目錄
TOC \ "1-3" \h \u 一、題型全歸納1
題型一 平面向量的基本概念1
題型二 平面向量的線性運算3
題型三 平面向量共線定理的應(yīng)用6
命題角度1 證明向量共線或三點共線6
命題角度2 由向量共線求參數(shù)的值7
命題角度3 證明三點共線7
題型四 共線定理的推廣與應(yīng)用8
二、高效訓(xùn)練突破10
一、題型全歸納
題型一 平面向量的基本概念
【題型要點】1．向量的有關(guān)概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：長度為0的向量，其方向是任意的．
(3)單位向量：長度等于1個單位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任一向量共線．
(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量．
2.五個特殊向量
(1)要注意0與0的區(qū)別，0是一個實數(shù)，0是一個向量，且|0|＝0.
(2)單位向量有無數(shù)個，它們大小相等，但方向不一定相同．
(3)任一組平行向量都可以平移到同一直線上，因此平行向量也叫做共線向量．
(4)與向量a平行的單位向量有兩個，即向量eq \f(a,|a|)和－eq \f(a,|a|).
3.辨析向量有關(guān)概念的五個關(guān)鍵點
(1)向量定義的關(guān)鍵是方向和長度．
(2)非零共線向量的關(guān)鍵是方向相同或相反，長度沒有限制．
(3)相等向量的關(guān)鍵是方向相同且長度相等．
(4)單位向量的關(guān)鍵是方向沒有限制，但長度都是一個單位長度．
(5)零向量的關(guān)鍵是方向沒有限制，長度是0，規(guī)定零向量與任何向量共線．
【例1】下列敘述錯誤的是________(填序號)．
①已知向量a∥b，且|a|>|b|>0，則向量a＋b的方向與向量a的方向相同；
②|a|＋|b|＝|a＋b|?a與b方向相同；
③向量b與向量a共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)λ，使得b＝λa；
④eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＝0；
⑤若λa＝λb，則a＝b.
【答案】②③④⑤
【解析】對于①，當(dāng)a和b方向相同，則它們的和的方向應(yīng)該與a(或b)的方向相同；當(dāng)a和b方向相反，而a的模大于b的模，則它們的和的方向與a的方向相同．
對于②，當(dāng)a，b之一為零向量時結(jié)論不成立．
對于③，當(dāng)a＝0且b＝0時，λ有無數(shù)個值；當(dāng)a＝0但b≠0時，λ不存在．
對于④，由于兩個向量之和仍是一個向量，所以eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＝0.
對于⑤，當(dāng)λ＝0時，無論a與b的大小與方向如何，都有λa＝λb，此時不一定有a＝b.
故②③④⑤均錯誤．
【例2】下列命題中，正確的個數(shù)是( )
①若兩個向量相等，則它們的起點和終點分別重合；
②若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－b；
③若λa＝0(λ為實數(shù))，則λ必為零；
④已知λ，μ為實數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線．
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】A
【解析】①錯誤，如在?ABCD中，eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))，但是這兩個向量的起點和終點分別不重合；②錯誤，模相等的兩個向量，方向關(guān)系不確定；③錯誤，若λa＝0(λ為實數(shù))，則λ＝0或a＝0；④錯誤，當(dāng)λ＝μ＝0時，λa＝μb＝0，但a與b不一定共線．
題型二 平面向量的線性運算
【題型要點】
1.向量的線性運算
2.向量線性運算的兩個常用結(jié)論
(1)在△ABC中，AD為BC邊上的中線，則eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))).
(2)O為△ABC的重心的充要條件是eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝0.
【例1】在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則eq \(EB,\s\up6(→))＝( )
A.eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→)) B．eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→))
C.eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→)) D．eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→))
【答案】A
【解析】
法一：如圖所示，eq \(EB,\s\up6(→))＝eq \(ED,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＋eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→))，故選A.
法二：eq \(EB,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)×eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→))，故選A.
【例2】(2020云南省楚雄州十校聯(lián)考)如圖，在直角梯形ABCD中，eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BE,\s\up6(→))＝2eq \(EC,\s\up6(→))，且eq \(AE,\s\up6(→))＝req \(AB,\s\up6(→))＋seq \(AD,\s\up6(→))，則2r＋3s＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】C
【解析】 法一：由題圖可得eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)(eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→)).因為eq \(AE,\s\up6(→))＝req \(AB,\s\up6(→))＋seq \(AD,\s\up6(→))，所以r＝eq \f(1,2)，s＝eq \f(2,3)，則2r＋3s＝1＋2＝3.
法二：因為eq \(BE,\s\up6(→))＝2eq \(EC,\s\up6(→))，所以eq \(AE,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝2(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AE,\s\up6(→)))，整理，得eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))，以下同法一．
法三：如圖，延長AD，BC交于點P，則由eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))得DC∥AB，且AB＝4DC.
又eq \(BE,\s\up6(→))＝2eq \(EC,\s\up6(→))，所以E為PB的中點，且eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(4,3)eq \(AD,\s\up6(→)).
于是，eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AP,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))＋\f(4,3)\(AD,\s\up6(→))))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→)).以下同法一．
法四：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系xAy，依題意可設(shè)點B(4m，0)，D(3m，3h)，E(4m，2h)，其中m＞0，h＞0.
由eq \(AE,\s\up6(→))＝req \(AB,\s\up6(→))＋seq \(AD,\s\up6(→))，得(4m，2h)＝r(4m，0)＋s(3m，3h)，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4m＝4mr＋3ms，,2h＝3hs，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(r＝\f(1,2)，,s＝\f(2,3)，))
所以2r＋3s＝1＋2＝3.
題型三 平面向量共線定理的應(yīng)用
【題型要點】求解向量共線問題的注意事項
(1)向量共線的充要條件中，當(dāng)兩向量共線時，通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，注意待定系數(shù)法和方程思想的運用.
(2)證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點時，才能得到三點共線．
(3)若a與b不共線且λa＝μb，則λ＝μ＝0.
(4)直線的向量式參數(shù)方程，A，P，B三點共線?eq \(OP,\s\up6(→))＝(1－t)eq \(OA,\s\up6(→))＋teq \(OB,\s\up6(→))(O為平面內(nèi)任一點，t∈R)．
eq \(OA,\s\up6(→))＝λeq \(OB,\s\up6(→))＋μeq \(OC,\s\up6(→))(λ，μ為實數(shù))，若A，B，C三點共線，則λ＋μ＝1.
命題角度1 證明向量共線或三點共線
【例1】已知平面內(nèi)一點P及△ABC，若eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))，則點P與△ABC的位置關(guān)系是( )
A．點P在線段AB上 B．點P在線段BC上
C．點P在線段AC上 D．點P在△ABC外部
【答案】C
【解析】因為eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(PB,\s\up6(→))－eq \(PA,\s\up6(→))，所以eq \(PC,\s\up6(→))＝－2eq \(PA,\s\up6(→))，所以A，P，C三點共線，且P是線段AC的三等分點(靠近A)．
【升華】證明向量共線：對于向量a，b，若存在實數(shù)λ，使a＝λb(b≠0)，則a與b共線．
命題角度2 由向量共線求參數(shù)的值
【例2】(2020·安徽合肥一中高考模擬)如圖，在平行四邊形ABCD中，M，N分別為AB，AD上的點，且eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(4,5)eq \(AB,\s\up6(→))，連接AC，MN交于點P，若eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(4,11)eq \(AC,\s\up6(→))，則點N在AD上的位置為( )
A．AD中點
B．AD上靠近點D的三等分點
C．AD上靠近點D的四等分點
D．AD上靠近點D的五等分點
【答案】B
【解析】設(shè)eq \(AD,\s\up6(→))＝λeq \(AN,\s\up6(→))，因為eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(4,11)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(4,11)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＝eq \f(4,11)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)\(AM,\s\up6(→))＋λ\(AN,\s\up6(→))))＝eq \f(5,11)eq \(AM,\s\up6(→))＋eq \f(4λ,11)eq \(AN,\s\up6(→))，又M，N，P三點共線，所以eq \f(5,11)＋eq \f(4λ,11)＝1，解得λ＝eq \f(3,2)，所以eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))，所以點N在AD上靠近點D的三等分點．
【升華】求參數(shù)的值：利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值．
命題角度3 證明三點共線
【例3】(2020·江西吉安一中、新余一中等八所中學(xué)聯(lián)考)設(shè)兩個非零向量a與b不共線．
(1)若eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq \(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq \(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，求證：A，B，D三點共線；
(2)試確定實數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線．
【答案】見解析
【解析】 (1)證明：因為eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq \(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq \(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，所以eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5eq \(AB,\s\up6(→))，
所以eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))共線，又它們有公共點B，
所以A，B，D三點共線．
(2)因為ka＋b與a＋kb共線，
所以存在實數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，
即(k－λ)a＝(λk－1)b.
又a，b是兩個不共線的非零向量，
所以k－λ＝λk－1＝0.所以k2－1＝0.
所以k＝±1.
【規(guī)律】證明三點共線：若存在實數(shù)λ，使eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(AC,\s\up6(→))，則A，B，C三點共線．
題型四 共線定理的推廣與應(yīng)用
【題型要點】
一、共線定理：已知eq \(PA,\s\up6(→))，eq \(PB,\s\up6(→))為平面內(nèi)兩個不共線的向量，設(shè)eq \(PC,\s\up6(→))＝xeq \(PA,\s\up6(→))＋yeq \(PB,\s\up6(→))，則A，B，C三點共線的充要條件為x＋y＝1.
二、推廣形式：如圖所示，直線DE∥AB，C為直線DE上任一點，設(shè)eq \(PC,\s\up6(→))＝xeq \(PA,\s\up6(→))＋yeq \(PB,\s\up6(→))(x，y∈R)．
當(dāng)直線DE不過點P時，直線PC與直線AB的交點記為F，因為點F在直線AB上，所以由三點共線結(jié)論可知，若eq \(PF,\s\up6(→))＝λeq \(PA,\s\up6(→))＋μeq \(PB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則λ＋μ＝1.由△PAB與△PED相似，知必存在一個常數(shù)m∈R，使得eq \(PC,\s\up6(→))＝m eq \(PF,\s\up6(→))，則eq \(PC,\s\up6(→))＝meq \(PF,\s\up6(→))＝mλeq \(PA,\s\up6(→))＋mμeq \(PB,\s\up6(→)).
又eq \(PC,\s\up6(→))＝xeq \(PA,\s\up6(→))＋yeq \(PB,\s\up6(→))(x，y∈R)，
所以x＋y＝mλ＋mμ＝m.
以上過程可逆．
因此得到結(jié)論：eq \(PC,\s\up6(→))＝xeq \(PA,\s\up6(→))＋yeq \(PB,\s\up6(→))，
則x＋y＝m(定值)，反之亦成立．
【例1】(2020·江西上饒重點中學(xué)六校聯(lián)考)如圖所示，A，B，C是圓O上的三點，線段CO的延長線與BA的延長線交于圓O外一點D，若eq \(OC,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))，則m＋n的取值范圍是________．
【答案】 (－1，0)
【解析】 由點D是圓O外的一點，可設(shè)eq \(BD,\s\up6(→))＝λeq \(BA,\s\up6(→))(λ＞1)，則eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋λeq \(BA,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋(1－λ)eq \(OB,\s\up6(→)).因為C，O，D三點共線，令eq \(OD,\s\up6(→))＝－μeq \(OC,\s\up6(→))(μ＞1)，所以eq \(OC,\s\up6(→))＝－eq \f(λ,μ)eq \(OA,\s\up6(→))－eq \f(1－λ,μ)·eq \(OB,\s\up6(→))(λ＞1，μ＞1)．因為eq \(OC,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))，所以m＝－eq \f(λ,μ)，n＝－eq \f(1－λ,μ)，則m＋n＝－eq \f(λ,μ)－eq \f(1－λ,μ)＝－eq \f(1,μ)∈(－1，0)．
【例2】 如圖，在扇形OAB中，∠AOB＝eq \f(π,3)，C為弧AB上的動點，若eq \(OC,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))，則x＋3y的取值范圍是________．
【答案】 [1，3]
【解析】 eq \(OC,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋3yeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(OB,\s\up6(→)),3)))，如圖，作eq \(OB′,\s\up6(→))＝eq \f(\(OB,\s\up6(→)),3)，則考慮以向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB′,\s\up6(→))為基底．顯然，當(dāng)C在A點時，經(jīng)過m＝1的平行線，當(dāng)C在B點時，經(jīng)過m＝3的平行線，這兩條
線分別是最近與最遠(yuǎn)的平行線，所以x＋3y的取值范圍是[1，3]．
二、高效訓(xùn)練突破
一、選擇題
1．設(shè)a0為單位向量，①若a為平面內(nèi)的某個向量，則a＝|a|a0；②若a與a0平行，則a＝|a|a0；③若a與a0平行且|a|＝1，則a＝a0.上述命題中，假命題的個數(shù)是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】D.
【解析】：向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命題；若a與a0平行，則a與a0的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時a＝－|a|a0，故②③也是假命題．綜上所述，假命題的個數(shù)是3.
2．設(shè)a，b都是非零向量，下列四個條件中，使eq \f(a,|a|)＝eq \f(b,|b|)成立的充分條件是( )
A．a(chǎn)＝－b B．a(chǎn)∥b
C．a(chǎn)＝2b D．a(chǎn)∥b且|a|＝|b|
【答案】C.
【解析】：因為向量eq \f(a,|a|)的方向與向量a相同，向量eq \f(b,|b|)的方向與向量b相同，且eq \f(a,|a|)＝eq \f(b,|b|)，所以向量a與向量b方向相同，故可排除選項A，B，D.當(dāng)a＝2b時，eq \f(a,|a|)＝eq \f(2b,|2b|)＝eq \f(b,|b|)，故“a＝2b”是“eq \f(a,|a|)＝eq \f(b,|b|)”成立的充分條件．
3.已知向量a，b不共線，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c與d反向共線，則實數(shù)λ的值為( )
A．1 B．－eq \f(1,2)
C．1或－eq \f(1,2) D．－1或－eq \f(1,2)
【答案】B
【解析】由于c與d反向共線，則存在實數(shù)k使c＝kd(k

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