點P（1，0）的直線l與拋物線E交于A?B兩點，記直線AQ?BQ?PQ的斜率分別為，證明：為定值.
（二）與面積有關(guān)的定值問題
例3
（2022安徽高三月考）
3．已知橢圓的離心率為，過點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設(shè)點、分別是橢圓的左頂點和上頂點，、為橢圓上異于、的兩點，滿足，求證：面積為定值．
例4
（2022廣東高三月考）
4．已知雙曲線的左?右焦點分別為，雙曲線C的右頂點A在圓上，且.
（1）求雙曲線C的標準方程；
（2）動直線與雙曲線C恰有1個公共點，且與雙曲線C的兩條漸近線分別交于點M?N，問為坐標原點)的面積是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，試說明理由.
（三）與線段關(guān)系、距離有關(guān)的定值問題
例5
5．已知直線與橢圓相交于、兩點，是橢圓上一點
(1)當時，求面積的最大值；
(2)設(shè)直線和與軸分別相交于點、，為原點．證明：為定值．
例6
（2022全國高三月考）
6．在平面直角坐標系中，焦點在軸上的橢圓和雙曲線有共同的頂點（2，0），且雙曲線的焦點到漸近線的距離為，雙曲線的漸近線與橢圓的一個公共點的橫坐標為．
(1)求雙曲線的離心率；
(2)求橢圓的方程；
(3)過橢圓的左焦點作直線（直線的斜率不為零）與橢圓交于，兩點，弦的垂直平分線交軸于點，求證：為定值．
例7
（2022安徽安慶·高三月考）
7．已知橢圓：的離心率，直線經(jīng)過橢圓的左焦點.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若不經(jīng)過右焦點的直線：與橢圓相交于，兩點，且與圓：相切，試探究的周長是否為定值，若是求出定值；若不是請說明理由.
（四）與向量有關(guān)的定值問題
例8
（2022江西上饒市·高三二模）
8．如圖，在平面直角坐標系中，為半圓的直徑，為圓心，且，，為線段的中點；曲線過點，動點在曲線上運動且保持的值不變.

（1）求曲線的方程；
（2）過點的直線與曲線交于?兩點，與所在直線交于點，，，求證：為定值.
例9
（2022寧波市北侖中學高三開學考試）
9．如圖，已知，直線，是平面上的動點，過點P作l的垂線，垂足為點Q，且．

（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）過點F的直線交軌跡C于A、B兩點，交直線l于點M；
①已知，求的值；
②求的最小值．
（五）與角度有關(guān)的定值問題
例10
10．雙曲線C：（a＞0，b＞0）的左頂點為A，右焦點為F，動點B在C上，當BF⊥AF時，|AF|＝|BF|.
(1)求C的離心率；
(2)若B在第一象限，證明：∠BFA＝2∠BAF.
（六）與坐標關(guān)系有關(guān)的定值問題
例11
11．已知P為圓：上一動點，點坐標為，線段的垂直平分線交直線于點Q.
（1）求點Q的軌跡方程；
（2）已知，過點作與軸不重合的直線交軌跡于兩點，直線分別與軸交于兩點.試探究的橫坐標的乘積是否為定值，并說明理由.
例12
12．已知直線與拋物線交于，兩點，且，過橢圓的右頂點的直線l交于拋物線于，兩點.

（1）求拋物線的方程；
（2）若射線，分別與橢圓交于點，，點為原點，，的面積分別為，，問是否存在直線使？若存在求出直線的方程，若不存在，請說明理由；
（3）若為上一點，，與軸相交于，兩點，問，兩點的橫坐標的乘積是否為定值？如果是定值，求出該定值，否則說明理由.
（七）與參數(shù)有關(guān)的定值問題
例13
（2022湖北武漢·高三開學考試）
13．已知橢圓：的離心率為，點是橢圓短軸的一個四等分點.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設(shè)過點A且斜率為的動直線與橢圓交于，兩點，且點，直線，分別交：于異于點的點，，設(shè)直線的斜率為，求實數(shù)，使得，恒成立.
例14.
14．已知橢圓：的左、右焦點分別為，，點，直線的傾斜角為60°，原點到直線的距離是．
（1）求的方程；
（2）過上任一點作直線，分別交于，（異于的兩點），且，，探究是否為定值？若是，求出定值；若不是，請說明理由．
【強化訓練】
15．已知橢圓上的點到它的兩個焦點的距離之和為4，以橢圓C的短軸為直徑的圓O經(jīng)過這兩個焦點，點A，B分別是橢圓C的左、右頂點.
(1)求圓O和橢圓C的方程；
(2)已知P，Q分別是橢圓C和圓O上的動點（P，Q位于y軸兩側(cè)），且直線PQ與x軸平行，直線AP，BP分別與y軸交于點M，N.求證：為定值.
16．已知橢圓C的兩個頂點分別為A(?2,0)，B(2,0)，焦點在x軸上，離心率為．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）點D為x軸上一點，過D作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點M，N，過D作AM的垂線交BN于點E.求證：△BDE與△BDN的面積之比為4:5．
17．已知橢圓：（）的離心率為，，，，的面積為1.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)是橢圓上一點，直線與軸交于點，直線與軸交于點，求證：為定值.
（2022湖北高三開學考試）
18．在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C∶（a>b>0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，是C上一點，且PF2與x軸垂直.
（1）求橢圓C的方程；
（2）若過點的直線l交C于A，B兩點，證明∶為定值.
（2022雙峰縣第一中學高三開學考試）
19．橢圓的右頂點為A，上頂點為B，O為坐標原點，直線的斜率為，的面積為1．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）橢圓上有兩點M，N（異于橢圓頂點，且MN與x軸不垂直），證明：當?shù)拿娣e最大時，直線與的斜率之積為定值．
（2022永州市第四中學高三月考）
20．已知直線與是分別過橢圓的左，右焦點的兩條相交但不重合的動直線．與橢圓相交于點A，B，與橢圓相交于點C，D，O為坐標原點．直線的斜率分別為，且滿足．
（1）若與x軸重合．．試求橢圓E的方程：
（2）在（1）的條件下，記直線．試問：是否存在定點M，N，使得為定值？若存在．求出定值和定點M，N的坐標：若不存在，請說明理由．
（2022渝中·重慶巴蜀中學高三月考）
21．已知橢圓經(jīng)過點，點為橢圓的上頂點，且直線與直線相互垂直.
（1）求橢圓的方程；
（2）若不垂直軸的直線過橢圓的右焦點，交橢圓于兩點在軸上方)，直線分別與軸交于兩點，為坐標原點，求證：.
（2022沙坪壩·重慶八中）
22．在平面直角坐標系中，設(shè)點是橢圓上一點，以M為圓心的一個半徑的圓，過原點作此圓的兩條切線分別與橢圓C交于點P、Q.

（1）若點M在第一象限且直線互相垂直，求圓M的方程；
（2）若直線的斜率都存在，且分別記為.求證：為定值；
（3）探究是否為定值，若是，則求出的最大值；若不是，請說明理由.
（2022沙坪壩·重慶南開中學）
23．已知橢圓的左右焦點為、，離心率，過圓上一點Q（Q在y軸左側(cè)）作該圓的切線，分別交橢圓E于A、B兩點，交圓于C、D兩點（如圖所示）．當切線與x軸垂直時，的面積為．

（1）求橢圓E的標準方程；
（2）（?。┣蟮拿娣e的最大值；
（ⅱ）求證：為定值，并求出這個定值．
（2022上海高三模擬預測）
24．已知橢圓的一焦點與短軸的兩個端點組成的三角形是等邊三角形，直線與橢圓的兩交點間的距離為8.

（1）求橢圓的方程；
（2）如圖，設(shè)是橢圓上的一動點，由原點向圓引兩條切線，分別交橢圓于點，，若直線，的斜率均存在，并分別記為，，求證：為定值；
（3）在（2）的條件下，試問是否為定值？若是，求出該值；若不是，請說明理由.
（2021全國高考真題）
25．在平面直角坐標系中，已知點、，點的軌跡為.
（1）求的方程；
（2）設(shè)點在直線上，過的兩條直線分別交于、兩點和，兩點，且，求直線的斜率與直線的斜率之和.
（2022江蘇淮安·高三三模）
26．已知雙曲線的離心率為2，F(xiàn)為雙曲線C的右焦點，M為雙曲線C上的任一點，且點M到雙曲線C的兩條漸近線距離的乘積為，
(1)求雙曲線C的方程；
(2)設(shè)過點F且與坐標軸不垂直的直線l與雙曲線C相交于點P，Q，線段PQ的垂直平分線與x軸交于點B，求的值．
（2022安徽蚌埠·高三開學考試）
27．已知拋物線的焦點為，點為坐標原點，直線過定點（其中，）與拋物線相交于兩點（點位于第一象限.

（1）當時，求證：；
（2）如圖，連接并延長交拋物線于兩點，，設(shè)和的面積分別為和，則是否為定值？若是，求出其值；若不是，請說明理由.
（2022山東高三三模）
28．已知三點，為曲線上任意一點，滿足．
（1）求曲線的方程；
（2）已知點，為曲線上的不同兩點，且，，為垂足，證明：存在定點，使為定值．


參考答案：
1．（1）拋物線的方程為：， ；
（2）最小值為.
【分析】（1）依題意得拋物線的焦點坐標為，進而可得其方程為；設(shè)過點與拋物線相切的直線方程為（），代入，由得，進而可得；
（2）先證得直線恒過定點，且斜率不為零，故設(shè)直線的方程為，將其與拋物線聯(lián)立，由弦長公式求得，再將其與橢圓聯(lián)立，由弦長公式求得，進而得，從而可得結(jié)果.
【詳解】（1）依題意可得拋物線的焦點坐標為，又拋物線的頂點為原點，所以拋物線的方程為.
設(shè)，過點與拋物線相切的直線方程為（），將其代入得，
由得，即，所以.
（2）設(shè)，，由（1）知，，即，，
則以為切點的切線方程為，即，
同理，以為切點的切線方程為，
因為兩切線均過點，所以，，
則切點弦的方程為，所以直線恒過定點.
設(shè)點到直線的距離為，則，
因為直線恒過定點，且斜率不為零，故設(shè)直線的方程為.
聯(lián)立得，則，
則；
聯(lián)立得，設(shè)，，則，
則，
則，
故當時，有最小值.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：第（2）問的關(guān)鍵點是：證得直線恒過定點.
2．（1）；（2）證明見解析.
【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義求解即可；
（2）設(shè)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程得出韋達定理，再表達出關(guān)于坐標的表達式，結(jié)合韋達定理化簡即可
【詳解】（1）由題意可知拋物線E的準線方程為
所以，即，故拋物線E的標準方程為
（2）證明：設(shè)
因為直線的斜率為顯然不為0，故可設(shè)直線的方程為
聯(lián)立，消去得
所以
又





所以，（定值）
3．（1）；（2）證明見解析．
【分析】（1）根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、、的方程組，結(jié)合這三個量的值，由此可得出橢圓的標準方程；
（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)直線的方程為，將這兩條直線分別與橢圓的方程聯(lián)立，求出點、的坐標，求出以及點到直線的距離，利用三角形的面積公式可求得結(jié)果.
【詳解】（1）由已知條件可得，解得，
即橢圓的標準方程為；
（2）設(shè)、，由題意直線、的斜率存在，

設(shè)直線的方程為①，設(shè)直線的方程為②，
由（1）橢圓③，
聯(lián)立①③得，
解得，即，
聯(lián)立②③，得，所以，，即，
易知，
直線的方程為，點到直線的距離為，
所以，
故面積為定值．
【點睛】方法點睛：求定值問題常見的方法有兩種：
（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；
（2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．
4．（1）；（2）是定值，定值2.
【分析】（1）由題得關(guān)于的方程組，解方程組即得解；
（2）先證明當直線的斜率在存在時，2；當直線的斜率存在時，設(shè)其方程為，顯然，聯(lián)立直線和雙曲線的方程得到，設(shè),求出即得解.
【詳解】解：（1）設(shè)雙曲線C的半焦距為c，
由點在圓上，得，
由-2，得，
所以，
所以雙曲線C的標準方程為.
（2）設(shè)直線與軸相交于點D，雙曲線C的漸近線方程為
當直線的斜率在存在時，直線為，得2
當直線的斜率存在時，設(shè)其方程為，顯然，則
把直線的方程與聯(lián)立得
由直線與軌跡C有且只有一個公共點，且與雙曲線C的兩條漸近線分別相交可知直線與雙曲線的漸近線不平行，所以，且，
于是得,
得，得或,
設(shè),
由，得,
同理得,
所以
綜上，的面積恒為定值2.
【點睛】方法點睛：定值問題的處理常見的方法有：（1）特殊探究，一般證明.（2）直接求題目給定的對象的值，證明其結(jié)果是一個常數(shù).
5．(1)
(2)證明見解析

【分析】（1）將代入橢圓方程，求出，求出點到直線的距離的最大值，進而可求得面積的最大值；
（2）設(shè)、兩點坐標分別為、，設(shè)，則，，求出點、的坐標，結(jié)合橢圓方程可計算得出為定值.
（1）
解：當時，將代入，解得，．
當為橢圓的頂點時，到直線的距離取得最大值，
面積的最大值是．
（2）
證明：設(shè)、兩點坐標分別為、，從而．
設(shè)，則有，，．
直線的方程為，令，得，從而．
直線的方程為，令，得，從而．
所以，
為定值．
6．(1)2；(2)；(3)證明見解析.
【分析】(1)根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)即可求解；(2)根據(jù)題意并結(jié)合雙曲線的漸近線方程即可求解；(3)設(shè)出直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)韋達定理求出點，的橫坐標關(guān)系，即可證明．
【詳解】（1）設(shè)雙曲線的方程為，
由題可得.
因為雙曲線的焦點到漸近線的距離為，
所以，
所以雙曲線的離心率．
（2）由已知可設(shè)橢圓的方程為，由(1)可知雙曲線的漸近線方程為．因為雙曲線的漸近線與橢圓的一個公共點的橫坐標為，所以代入漸近線方程可得，，
代入橢圓的方程可得，所以橢圓的方程為．
（3）證明：由已知可得，橢圓的左焦點，直線的斜率不為零．
設(shè)直線，直線與橢圓的交點，，
的中點，
聯(lián)立消去并化簡得，
，
，，
則，．
直線的方程為，則，
所以，
所以，即為定值．
【點睛】求定值問題常見的方法有兩種：
(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)．
(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．
7．（1）；（2）的周長為定值4.
【分析】（1）先由直線方程，得到左焦點坐標，得出；再由離心率，集合橢圓性質(zhì)，求出，，進而可得橢圓方程；
（2）根據(jù)直線與圓相切，得到；設(shè)，，聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)韋達定理，以及弦長公式，表示出；根據(jù)兩點間距離公式，分別表示出，，三角形三邊求和，即可得出結(jié)果.
【詳解】（1）因為直線經(jīng)過橢圓的左焦點，
所以橢圓的左焦點坐標為，故.
又∵，∴，，
故橢圓的標準方程為：；
（2）是定值，理由如下：
因為直線：與圓相切，
所以，即，
設(shè)，，聯(lián)立，
消去整理得，所以，
，，
所以
，
又，所以.
由于，，所以，，
因為，同理，
所以，
所以，
故的周長為定值4.
【點睛】思路點睛：
求解橢圓中的定值問題時，一般需要聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達定理、弦長公式，以及題中條件等，進行求解即可.
8．（1）；（2）證明見解析.
【分析】（1）根據(jù)動點在曲線上運動且保持的值不變，且點在曲線上，得到，利用橢圓的定義求解；
（2）設(shè)，，，，由，，分別求得點、N的坐標，點M、N在橢圓上，代入橢圓方程求解.
【詳解】（1）因為動點在曲線上運動且保持的值不變，且點在曲線上，
∴，
∴的軌跡是以?為焦點的橢圓，
且，，
∴，
所以曲線的方程為.
（2）設(shè)，，，，
由得，
∴，，
由于點在橢圓上，故，
整理得，
由同理可得，
∴，是方程的兩個根，
∴.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問關(guān)鍵是由，，分別求得點、N的坐標，由點M、N在橢圓上，代入橢圓方程，構(gòu)造方程，利用韋達定理而得解.
9．（1）；（2）①；②.
【分析】（1）可設(shè)出點的坐標，由直線，過作直線的垂線，垂足為點，則，則我們根據(jù)，構(gòu)造出一個關(guān)于，的方程，化簡后，即可得到所求曲線的方程；
（2）①由過點的直線交軌跡于、兩點，交直線于點，我們可以設(shè)出直線的點斜式方程，聯(lián)立直線方程后，利用設(shè)而不求的思想，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，易求的值．
②根據(jù)平面向量數(shù)量積的性質(zhì)，結(jié)合基本不等式進行求解即可.
【詳解】（1）設(shè)點，則，由，
得， 化簡得曲線的方程為；
（2）由于直線不能垂直于軸，且又過軸上的定點，
設(shè)直線的方程為，則 ，????????????????
設(shè)，，聯(lián)立方程組
消去得，，故???????????????
由，，得
?????????????????????????????????????
利用對應的縱坐標相等，得，，整理得，，??????????????????????????????
所以.
②因為，，所以有：由上可知： ，
因此有，
所以，當且僅當時取等號，即當時取等號，
因此.
【點睛】關(guān)鍵點睛：結(jié)合基本不等式，利用平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
10．(1)2；
(2)證明見解析.

【分析】（1）運用代入法，結(jié)合雙曲線的離心率公式進行求解即可；
（2）根據(jù)直線斜率公式，結(jié)合二倍角的正切公式進行證明即可.
（1）
設(shè)雙曲線的離心率為e，焦距為2c，，
在中令x＝c，則，解得，若|AF|＝|BF|，則，
所以a2＋ac＝b2＝c2－a2，所以e2－e－2＝0，解得e＝2或（舍去），所以e＝2；
（2）
因為e＝2，所以，
所以，，設(shè)B（x，y）（x＞0，y＞0），
kAB＝，kBF＝，設(shè)∠BAF＝θ，則tan θ＝，
tan2θ＝＝＝＝＝＝＝＝－kBF＝tan∠BFA，所以∠BFA＝2∠BAF.
【點睛】關(guān)鍵點睛：利用二倍角的正切公式是解題的關(guān)鍵.
11．（1）；（2）是定值，理由見解析.
【解析】（1）由中垂線可知，所以Q點的軌跡為橢圓；
（2）設(shè)兩點的坐標，利用直線方程用兩點坐標表示的橫坐標；再把直線代入橢圓方程消元，韋達定理，整理的橫坐標的乘積可得結(jié)論.
【詳解】由已知線段的垂直平分線交直線于點Q.得，,
又P為圓：上一動點，
所以，
點的軌跡為以為焦點，長軸為4的橢圓
橢圓方程：
設(shè)，則直線方程: ，
令，得，同理可得
由題設(shè)直線：，代入方程整理得
，且
，，

??????
故（定值）
【點睛】利用已知的幾何條件求軌跡方程是常用的求軌跡的方法；運用韋達定理及整體思想求特定的量是直線與圓錐曲線中常見的處理策略.
12．（1）（2）不存在，理由見解析；（3）是定值，且定值為，理由見解析.
【分析】（1）聯(lián)立直線與拋物線方程求出，兩點坐標，由兩點間距離公式列方程即可求解；
（2）設(shè)直線，，，聯(lián)立直線與拋物線方程聯(lián)立可得，，設(shè)，，射線：與橢圓方程聯(lián)立可得，同理可得，，計算即可求解；
（3）設(shè)，，令可得：，同理可得，兩式相乘整理，再討論點在不在直線上，即可得定值.
【詳解】（1）設(shè)，，由可得，
所以，，所以，，
所以，因為，所以，
所以拋物線的方程為；
（2）橢圓的右頂點為，設(shè)直線，，，
將代入可得：，
所以，，
假設(shè)存在，設(shè)，，
射線： ，
由 可得：，同理可得，
，，
所以 ，
所以
，
所以，所以不存在直線，使；
（3）設(shè)，則，
令可得：①，
同理可得：②，
兩式相乘可得


即，
所以，
即，
當點不在直線上時，，所以，
當點在直線上時，，所以，
綜上所述：是定值，且定值為.
【點睛】解決圓錐曲線中的定值與定點問題的方法有兩種：
一種是研究一般情況，通過邏輯推理與計算得到定點或定值，難度較大，運算量大，且思路不好尋找，另一種方法是先利用特殊情況確定定點或定值，然后驗證，這樣在整理式子時就有了明確的方向.
13．（1）；（2）.
【分析】（1）根據(jù)點是橢圓短軸的一個四等分點，求得b，再根據(jù)離心率和，即可求得a，從而得出答案；
（2）設(shè)，直線MN的方程為，則直線BM的方程為，與聯(lián)立，利用韋達定理可求得點，的坐標，從而得出直線的斜率，整理可得出結(jié)論.
【詳解】解：（1）因為點是橢圓短軸的一個四等分點，
所以，
又，且，
則，所以，，
所以橢圓的標準方程為；
（2）設(shè)，直線MN的方程為，
則直線BM的方程為，與聯(lián)立，
得：，
由，且點在上，得，
又，即，代入上式得，
，
即點，同理，
則，
將代入上式，
得，
所以時，，恒成立.
【點睛】本題考查了根據(jù)離心率求橢圓的標準方程及直線與橢圓、圓的位置關(guān)系，考查了計算能力和邏輯推理能力，難度較大.
14．（1）；（2）是定值，定值為6．
【分析】（1）先求出，然后由點到直線的距離列出關(guān)于的方程，求出的值，進而得到的值，從而得到的方程；
（2）①當點為橢圓右頂點時，求出；②當點為橢圓左頂點時，求出；③當點不為橢圓頂點，即直線，的斜率均不為零時，設(shè)直線，的方程，分別與橢圓方程聯(lián)立，得到韋達定理，然后利用向量的關(guān)系，求出，，即可得到答案．
【詳解】（1）由題意，點，直線的傾斜角為60°，所以，
在中，求得點到直線的距離是，
又由原點到直線的距離是，則，所以，
故的標準方程為.
（2）①當點為橢圓右頂點時，，，所以；
②當點為橢圓左頂點時，同理可得；
③當點不為橢圓頂點，即直線，的斜率均不為零時，
設(shè)直線的方程是，直線的方程是，
分別代入橢圓方程，
可得和，
設(shè)，，，則，，
由，可得，則，
由直線的方程，可得，
所以，
由，同理可得，所以為定值．
綜上所述，為定值6．
【點睛】直線與圓錐曲線的綜合問題的求解策略：
對于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合應用問題，通常聯(lián)立直線方程與圓錐曲線方程，應用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，以及弦長公式等進行求解，此類問題易錯點是復雜式子的變形能力不足，導致錯解，能較好的考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力．
15．(1)圓O的方程為，橢圓C的方程為
(2)證明見解析

【分析】（1）根據(jù)題意，列方程組，解得，，，即可得出答案．
（2）設(shè)，，，，分別代入橢圓與圓的方程，解得，，寫出直線，的方程，進而可得，的坐標，計算，即可得出答案．
【詳解】（1）由題意可得，解得，，
所以圓的方程為，橢圓的方程為．
（2）
證明：設(shè)點P的坐標為，點Q的坐標為，
則，即，
又由，得點M的坐標為，
由，得點N的坐標為，
所以，，，
所以，
所以，即
16．（1）（2）見解析
【詳解】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)條件可知，以及，從而求得橢圓方程；（Ⅱ）設(shè)，則，根據(jù)條件求直線的方程，并且表示出直線的方程，并求得兩條直線的交點縱坐標，根據(jù)即可求出面積比值.
試題解析：（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為.
由題意得解得.
所以.
所以橢圓的方程為.
（Ⅱ）設(shè)，則.
由題設(shè)知，且.
直線的斜率，故直線的斜率.
所以直線的方程為.
直線的方程為.
聯(lián)立解得點的縱坐標.
由點在橢圓上，得.
所以.
又，
，
所以與的面積之比為.
【名師點睛】本題對考生計算能力要求較高，重點考查了計算能力，以及轉(zhuǎn)化與化歸的能力，解答此類題目，主要利用的關(guān)系，確定橢圓方程是基礎(chǔ)，本題易錯點是對復雜式子的變形能力不足，導致錯漏百出.本題能較好地考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力、分析問題與解決問題的能力等.
17．（1）；（2）證明見解析.
【分析】（Ⅰ）根據(jù)離心率為，即，OAB的面積為1，即，橢圓中列方程組進行求解；（Ⅱ）根據(jù)已知條件分別求出的值，求其乘積為定值.
【詳解】（Ⅰ）由題意得解得.
所以橢圓的方程為.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
設(shè)，則.
當時，直線的方程為.
令，得，從而.
直線的方程為.
令，得，從而.
所以

.
當時，，
所以.
綜上，為定值.
【考點】橢圓方程、直線與橢圓的位置關(guān)系、運算求解能力.
【名師點睛】解決定值、定點的方法一般有兩種：(1)從特殊入手，求出定點、定值、定線，再證明定點、定值、定線與變量無關(guān)；(2)直接計算、推理，并在計算、推理的過程中消去變量，從而得到定點、定值、定線.應注意到繁難的代數(shù)運算是此類問題的特點，設(shè)而不求方法、整體思想和消元思想的運用可有效地簡化運算.

18．（1）；（2）證明見解析．
【分析】（1）由題意，得F2（1，0），F(xiàn)1（-1，0），再結(jié)合定義有，計算即可得結(jié)果；
（2）當直線AB的斜率為零時，點A，B為橢圓長軸的端點，計算的結(jié)果，當直線AB不與x軸重合時，設(shè)直線AB的方程為，代入橢圓方程結(jié)合韋達定理即可求解．
【詳解】（1）解∶由題意，得F2（1，0），F(xiàn)1（-1，0），且c=1，
則，即，
所以，
故橢圓C的方程為；
（2）證明∶當直線AB的斜率為零時.點A，B為橢圓長軸的端點，
則 ；
當直線AB不與x軸重合時，設(shè)直線AB的方程為，點，
聯(lián)立消去x，得，
則恒成立，
由韋達定理，得，
所以

綜上，為定值．
19．（1）；（2）證明見解析.
【分析】（1）由題知，，利用直線的斜率結(jié)合三角形的面積，求出，即可得到橢圓方程.
（2）設(shè)直線方程為，設(shè)，，與橢圓方程聯(lián)立整理得，結(jié)合韋達定理，利用弦長公式及點到直線的距離公式表示出，并且利用基本不等式求得其最大值得到，再利用兩點連線的斜率公式求得化簡可得其為定值.
【詳解】（1）橢圓的右頂點，上頂點，
由題知，解得
所以橢圓的標準方程為
（2）由已知MN與x軸不垂直，可知直線的斜率存在，
設(shè)直線方程為，設(shè)，，
聯(lián)立，整理得：
其中，即
且，

又原點O到直線的距離
所以
，當且僅當，即時，等號成立，
所以

又，可得
所以當?shù)拿娣e最大時，直線與的斜率之積為定值．
【點睛】思路點睛：解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：
（1）注意觀察應用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；
（2）強化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．
20．（1）；（2）存在點，定值為．
【分析】（1）由與x軸重合可知軸，此時有先解出a，然后將代入橢圓方程可得到a,b的關(guān)系，進而解出b，得到答案；
（2）先討論直線或的斜率不存在時求出交點P的坐標；然后考慮二者斜率都存在的情況，因為問題是“是否存在定點M，N，使得為定值？”我們可以設(shè)出P的坐標，根據(jù)求出它的軌跡方程，事先猜想應當是橢圓，而兩個定點應該是對應的焦點.
【詳解】（1）當與x軸重合時，，故，即軸．
故當時，
由，得．
由，得．
所以橢圓E的方程是．
（2）如圖所示，焦點的坐標分別為．
當直線或的斜率不存在時，點P的坐標為或．
當直線和的斜率都存在時，設(shè)斜率分別為，點．

聯(lián)立，得．
因為直線過橢圓內(nèi)一點，則，，
則
．
同理可得，
因為，所以，化簡得．
由題意，知，所以．
設(shè)點，則，所以，
化簡得，而且當直線或的斜率不存在時，點P的坐標為或，也滿足此方程．
所以點在橢圓上，根據(jù)橢圓定義可知存在點，使得為定值，定值為．
【點睛】本題第（2）問比較新穎，問題的關(guān)鍵點在于如何理解“是否存在定點M，N，使得為定值？”，我們應當立馬想到橢圓的定義.接下來就比較套路，根據(jù)利用根與系數(shù)的關(guān)系進行化簡，得出點P的軌跡方程，此題非常經(jīng)典，可以作為范題歸納.
21．（1）；（2）證明見解析.
【分析】（1）依題意求得，由直線與直線垂直求得，進而得橢圓方程；
（2）依題意設(shè)直線，與橢圓方程聯(lián)立，進而得，結(jié)合韋達定理可得結(jié)果.
【詳解】（1）由，得.
直線與直線相互垂直，則，解得.
所以橢圓的方程為.
（2）依題意設(shè)直線，
聯(lián)立和橢圓的方程得：，
設(shè)，則有.
，令，則，同理：.
所以.
則，
分子，所以.

22．（1）；（2）證明見解析；（3）是，.
【分析】（1）由切線性質(zhì)得，由此可求得點坐標，從而得圓方程．
（2）設(shè)切線方程為，由直線與圓相切得出的方程，結(jié)合韋達定理得，并結(jié)合在橢圓上可得．
（3）當直線不落在坐標軸上時，設(shè)，利用可得，利用在橢圓上可求得及，從而得，當直線有一條落在坐標軸上求出，從而得定值，再由基本不等式得最大值．
【詳解】（1），則，又，又，故解得，所以，所以圓M的方程為
（2）因為直線與圓M相切，
所以直線與圓聯(lián)立，
可得同理，由判別式為0，可得是方程的兩個不相等的實數(shù)根，
∴因為點在橢圓C上，所以，所以；
（3）（i）當直線不落在坐標軸上時，設(shè)，
因為，所以，
因為在橢圓C上.所以
整理得，所以所以.
（ii）當直線落在坐標軸上時，圓方程為，易求得，
綜上：，所以|
所以的最大值為．
【點睛】本題考查直線與圓相切，直線與橢圓相交問題，考查學生的運算求解能力，邏輯思維能力，對斜率積為定值問題，解題關(guān)鍵是設(shè)出切線方程，利用直線與圓相切得出關(guān)于的二次方程，由韋達定理得出結(jié)論；設(shè)，由斜率積為定值求得坐標的關(guān)系，并結(jié)合點在橢圓上求得的值，注意分類討論．
23．（1）；（2）（?。?；（ⅱ）證明見解析，.
【分析】（1）由三角形面積得，再結(jié)合離心率及求得后得橢圓方程；
（2）（?。┲本€的斜率不會為零，設(shè)其方程為，由直線與圓相切求得的關(guān)系，設(shè)，直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元后求出判別式的值（利用關(guān)系），應用韋達定理，得弦長，計算面積，應用基本不等式得最大值；
（ⅱ），，用點坐標表示出，計算可得．
【詳解】（1），于是有，又，
解得，所以橢圓E的標準方程為．
（2）（ⅰ）因Q在y軸左側(cè)，故直線的斜率不會為零，設(shè)其方程為，
由直線與圓相切得，
由消去x得，
，
設(shè)，則，
所以，當且僅當，即時取等號．
故的面積的最大值為1．
（ⅱ）因點在橢圓E上，且在y軸左側(cè)，故，，
由（1），
故，
，
故為定值．
【點睛】本題考查求橢圓標準方程，考查直線與橢圓相交問題．求橢圓標準方程的關(guān)鍵是列出關(guān)于的方程組，解得，直線與橢圓相交一般是設(shè)交點坐標，設(shè)直線方程，直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元后應用韋達定理，由韋達定理的結(jié)果求弦長等等．
24．（1）；（2）證明見解析；（3）是定值，定值為25.
【分析】（1）由橢圓的離心率公式求得，由橢圓過點，代入橢圓方程，即可求得和的值，求得橢圓方程；
（2）利用點到直線距離公式，同理求得：，則，是方程的兩個不相等的實根，根據(jù)韋達定理即可求得為定值；
（3）將直線和的方程，代入橢圓方程，即可求得和點坐標，
根據(jù)兩點之間的距離公式，
由，即可求得為定值.
【詳解】（1）由橢圓的離心率，則，
由直線過點，代入，解得：，則，
∴橢圓的標準方程：.
（2）證明：由直線，直線，
由直線為圓的切線，
，，
同理可得：，
∴，是方程的兩個不相等的實根，
由，，
則，
由在橢圓上，即，
∴，
∴為定值.
（3）經(jīng)判斷為定值，
（i）由直線，不落在坐標軸上時，
設(shè)，，
聯(lián)立，解得，
∴，
同理，得，
由，
得，

，
∴為定值，定值為25.
【點睛】方法點睛：本題考查了橢圓的定義標準方程?直線與圓相切的性質(zhì)?一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了分類討論方法?推理能力與計算能力，屬于難題.
1、求定值問題常見的方法有兩種：
（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；
（2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定理。
2、定值問題求解的基本思路是使用參數(shù)表示要解決的問題，然后證明與參數(shù)無關(guān)，這類問題選擇消元的方向是非常關(guān)鍵的。
25．（1）；（2）.
【分析】(1) 利用雙曲線的定義可知軌跡是以點、為左、右焦點雙曲線的右支，求出、的值，即可得出軌跡的方程；
(2)方法一：設(shè)出點的坐標和直線方程，聯(lián)立直線方程與曲線C的方程，結(jié)合韋達定理求得直線的斜率，最后化簡計算可得的值.
【詳解】(1) 因為，
所以，軌跡是以點、為左、右焦點的雙曲線的右支，
設(shè)軌跡的方程為，則，可得，，
所以，軌跡的方程為.
（2）[方法一] 【最優(yōu)解】：直線方程與雙曲線方程聯(lián)立
如圖所示，設(shè),
設(shè)直線的方程為．

聯(lián)立,
化簡得.
則．
故．
則．
設(shè)的方程為，同理．
因為，所以，
化簡得，
所以，即．
因為，所以．
[方法二] ：參數(shù)方程法
設(shè)．設(shè)直線的傾斜角為，
則其參數(shù)方程為，
聯(lián)立直線方程與曲線C的方程，
可得，
整理得．
設(shè)，
由根與系數(shù)的關(guān)系得．
設(shè)直線的傾斜角為，，
同理可得
由，得．
因為，所以．
由題意分析知．所以，
故直線的斜率與直線的斜率之和為0．
[方法三]：利用圓冪定理
因為，由圓冪定理知A，B，P，Q四點共圓．
設(shè),直線的方程為，
直線的方程為,
則二次曲線．
又由，得過A，B，P，Q四點的二次曲線系方程為：
，
整理可得：
，
其中．
由于A，B，P，Q四點共圓，則xy項的系數(shù)為0，即.
【整體點評】(2)方法一：直線方程與二次曲線的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理處理圓錐曲線問題是最經(jīng)典的方法，它體現(xiàn)了解析幾何的特征，是該題的通性通法，也是最優(yōu)解；
方法二：參數(shù)方程的使用充分利用了參數(shù)的幾何意義，要求解題過程中對參數(shù)有深刻的理解，并能夠靈活的應用到題目中.
方法三：圓冪定理的應用更多的提現(xiàn)了幾何的思想，二次曲線系的應用使得計算更為簡單.
26．(1)
(2)1

【分析】（1）設(shè)，則有，即，由點M到雙曲線C的兩條漸近線距離的乘積為可得，，結(jié)合離心率，可求出雙曲線C的方程；
（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，化簡得出，再求出，可得出結(jié)果.
（1）
由題意可得，漸近線的方程為，
設(shè)，則有，即，
因為點M到雙曲線C的兩條漸近線距離的乘積為，
所以，
又離心率，即，所以，所以，，
所以雙曲線的方程為；
（2）
由（1）知，，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，得，
所以，
若，，則，，
所以|，
所以，
所以的中點坐標為，
所以線段的垂直平分線的方程為，
整理得，所以，
則，所以．
27．（1）證明見解析；（2）是定值，定值為.
【分析】（1）設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線與拋物線的方程得到韋達定理，再利用韋達定理求出，即得證；
（2）設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線與拋物線的方程得到韋達定理，再求出，，即得解.
【詳解】（1）設(shè)直線方程為，
聯(lián)立直線與拋物線的方程，
消去，得，所以.
所以

即.
（2）設(shè)直線方程為，
聯(lián)立直線與拋物線的方程，
消去，得，
故.
設(shè)的方程為，
聯(lián)立直線與拋物線的方程，
消去得，
從而，則，
同理可得，

，
即為定值.
28．（1）；（2）證明見解析.
【分析】（1）由題意，算出，的坐標，進而求出，再利用平面向量數(shù)量積的坐標表示求出，根據(jù)已知即可求解.
（2）若直線，則直線與曲線只有一個交點，不合題意；??
設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，由韋達定理，根據(jù)，可得，從而得直線過定點， 進而在中，當為中點時，為定值.
【詳解】解：（1）由 ， 可得，
，?????
所以，由已知得，化簡得，
所以，曲線方程為.??????
（2）證明：若直線，則直線與曲線只有一個交點，不合題意；??
設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，
則，可得，
設(shè)，則，???
，同理，?????????
因為，所以，
所以，點在曲線上，顯然且，
所以，
所以，????????
所以直線的方程為，
因此直線過定點，
所以，且是以為斜邊的直角三角形，
所以中點滿足為定值，???
所以存在使為定值.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，
由韋達定理，根據(jù)，得，從而得直線過定點是解決本題的關(guān)鍵.

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