目錄
TOC \ "1-3" \h \u 一、題型全歸納1
題型一 等差數(shù)列基本量的計算1
題型二 等差數(shù)列的判定與證明3
題型三 等差數(shù)列性質的應用6
類型一 等差數(shù)列項的性質的應用6
類型二 等差數(shù)列前n項和性質的應用7
題型四 等差數(shù)列前n項和的最值問題9
二、高效訓練突破11
一、題型全歸納
題型一 等差數(shù)列基本量的計算
【題型要點】1．等差數(shù)列的有關概念
(1)定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列．符號表示為an＋1－an＝d(n∈N*，d為常數(shù))．
(2)等差中項：數(shù)列a，A，b成等差數(shù)列的充要條件是A＝eq \f(a＋b,2)，其中A叫做a，b的等差中項．
2．等差數(shù)列的有關公式
(1)通項公式：an＝a1＋(n－1)d．
(2)前n項和公式：Sn＝na1＋eq \f(n（n－1）,2)d＝eq \f(（a1＋an）n,2)．
3.等差數(shù)列運算問題的通性通法
(1)等差數(shù)列運算問題的一般求法是設出首項a1和公差d，然后由通項公式或前n項和公式轉化為方程(組)求解．
(2)等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式，共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體現(xiàn)了用方程的思想解決問題．
4.等差數(shù)列設項技巧
若奇數(shù)個數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時，可設中間三項為a－d，a，a＋d；若偶數(shù)個數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時，可設中間兩項為a－d，a＋d，其余各項再依據(jù)等差數(shù)列的定義進行對稱設元(注意此時數(shù)列的公差為2d)．
【例1】已知等差數(shù)列{an}中，a1＋a4＝eq \f(7,6)，a3＋a6＝eq \f(5,6)，則公差d＝( )
A.eq \f(1,6) B．eq \f(1,12)
C．－eq \f(1,6) D．－eq \f(1,12)
【例2】在公差不為0的等差數(shù)列{an}中，4a3＋a11－3a5＝10，則eq \f(1,5)a4＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
【例3】(2020·碑林區(qū)期末)設{an}是遞增等差數(shù)列，前三項的和為12，前三項的積為48，則它的首項a1＝________.
題型二 等差數(shù)列的判定與證明
【題型要點】判定數(shù)列{an}是等差數(shù)列的常用方法
(1)定義法：對任意n∈N*，an＋1－an是同一個常數(shù)．見舉例說明．
(2)等差中項法：對任意n≥2，n∈N*，滿足2an＝an＋1＋an－1.
(3)通項公式法：數(shù)列的通項公式an是n的一次函數(shù)．
(4)前n項和公式法：數(shù)列的前n項和公式Sn是n的二次函數(shù)，且常數(shù)項為0.
【易錯提醒】：判斷是否為等差數(shù)列，最終一般都要轉化為定義法判斷．
【例1】(2020·河北衡水中學調研)設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝2n－1.數(shù)列{bn}滿足b1＝2，bn＋1－2bn＝8an.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求{bn}的通項公式．
【例2】(2020·貴州適應性考試)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n.
(1)求a2，a3；
(2)證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求{an}的通項公式．
【例3】(2020·沈陽模擬)已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，S2＝2，S3＝－6.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式和前n項和Sn；
(2)是否存在正整數(shù)n，使Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差數(shù)列？若存在，求出n；若不存在，請說明理由．
題型三 等差數(shù)列性質的應用
【題型要點】1.等差數(shù)列的性質
已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項和．
(1)通項公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak＋al＝am＋an．
(3)若{an}的公差為d，則{a2n}也是等差數(shù)列，公差為2d．
(4)若{bn}是等差數(shù)列，則{pan＋qbn}也是等差數(shù)列．
(5)數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…構成等差數(shù)列．
2.應用等差數(shù)列的性質解題的三個注意點
(1)如果{an}為等差數(shù)列，m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．因此，若出現(xiàn)am－n，am，am＋n等項時，可以利用此性質將已知條件轉化為與am(或其他項)有關的條件；若求am項，可由am＝eq \f(1,2)(am－n＋am＋n)轉化為求am－n，am＋n或am＋n＋am－n的值．
(2)要注意等差數(shù)列通項公式及前n項和公式的靈活應用，如an＝am＋(n－m)d，d＝eq \f(an－am,n－m)，S2n－1＝(2n－1)an，Sn＝eq \f(n?a1＋an?,2)＝eq \f(n?a2＋an－1?,2)(n，m∈N*)等．
(3)當項數(shù)為偶數(shù)2n時，S偶－S奇＝nd；項數(shù)為奇數(shù)2n－1時，S奇－S偶＝a中，S奇∶S偶＝n∶(n－1)．
類型一 等差數(shù)列項的性質的應用
【例1】已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且2a5－a2＝10，則S15＝( )
A．20 B．75
C．300 D．150
【例2】等差數(shù)列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，則2a9－a10的值是( )
A．20 B．22
C．24 D．－8
【題后反思】項的性質：在等差數(shù)列{an}中，am－an＝(m－n)d?eq \f(am－an,m－n)＝d(m≠n)，其幾何意義是點(n，an)，(m，am)所在直線的斜率等于等差數(shù)列的公差．
類型二 等差數(shù)列前n項和性質的應用
【例3】在等差數(shù)列{an}中，a1＝－2 018，其前n項和為Sn，若eq \f(S12,12)－eq \f(S10,10)＝2，則S2 018的值等于( )
A．－2 018 B．－2 016
C．－2 019 D．－2 017
【例4】已知等差數(shù)列{an}的前10項和為30，它的前30項和為210，則前20項和為( )
A．100 B．120
C．390 D．540
【例5】(2020·太原模擬)一個等差數(shù)列的前12項的和為354，前12項中偶數(shù)項的和與奇數(shù)項的和的比為32∶27，則該數(shù)列的公差d為_______。
【例6】等差數(shù)列{an}與{bn}的前n項和分別為Sn和Tn，若eq \f(Sn,Tn)＝eq \f(3n－2,2n＋1)，則eq \f(a7,b7)等于( )
A.eq \f(37,27) B．eq \f(38,28)
C.eq \f(39,29) D．eq \f(40,30)
【題后反思】和的性質：(1)在等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項和，則
①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；
②S2n－1＝(2n－1)an；
③是首項為a1，公差為eq \f(d,2)的等差數(shù)列．
(2)關于等差數(shù)列奇數(shù)項和與偶數(shù)項和的性質
①若項數(shù)為2n，則S偶－S奇＝nd，eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(an,an＋1)；
②若項數(shù)為2n－1，則S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，S奇－S偶＝an，eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(n,n－1).
(3)兩個等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項和Sn，Tn之間的關系為eq \f(S2n－1,T2n－1)＝eq \f(an,bn).
題型四 等差數(shù)列前n項和的最值問題
【題型要點】求等差數(shù)列前n項和Sn最值的兩種方法
(1)函數(shù)法：等差數(shù)列前n項和的函數(shù)表達式Sn＝an2＋bn＝a－eq \f(b2,4a)，求“二次函數(shù)”最值．
(2)鄰項變號法
①當a1＞0，d＜0時，滿足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(am≥0，,am＋1≤0))的項數(shù)m使得Sn取得最大值為Sm；
②當a1＜0，d＞0時，滿足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(am≤0，,am＋1≥0))的項數(shù)m使得Sn取得最小值為Sm．
【例1】等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝13，S3＝S11，當Sn最大時，n的值是( )
A．5 B．6
C．7 D．8
【例2】 (2019·北京高考)設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a2＝－3，S5＝－10，則a5＝________，Sn的最小值為________．
【例3】(2020·華中師范大學附中模擬)設數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝3·2n(n∈N＋)，數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，其前n項和為Tn，若b2＝a5，b10＝S3，則Tn取最大值時n＝________.
二、高效訓練突破
一、選擇題
1．(2020·長春模擬)等差數(shù)列{an}中，Sn是它的前n項和，a2＋a3＝10，S6＝54，則該數(shù)列的公差d為( )
A．2 B．3
C．4 D．6
2．設Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，已知S7＝49，則a2，a6的等差中項是( )
A.eq \f(49,2) B．7
C．±7 D.eq \f(7,2)
3．(2020·湘贛十四校聯(lián)考)設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S5＝5S2＋a4，a1＝1，則a6＝( )
A．16 B．13
C．－9 D．37
4．(2019·高考全國卷Ⅰ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，已知S4＝0，a5＝5，則( )
A．a(chǎn)n＝2n－5 B．a(chǎn)n＝3n－10
C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝eq \f(1,2)n2－2n
5．(2020·沈陽質量監(jiān)測)在等差數(shù)列{an}中，若Sn為前n項和，2a7＝a8＋5，則S11的值是( )
A．55 B．11
C．50 D．60
6．記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和．若a4＋a5＝24，S6＝48，則{an}的公差為( )
A．1 B．2
C．4 D．8
7.等差數(shù)列{an}與{bn}的前n項和分別為Sn和Tn，若eq \f(Sn,Tn)＝eq \f(3n－2,2n＋1)，則eq \f(a7,b7)等于( )
A.eq \f(37,27) B.eq \f(19,14)
C.eq \f(39,29) D.eq \f(4,3)
8．(2019·南昌模擬)已知等差數(shù)列{an}的公差d0.設{an}的前n項和為Sn，a1＝1，S2·S3＝36.
(1)求d及Sn；
(2)求m，k(m，k∈N*)的值，使得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝65.
2.已知數(shù)列{an}滿足，an＋1＋an＝4n－3(n∈N*)．
(1)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，求a1的值；
(2)當a1＝2時，求數(shù)列{an}的前n項和Sn.
3.(2020·湖北仙桃、天門、潛江模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，(n＋2)an＝(n＋1)an＋1－2(n2＋3n＋2)，設bn＝eq \f(an,n＋1).
(1)求b1，b2，b3；
(2)判斷數(shù)列{bn}是否為等差數(shù)列，并說明理由；
(3)求{an}的通項公式．
4．(2020·浙江嘉興模擬)在數(shù)列{an}，{bn}中，設Sn是數(shù)列{an}的前n項和，已知a1＝1，an＋1＝an＋2，3b1＋5b2＋…＋(2n＋1)bn＝2n·an＋1，n∈N*.
(1)求an和Sn；
(2)當n≥k時，bn≥8Sn恒成立，求整數(shù)k的最小值．

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