TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc22159" 一、考點全歸納 PAGEREF _Tc22159 1
\l "_Tc9401" 二、題型全歸納 PAGEREF _Tc9401 2
\l "_Tc20969" 題型一 定義法求軌跡方程 PAGEREF _Tc20969 2
\l "_Tc1149" 題型二 直接法求軌跡方程 PAGEREF _Tc1149 4
\l "_Tc31428" 題型三 相關(guān)點法(代入法)求軌跡方程 PAGEREF _Tc31428 5
\l "_Tc30870" 三、高效訓(xùn)練突破 PAGEREF _Tc30870 8
一、考點全歸納
1．曲線與方程
在平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C(看作滿足某種條件的點的集合或軌跡)上的點與一個二元方程的實數(shù)解建立了如下的關(guān)系：
(1)曲線上點的坐標(biāo)都是這個方程的解．
(2)以這個方程的解為坐標(biāo)的點都在曲線上．
那么，這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線．
2．曲線的交點
設(shè)曲線C1的方程為F1(x，y)＝0，曲線C2的方程為F2(x，y)＝0，則C1，C2的交點坐標(biāo)即為方程組eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(F1（x，y）＝0，,F2（x，y）＝0))的實數(shù)解，若此方程組無解，則兩曲線無交點．
3．求動點的軌跡方程的一般步驟
(1)建系——建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系．
(2)設(shè)點——設(shè)軌跡上的任一點P(x，y)．
(3)列式——列出動點P所滿足的關(guān)系式．
(4)代換——依條件式的特點，選用距離公式、斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于x，y的方程式，并化簡．
(5)證明——證明所求方程即為符合條件的動點軌跡方程．
【常用結(jié)論】
1．“曲線C是方程f(x，y)＝0的曲線”是“曲線C上的點的坐標(biāo)都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要條件．
2．曲線的交點與方程組的關(guān)系
(1)兩條曲線交點的坐標(biāo)是兩個曲線方程的公共解，即兩個曲線方程組成的方程組的實數(shù)解；
(2)方程組有幾組解，兩條曲線就有幾個交點；方程組無解，兩條曲線就沒有交點．
二、題型全歸納
題型一 定義法求軌跡方程
【解題要點】定義法求軌跡方程的適用條件及關(guān)鍵點
(1)求軌跡方程時，若動點與定點、定直線間的等量關(guān)系滿足圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義，則可直接根據(jù)定義先確定軌跡類型，再寫出其方程，
(2)理解解析幾何中有關(guān)曲線的定義是解題關(guān)鍵．
(3)利用定義法求軌跡方程時，還要看所求軌跡是否是完整的圓、橢圓、雙曲線、拋物線，如果不是完整的曲線，則應(yīng)對其中的變量x或y進行限制．
【例1】．A為雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上的任意一點，過焦點F1作∠F1AF2的角平分線的垂線，垂足為M，則點M的軌跡方程為________．
【例2】．如圖所示，已知點C為圓(x＋eq \r(2))2＋y2＝4的圓心，點A(eq \r(2)，0)．P是圓上的動點，點Q在圓的半徑CP所在的直線上，且eq \(MQ,\s\up6(→))·eq \(AP,\s\up6(→))＝0，eq \(AP,\s\up6(→))＝2eq \(AM,\s\up6(→)).當(dāng)點P在圓上運動時，求點Q的軌跡方程．
題型二 直接法求軌跡方程
【規(guī)律與方法】1．直接法求軌跡方程的應(yīng)用條件和步驟
若曲線上的動點滿足的條件是一些幾何量的等量關(guān)系，則可用直接法，其一般步驟是：設(shè)點→列式→化簡→檢驗．
2．用直接法求軌跡方程需要注意的問題
(1)求動點的軌跡方程時要注意檢驗，即除去多余的點，補上遺漏的點．
(2)若是只求軌跡方程，則把方程求出，把變量的限制條件附加上即可；若是求軌跡，則要說明軌跡是什么圖形．
【例1】．已知△ABC的三個頂點分別為A(－1，0)，B(2，3)，C(1，2eq \r(2))，定點P(1，1)．
(1)求△ABC外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若過定點P的直線與△ABC的外接圓交于E，F(xiàn)兩點，求弦EF中點的軌跡方程．
【例2】．(2020·葫蘆島調(diào)研)在△ABC中，已知A(2,0)，B(－2，0)，G，M為平面上的兩點，且滿足eq \(GA,\s\up6(→))＋eq \(GB,\s\up6(→))＋eq \(GC,\s\up6(→))＝0，|eq \(MA,\s\up6(→))|＝|eq \(MB,\s\up6(→))|＝|eq \(MC,\s\up6(→))|，eq \(GM,\s\up6(→))∥eq \(AB,\s\up6(→))，則頂點C的軌跡為( )
A．焦點在x軸上的橢圓(長軸端點除外)
B．焦點在y軸上的橢圓(短軸端點除外)
C．焦點在x軸上的雙曲線(實軸端點除外)
D．焦點在x軸上的拋物線(頂點除外)
題型三 相關(guān)點法(代入法)求軌跡方程
【解題要點】
【例1】(2020·莆田二模)已知A(0，－1)，B是曲線y＝eq \f(1,8)x2＋1上任意一點，動點P滿足 eq \(AP,\s\up6(→))＋eq \(BP,\s\up6(→))＝0.
(1)求點P的軌跡E的方程；
(2)過點D(0,1)的直線交E于M，N兩點，過原點O與點M的直線交直線y＝－1于點H，求證：|DN|＝|HN|.
【例2】．(2020·河南鄭州模擬)如圖所示，拋物線E：y2＝2px(p＞0)與圓O：x2＋y2＝8相交于A，B兩點，且點A的橫坐標(biāo)為2.過劣弧AB上動點P(x0，y0)作圓O的切線交拋物線E于C，D兩點，分別以C，D為切點作拋物線E的切線l1，l2，l1與l2相交于點M.
(1)求p的值；
(2)求動點M的軌跡方程．
三、高效訓(xùn)練突破
一、選擇題
1．方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0表示的曲線是( )
A．一條直線和一條雙曲線
B．兩條雙曲線
C．兩個點
D．以上答案都不對
2．(2020·銀川模擬)設(shè)D為橢圓eq \f(y2,5)＋x2＝1上任意一點，A(0，－2)，B(0，2)，延長AD至點P，使得|PD|＝|BD|，則點P的軌跡方程為( )
A．x2＋(y－2)2＝20 B．x2＋(y＋2)2＝20
C．x2＋(y－2)2＝5 D．x2＋(y＋2)2＝5
3.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(1，0)，B(1，1)，C(0，1)，映射f將xOy平面上的點P(x，y)對應(yīng)到另一個平面直角坐標(biāo)系uO′v上的點P′(2xy，x2－y2)，則當(dāng)點P沿著折線A-B-C運動時，在映射f的作用下，動點P′的軌跡是( )
4．(2020·蘭州模擬)已知兩點M(－2，0)，N(2，0)，點P為坐標(biāo)平面內(nèi)的動點，滿足|eq \(MN,\s\up6(→))|·|eq \(MP,\s\up6(→))|＋eq \(MN,\s\up6(→))·eq \(NP,\s\up6(→))＝0，則動點P(x，y)的軌跡方程為( )
A．y2＝－8x B．y2＝8x
C．y2＝－4x D．y2＝4x
5．(2020·福州模擬)動點M在圓x2＋y2＝25上移動，過點M作x軸的垂線段MD，D為垂足，則線段MD中點的軌跡方程是( )
A.eq \f(4x2,25)＋eq \f(y2,25)＝1 B．eq \f(x2,25)＋eq \f(4y2,25)＝1
C.eq \f(4x2,25)－eq \f(y2,25)＝1 D．eq \f(x2,25)－eq \f(4y2,25)＝1
6.(2020·長沙模擬)已知點集M＝{(x，y)|eq \r(1－x2)·eq \r(1－y2)≥xy}，則平面直角坐標(biāo)系中區(qū)域M的面積是( )
A．1 B．3＋eq \f(π,4)
C．π D．2＋eq \f(π,2)
7．如圖，已知F1，F(xiàn)2是橢圓Γ：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點，P是橢圓Γ上任意一點，過F2作∠F1PF2的外角的角平分線的垂線，垂足為Q，則點Q的軌跡為( )
A．直線 B．圓
C．橢圓 D．雙曲線
8．若曲線C上存在點M，使M到平面內(nèi)兩點A(－5,0)，B(5，0)的距離之差為8，則稱曲線C為“好曲線”．以下曲線不是“好曲線”的是( )
A．x＋y＝5 B．x2＋y2＝9
C.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1 D．x2＝16y
9.(2020·寶雞二模)設(shè)D為橢圓x2＋eq \f(y2,5)＝1上任意一點，A(0，－2)，B(0,2)，延長AD至點P，使得|PD|＝|BD|，則點P的軌跡方程為( )
A．x2＋(y－2)2＝20 B．x2＋(y＋2)2＝20
C．x2＋(y－2)2＝5 D．x2＋(y＋2)2＝5
10．(2019·北京高考)數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線C：x2＋y2＝1＋|x|y就是其中之一(如圖)．給出下列三個結(jié)論：
①曲線C恰好經(jīng)過6個整點(即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點)；
②曲線C上任意一點到原點的距離都不超過eq \r(2)；
③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3.
其中，所有正確結(jié)論的序號是( )
A．① B．②
C．①② D．①②③
11．設(shè)過點P(x，y)的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A，B兩點，點Q與點P關(guān)于y軸對稱，O為坐標(biāo)原點．若eq \(BP,\s\up6(→))＝2eq \(PA,\s\up6(→))，且eq \(OQ,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝1，則點P的軌跡方程是( )
A.eq \f(3,2)x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0) B.eq \f(3,2)x2－3y2＝1(x＞0，y＞0)
C．3x2－eq \f(3,2)y2＝1(x＞0，y＞0) D．3x2＋eq \f(3,2)y2＝1(x＞0，y＞0)
12．若曲線C上存在點M，使M到平面內(nèi)兩點A(－5，0)，B(5，0)距離之差的絕對值為8，則稱曲線C為“好曲線”．以下曲線不是“好曲線”的是( )
A．x＋y＝5 B．x2＋y2＝9
C.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1 D．x2＝16y
二、填空題
1．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，A(1，0)，B(2，2)，若點C滿足eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋t(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))，其中t∈R，則點C的軌跡方程是________．
2．△ABC的頂點A(－5，0)，B(5，0)，△ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x＝3上，則頂點C的軌跡方程是________．
3．設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的左、右焦點，A為橢圓上任意一點，過焦點F1向∠F1AF2的外角平分線作垂線，垂足為D，則點D的軌跡方程是________．
4.已知圓C：x2＋y2＝25，過點M(－2,3)作直線l交圓C于A，B兩點，分別過A，B兩點作圓的切線，當(dāng)兩條切線相交于點Q時，點Q的軌跡方程為________．
5．(2020·哈爾濱三模)數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”．事實上，很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解法，例如，與eq \r(?x－a?2＋?y－b?2)相關(guān)的代數(shù)問題，可以轉(zhuǎn)化為點A(x，y)與點B(a，b)之間距離的幾何問題．結(jié)合上述觀點，可得方程|eq \r(x2＋6x＋13)－eq \r(x2－6x＋13)|＝4的解為________．
6．(2020·四川成都石室中學(xué)模擬)已知兩定點F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)和一動點P，給出下列結(jié)論：
①若|PF1|＋|PF2|＝2，則點P的軌跡是橢圓；
②若|PF1|－|PF2|＝1，則點P的軌跡是雙曲線；
③若eq \f(|PF1|,|PF2|)＝λ(λ＞0，且λ≠1)，則點P的軌跡是圓；
④若|PF1|·|PF2|＝a2(a≠0)，則點P的軌跡關(guān)于原點對稱；
⑤若直線PF1與PF2的斜率之積為m(m≠0)，則點P的軌跡是橢圓(除長軸兩端點)．
其中正確的是________．(填序號)
三 解答題
1．如圖，已知P是橢圓eq \f(x2,4)＋y2＝1上一點，PM⊥x軸于M.若eq \(PN,\s\up6(→))＝λeq \(NM,\s\up6(→)).
(1)求點N的軌跡方程；
(2)當(dāng)點N的軌跡為圓時，求λ的值．
2.(2020·東北三省四市一模)如圖，已知橢圓C：eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1的短軸端點分別為B1，B2，點M是橢圓C上的動點，且不與B1，B2重合，點N滿足NB1⊥MB1，NB2⊥MB2.
(1)求動點N的軌跡方程；
(2)求四邊形MB2NB1面積的最大值．
3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中取兩個定點A1(－eq \r(6)，0)，A2(eq \r(6)，0)，再取兩個動點N1(0，m)，N2(0，n)，且mn＝2.
(1)求直線A1N1與A2N2的交點M的軌跡C的方程；
(2)過R(3，0)的直線與軌跡C交于P，Q兩點，過點P作PN⊥x軸且與軌跡C交于另一點N，F(xiàn)為軌跡C的右焦點，若eq \(RP,\s\up6(→))＝λeq \(RQ,\s\up6(→))(λ＞1)，求證：eq \(NF,\s\up6(→))＝λeq \(FQ,\s\up6(→)).

相關(guān)學(xué)案

專題5.3 平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用-2022年高考數(shù)學(xué)（理）一輪復(fù)習(xí)-題型全歸納與高效訓(xùn)練突破學(xué)案：

這是一份專題5.3 平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用-2022年高考數(shù)學(xué)（理）一輪復(fù)習(xí)-題型全歸納與高效訓(xùn)練突破學(xué)案，文件包含專題53平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用解析版docx、專題53平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用原卷版docx等2份學(xué)案配套教學(xué)資源，其中學(xué)案共35頁， 歡迎下載使用。

專題6.2 等差數(shù)列及其前n項和-2022年高考數(shù)學(xué)（理）一輪復(fù)習(xí)-題型全歸納與高效訓(xùn)練突破學(xué)案：

這是一份專題6.2 等差數(shù)列及其前n項和-2022年高考數(shù)學(xué)（理）一輪復(fù)習(xí)-題型全歸納與高效訓(xùn)練突破學(xué)案，文件包含專題62等差數(shù)列及其前n項和解析版docx、專題62等差數(shù)列及其前n項和原卷版docx等2份學(xué)案配套教學(xué)資源，其中學(xué)案共25頁， 歡迎下載使用。

專題5.1 平面向量的概念及線性運算-2022年高考數(shù)學(xué)（理）一輪復(fù)習(xí)-題型全歸納與高效訓(xùn)練突破學(xué)案：

這是一份專題5.1 平面向量的概念及線性運算-2022年高考數(shù)學(xué)（理）一輪復(fù)習(xí)-題型全歸納與高效訓(xùn)練突破學(xué)案，文件包含專題51平面向量的概念及線性運算解析版docx、專題51平面向量的概念及線性運算原卷版docx等2份學(xué)案配套教學(xué)資源，其中學(xué)案共33頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)學(xué)案 更多

專題3.1 導(dǎo)數(shù)的概念及運算-2022年高考數(shù)學(xué)（理）一輪復(fù)習(xí)-題型全歸納與高效訓(xùn)練突破學(xué)案

專題3.1 導(dǎo)數(shù)的概念及運算-2022年高考數(shù)學(xué)（理）一輪復(fù)習(xí)-題型全歸納與高效訓(xùn)練突破學(xué)案
專題2.9 函數(shù)模型及其應(yīng)用-2022年高考數(shù)學(xué)（理）一輪復(fù)習(xí)-題型全歸納與高效訓(xùn)練突破學(xué)案

專題2.9 函數(shù)模型及其應(yīng)用-2022年高考數(shù)學(xué)（理）一輪復(fù)習(xí)-題型全歸納與高效訓(xùn)練突破學(xué)案
專題2.2 函數(shù)的單調(diào)性與最值-2022年高考數(shù)學(xué)（理）一輪復(fù)習(xí)-題型全歸納與高效訓(xùn)練突破學(xué)案

專題2.2 函數(shù)的單調(diào)性與最值-2022年高考數(shù)學(xué)（理）一輪復(fù)習(xí)-題型全歸納與高效訓(xùn)練突破學(xué)案
專題2.1 函數(shù)的概念及其表示-2022年高考數(shù)學(xué)（理）一輪復(fù)習(xí)-題型全歸納與高效訓(xùn)練突破學(xué)案

專題2.1 函數(shù)的概念及其表示-2022年高考數(shù)學(xué)（理）一輪復(fù)習(xí)-題型全歸納與高效訓(xùn)練突破學(xué)案
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部