TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc20517" 一、題型全歸納 PAGEREF _Tc20517 1
\l "_Tc17147" 題型一 導數(shù)的運算 PAGEREF _Tc17147 1
\l "_Tc24148" 命題角度一 求已知函數(shù)的導數(shù) PAGEREF _Tc24148 1
\l "_Tc4330" 命題角度二 求抽象函數(shù)的導數(shù)值 PAGEREF _Tc4330 3
\l "_Tc2741" 題型二 導數(shù)的幾何意義 PAGEREF _Tc2741 4
\l "_Tc19037" 命題角度一 求切線方程 PAGEREF _Tc19037 4
\l "_Tc7992" 命題角度二 求切點坐標 PAGEREF _Tc7992 5
\l "_Tc21602" 命題角度三 已知切線方程(或斜率)求參數(shù)值 PAGEREF _Tc21602 6
\l "_Tc3110" 命題角度四 導數(shù)與函數(shù)的圖象 PAGEREF _Tc3110 7
\l "_Tc18371" 二、高效訓練突破 PAGEREF _Tc18371 8
一、題型全歸納
題型一 導數(shù)的運算
命題角度一 求已知函數(shù)的導數(shù)
【題型要點】1．謹記一個原則
先化簡解析式，使之變成能用求導公式求導的函數(shù)的和、差、積、商，再求導．
2．熟記求導函數(shù)的五種形式及解法
(1)連乘積形式：先展開化為多項式的形式，再求導．
(2)分式形式：觀察函數(shù)的結構特征，先化為整式函數(shù)或較為簡單的分式函數(shù)，再求導；
(3)對數(shù)形式：先化為和、差的形式，再求導；
(4)根式形式：先化為分數(shù)指數(shù)冪的形式，再求導；
(5)三角形式：先利用三角函數(shù)公式轉化為和或差的形式，再求導．
3．求復合函數(shù)的導數(shù)的一般步驟
(1)確定復合關系．注意內層函數(shù)通常為一次函數(shù)．
(2)由外向內逐層求導．
【例1】求下列函數(shù)的導數(shù)：
(1)y＝(2x2－1)(3x＋1)；
(2)y＝x－sin2xcs2x；
(3)y＝excsx；
(4)y＝eq \f(ln ?2x＋1?,x).
(5)y＝ln x＋eq \f(1,x)
(6)y＝eq \f(sinx,x)
(7)y＝(x2＋2x－1)e2－x.
【解】(1)因為y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1，
所以y′＝18x2＋4x－3.
(2)因為y＝x－sin2xcs2x，所以y＝x－eq \f(1,2)sin4x，
所以y′＝1－eq \f(1,2)cs4x×4＝1－2cs4x.
(3)y′＝(excsx)′＝(ex)′csx＋ex(csx)′＝excsx－exsinx＝ex(csx－sinx)．
(4)y′＝＝eq \f([ln ?2x＋1?]′x－x′ln ?2x＋1?,x2)＝eq \f(\f(?2x＋1?′,2x＋1)·x－ln ?2x＋1?,x2)＝eq \f(\f(2x,2x＋1)－ln ?2x＋1?,x2)
＝eq \f(2x－?2x＋1?ln ?2x＋1?,?2x＋1?x2).
(5)y′＝.
(6)y′＝＝eq \f(?sinx?′x－sinx·x′,x2)＝eq \f(xcsx－sinx,x2).
(7)y′＝(x2＋2x－1)′e2－x＋(x2＋2x－1)(e2－x)′＝(2x＋2)e2－x＋(x2＋2x－1)(－e2－x)＝(3－x2)e2－x.
命題角度二 求抽象函數(shù)的導數(shù)值
【題型要點】對解析式中含有導數(shù)值的函數(shù)，即解析式類似f(x)＝f′(x0)g(x)＋h(x)(x0為常數(shù))的函數(shù)，解決這類問題的關鍵是明確f′(x0)是常數(shù)，其導數(shù)值為0.因此先求導數(shù)f′(x)，令x＝x0，即可得到f′(x0)的值，進而得到函數(shù)解析式，求得所求導數(shù)值．
【例2】(2020·華中師范大學第一附中模擬)設函數(shù)f(x)的導數(shù)為f′(x)，且，則f′(1)＝________.
【答案】0
【解析】因為，所以.
所以.解得＝－1.所以f′(x)＝3x2－2x－1，所以f′(1)＝0.
【例2】已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f′(x)，且滿足關系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，則f′(2)＝ ．
【答案】－eq \f(9,4)
【解析】因為f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，所以f′(x)＝2x＋3f′(2)＋eq \f(1,x)，所以f′(2)＝4＋3f′(2)＋eq \f(1,2)＝3f′(2)＋eq \f(9,2)，所以f′(2)＝－eq \f(9,4).
題型二 導數(shù)的幾何意義
命題角度一 求切線方程
【題型要點】求切線方程問題的兩種類型及方法
(1)求“在”曲線y＝f(x)上一點P(x0，y0)處的切線方程：點P(x0，y0)為切點，切線斜率為k＝f′(x0)，有唯一的一條切線，對應的切線方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0)．.
(2)求“過”曲線y＝f(x)上一點P(x0，y0)的切線方程：切線經過點P，點P可能是切點，也可能不是切點，這樣的直線可能有多條，解決問題的關鍵是設切點，利用“待定切點法”，即：
①設切點A(x1，y1)，則以A為切點的切線方程為y－y1＝f′(x1)(x－x1)；
②根據(jù)題意知點P(x0，y0)在切線上，點A(x1，y1)在曲線y＝f(x)上，得到方程組eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y1＝f?x1?，,y0－y1＝f′?x1??x0－x1?，))求出切點A(x1，y1)，代入方程y－y1＝f′(x1)(x－x1)，化簡即得所求的切線方程．
【例1】（2020年新課標全國3卷(理)）若直線l與曲線y=和x2+y2=都相切，則l的方程為（ ）
A. y=2x+1B. y=2x+C. y=x+1D. y=x+
【答案】D
【解析】設直線在曲線上的切點為，則，
函數(shù)的導數(shù)為，則直線的斜率，
設直線的方程為，即，
由于直線與圓相切，則，
兩邊平方并整理得，解得，（舍），
則直線的方程為，即.故選：D.
【例2】（2020年新課標全國1卷.6（理））函數(shù)的圖像在點處的切線方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】，，，，
因此，所求切線的方程為，即.故選：B.
命題角度二 求切點坐標
【題型要點】求切點坐標的思路
已知切線方程(或斜率)求切點的一般思路是先求函數(shù)的導數(shù)，再讓導數(shù)等于切線的斜率，從而求出切點的橫坐標，將橫坐標代入函數(shù)解析式求出切點的縱坐標．
【例3】(2020·廣州模擬)設函數(shù)f(x)＝x3＋ax2，若曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線方程為x＋y＝0，則點P的坐標為( )
A．(0,0) B．(1，－1)
C．(－1,1) D．(1，－1)或(－1,1)
【答案】D
【解析】f′(x)＝(x3＋ax2)′＝3x2＋2ax，
由題意得f′(x0)＝－1，x0＋f(x0)＝0，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x\\al(2,0)＋2ax0＝－1， ①,x0＋x\\al(3,0)＋ax\\al(2,0)＝0， ②))
由①知x0≠0，故②可化為1＋xeq \\al(2,0)＋ax0＝0，所以ax0＝－1－xeq \\al(2,0)代入①得3xeq \\al(2,0)＋2(－1－xeq \\al(2,0))＝－1，即xeq \\al(2,0)＝1，
解得x0＝±1.
當x0＝1時，a＝－2，f(x0)＝xeq \\al(3,0)＋axeq \\al(2,0)＝－1；
當x0＝－1時，a＝2，f(x0)＝xeq \\al(3,0)＋axeq \\al(2,0)＝1，
所以點P的坐標為(1，－1)或(－1,1)．
【例4】(2019·高考江蘇卷)在平面直角坐標系xOy中，點A在曲線y＝ln x上，且該曲線在點A處的切線經過點(－e，－1)(e為自然對數(shù)的底數(shù))，則點A的坐標是________．
【答案】(e，1)
【解析】設A(x0，ln x0)，又y′＝eq \f(1,x)，則曲線y＝ln x在點A處的切線方程為y－ln x0＝eq \f(1,x0)(x－x0)，將(－e，－1)代入得，－1－ln x0＝eq \f(1,x0)(－e－x0)，化簡得ln x0＝eq \f(e,x0)，解得x0＝e，則點A的坐標是(e，1)．
命題角度三 已知切線方程(或斜率)求參數(shù)值
【題型要點】處理與切線有關的參數(shù)問題，通常根據(jù)曲線、切線、切點的三個關系列出參數(shù)的方程并解出參數(shù)：抓住以下三點
①切點處的導數(shù)是切線的斜率；
②切點在切線上；
③切點在曲線上．
【例5】(2020·高考全國卷Ⅲ（文）)設函數(shù)．若，則a=_________．
【答案】1
【解析】由函數(shù)的解析式可得：，
則：，據(jù)此可得：，
整理可得：，解得：.
故答案為：.
【例6】(2020·鄭州市第一次質量預測)已知函數(shù)f(x)＝ln x－ax(a∈R)的圖象與直線x＋y＋1＝0相切，則實數(shù)a的值為________．
【答案】2
【解析】設直線x＋y＋1＝0與函數(shù)f(x)＝ln x－ax的圖象的切點為P(x0，y0)，因為f′(x)＝eq \f(1,x)－a，所以由題意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＋y0＋1＝0,f′（x0）＝\f(1,x0)－a＝－1,f（x0）＝ln x0－ax0＝y(tǒng)0))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝1,y0＝－2,a＝2)).
命題角度四 導數(shù)與函數(shù)的圖象
【題型要點】函數(shù)圖象在每一點處的切線斜率的變化情況反映函數(shù)圖象在相應點處的變化情況，由切線的傾斜程度可以判斷出函數(shù)圖象升降的快慢．
【例7】函數(shù)y＝f(x)的導函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝f(x)的圖象可能是( )

【答案】D
【解析】不妨設導函數(shù)y＝f′(x)的零點依次為x1，x2，x3，其中x10)，所以y′＝eq \f(a,x)＋2x≥2eq \r(2a)，因為曲線的切線的傾斜角的取值范圍是，所以斜率k≥eq \r(3)，因此eq \r(3)＝2eq \r(2a)，所以a＝eq \f(3,8).故選B.
5．(2020·寧夏中衛(wèi)月考)函數(shù)y＝f(x)的圖象在點P(5，f(5))處的切線方程是y＝－x＋8，則f(5)＋f′(5)＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】B
【解析】由條件知f′(5)＝－1，又在點P處的切線方程為y－f(5)＝－(x－5)，∴y＝－x＋5＋f(5)，即y＝－x＋8，∴5＋f(5)＝8，∴f(5)＝3，∴f(5)＋f′(5)＝2.
6.(2020·太原模擬)已知函數(shù)f(x)＝xln x＋a的圖象在x＝e處的切線經過原點，則f(1)＝( )
A．e B.eq \f(1,e)
C．1 D．0
【答案】A
【解析】由題意，得f′(x)＝ln x＋1.所以f′(e)＝ln e＋1＝2，f(e)＝e＋a.所以函數(shù)f(x)的圖象在x＝e處的切線方程為y＝2(x－e)＋e＋a.因為此切線經過原點，所以2(－e)＋e＋a＝0，解得a＝e.所以f(1)＝a＝e.
7．(2020·青島模擬)已知f1(x)＝sinx＋csx，fn＋1(x)是fn(x)的導函數(shù)，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，則f2022(x)＝( )
A．－sinx－csx B．sinx－csx
C．－sinx＋csx D．sinx＋csx
【答案】C
【解析】∵f1(x)＝sinx＋csx，∴f2(x)＝f1′(x)＝csx－sinx，∴f3(x)＝f2′(x)＝－sinx－csx，∴f4(x)＝f3′(x)＝－csx＋sinx，∴f5(x)＝f4′(x)＝sinx＋csx，∴fn(x)是以4為周期的函數(shù)，∴f2022(x)＝f2(x)＝csx－sinx.
8.已知函數(shù)f(x)＝eq \f(4,ex＋1)＋x3＋sinx，其導函數(shù)為f′(x)，則f(2020)＋f′(2020)＋f(－2020)－f′(－2020)的值為( )
A．4040 B．4
C．2 D．0
【答案】B
【解析】函數(shù)f(x)＝eq \f(4,ex＋1)＋x3＋sinx?f(x)＋f(－x)＝eq \f(4,ex＋1)＋eq \f(4ex,ex＋1)＝4，因為f′(x)＝－eq \f(4ex,?ex＋1?2)＋3x2＋csx為偶函數(shù)，所以f′(x)－f′(－x)＝0，所以f(2020)＋f′(2020)＋f(－2020)－f′(－2020)＝4.
9．如圖所示為函數(shù)y＝f(x)，y＝g(x)的導函數(shù)的圖象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的圖象可能是( )

【答案】D.
【解析】：由y＝f′(x)的圖象知y＝f′(x)在(0，＋∞)上單調遞減，說明函數(shù)y＝f(x)的切線的斜率在(0，＋∞)上也單調遞減，故排除A、C.又由圖象知y＝f′(x)與y＝g′(x)的圖象在x＝x0處相交，說明y＝f(x)與y＝g(x)的圖象在x＝x0處的切線的斜率相同，故排除B.
10.(2020·廣東佛山教學質量檢測(一))若曲線y＝ex在x＝0處的切線也是曲線y＝ln x＋b的切線，則b＝( )
A．－1 B．1
C．2 D．e
【答案】C
【解析】：.y＝ex的導數(shù)為y′＝ex，則曲線y＝ex在x＝0處的切線斜率k＝1，則曲線y＝ex在x＝0處的切線方程為y－1＝x，即y＝x＋1.y＝ln x＋b的導數(shù)為y′＝eq \f(1,x)，設切點為(m，n)，則eq \f(1,m)＝1，解得m＝1，則n＝2，即有2＝ln 1＋b，解得b＝2.故選C.
11.(2020·湖北武漢4月調研)設曲線C：y＝3x4－2x3－9x2＋4，在曲線C上一點M(1，－4)處的切線記為l，則切線l與曲線C的公共點個數(shù)為( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】C
【解析】：.y′＝12x3－6x2－18x，則y′|x＝1＝12×13－6×12－18×1＝－12，
所以曲線y＝3x4－2x3－9x2＋4在點M(1，－4)處的切線方程為y＋4＝－12(x－1)，即12x＋y－8＝0.聯(lián)立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(12x＋y－8＝0，,y＝3x4－2x3－9x2＋4，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝－4))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝32))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(2,3)，,y＝0.))
故切線與曲線C還有其他的公共點(－2，32)，，
所以切線l與曲線C的公共點個數(shù)為3.故選C.
12.(2020·安徽淮南二模)設直線l1，l2分別是函數(shù)f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－ln x，0

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