目錄
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc27691" 一、考點(diǎn)全歸納 PAGEREF _Tc27691 1
\l "_Tc32274" 二 題型全歸納 PAGEREF _Tc32274 3
\l "_Tc8773" 題型一 平面的基本性質(zhì)及其應(yīng)用 PAGEREF _Tc8773 3
\l "_Tc15721" 題型二 空間兩直線位置關(guān)系的判定 PAGEREF _Tc15721 5
\l "_Tc21623" 題型三 異面直線所成的角 PAGEREF _Tc21623 6
\l "_Tc5835" 題型四 構(gòu)造平面研究直線相交問題 PAGEREF _Tc5835 9
\l "_Tc13958" 三、高效訓(xùn)練突破 PAGEREF _Tc13958 11
一、考點(diǎn)全歸納
1．四個(gè)公理
公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．
公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．
公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線．
公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．
2．空間直線的位置關(guān)系
(1)位置關(guān)系的分類
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(共面直線\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(平行,相交)),異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)))
(2)異面直線所成的角
①定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間中任一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)；
②范圍：eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))．
(3)定理
空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．
3．空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系
(1)空間中直線與平面的位置關(guān)系
(2)空間中兩個(gè)平面的位置關(guān)系
【常用結(jié)論】
1．唯一性定理
(1)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行．
(2)過直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直．
(3)過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行．
(4)過平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直．
2．異面直線的判定定理
經(jīng)過平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線互為異面直線．
二 題型全歸納
題型一 平面的基本性質(zhì)及其應(yīng)用
【題型要點(diǎn)】1.三個(gè)公理是立體幾何的基礎(chǔ)．公理1是確定直線在平面內(nèi)的依據(jù)；公理2是利用點(diǎn)或直線確定平面的依據(jù)；公理3是確定兩個(gè)平面有一條交線的依據(jù)，同時(shí)也是證明多點(diǎn)共線、多線共點(diǎn)的依據(jù)．
2.證明點(diǎn)共線或線共點(diǎn)的問題，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為證明點(diǎn)在直線上，也就是利用公理3，證明點(diǎn)在兩個(gè)平面的交線上，或者選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明另一點(diǎn)也在該直線上．
3.共面、共線、共點(diǎn)問題的證明
(1)證明共面的方法：①先確定一個(gè)平面，然后再證其余的線(或點(diǎn))在這個(gè)平面內(nèi)；②證兩平面重合．
(2)證明共線的方法：①先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上；②直接證明這些點(diǎn)都在同一條特定直線上．
(3)證明線共點(diǎn)問題的常用方法是：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過該點(diǎn)．
【例1】在正方體ABCD-A1B1C1D1中，判斷下列說法是否正確，并說明理由．
(1)直線AC1在平面CC1B1B內(nèi)；
(2)設(shè)正方形ABCD與正方形A1B1C1D1的中心分別為O，O1，則平面AA1C1C與平面BB1D1D的交線為OO1；
(3)由點(diǎn)A，O，C可以確定一個(gè)平面；
(4)由A，C1，B1確定的平面是ADC1B1；
(5)設(shè)直線l是平面ABCD內(nèi)的直線，直線m是平面DD1C1C內(nèi)的直線，若l與m相交，則交點(diǎn)一定在直線CD上．
【例2】1.(2020·衡水中學(xué)模擬)有下列四個(gè)命題：
①空間四點(diǎn)共面，則其中必有三點(diǎn)共線；
②空間四點(diǎn)不共面，則其中任意三點(diǎn)不共線；
③空間四點(diǎn)中有三點(diǎn)共線，則此四點(diǎn)共面；
④空間四點(diǎn)中任意三點(diǎn)不共線，則此四點(diǎn)不共面．
其中真命題的所有序號(hào)有________．
題型二 空間兩直線位置關(guān)系的判定
【題型要點(diǎn)】(1)異面直線的判定方法
(2)構(gòu)造法判斷空間兩直線的位置關(guān)系
對(duì)于線面、面面平行、垂直的位置關(guān)系的判定，可構(gòu)造長(zhǎng)方體或正方體化抽象為直觀去判斷，可避免因考慮不全面而導(dǎo)致錯(cuò)誤，構(gòu)造法實(shí)質(zhì)上是結(jié)合題意構(gòu)造符合題意的直觀模型，然后將問題利用模型直觀地作出判斷，這樣減少了抽象性．
【例1】(2019·高考全國卷Ⅲ)如圖，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點(diǎn)，則( )
A．BM＝EN，且直線BM，EN是相交直線
B．BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線
C．BM＝EN，且直線BM，EN是異面直線
D．BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線
【例2】下圖中，G，N，M，H分別是正三棱柱(兩底面為正三角形的直棱柱)的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有( )
A．①③ B．②③
C．②④ D．②③④
題型三 異面直線所成的角
【題型要點(diǎn)】異面直線所成的角
1.平移法求異面直線所成角的一般步驟
(1)作角——用平移法找(或作)出符合題意的角．
(2)求角——轉(zhuǎn)化為求一個(gè)三角形的內(nèi)角，通過解三角形，求出角的大?。?br>【提醒】：異面直線所成的角θ∈(0，eq \f(π,2)]．
2．坐標(biāo)法求異面直線所成的角：當(dāng)題設(shè)中含有兩兩垂直的三邊關(guān)系時(shí)，常采用坐標(biāo)法．
【提醒】：如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；如果求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是要求的角．
【例1】在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq \r(3)，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(\r(5),6)
C.eq \f(\r(5),5) D.eq \f(\r(2),2)
【例2】如圖所示，A是△BCD所在平面外的一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)．
①求證：直線EF與BD是異面直線；
②若AC⊥BD，AC＝BD，求EF與BD所成的角．
題型四 構(gòu)造平面研究直線相交問題
【題型要點(diǎn)】(1)平面幾何和立體幾何在點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系中有很多的不同，借助確定的幾何模型，利用直觀想象討論點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系在平面和空間中的差異．
(2)本題難度不大，但比較靈活．對(duì)平面的基本性質(zhì)、空間兩條直線的位置關(guān)系的考查難度一般都不會(huì)太大．
(3)注意本題解法較多，但關(guān)鍵在于構(gòu)造平面，但不少學(xué)生不會(huì)構(gòu)造平面，因此失分較多．
【例1】設(shè)l是直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列說法正確的是( )
A．若l∥α，l∥β，則α∥β
B．若l∥α，l⊥β，則α⊥β
C．若α⊥β，l⊥α，則l⊥β
D．若α⊥β，l∥α，則l⊥β
【例2】在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1、CC1的中點(diǎn)，則在空間中與三條直線A1D1，EF，CD都相交的直線有________條．
三、高效訓(xùn)練突破
一、選擇題
1．在空間四邊形ABCD各邊AB，BC，CD，DA上分別取E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)，如果EF，GH相交于點(diǎn)P，那么( )
A．點(diǎn)P必在直線AC上
B．點(diǎn)P必在直線BD上
C．點(diǎn)P必在平面DBC內(nèi)
D．點(diǎn)P必在平面ABC外
2．如圖是正方體或四面體，P，Q，R，S分別是所在棱的中點(diǎn)，則這四個(gè)點(diǎn)不共面的一個(gè)圖是( )
3．四條線段順次首尾相連，它們最多可確定的平面?zhèn)€數(shù)有( )
A．4個(gè) B．3個(gè)
C．2個(gè) D．1個(gè)
4．已知l1，l2，l3是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是( )
A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3
B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面
D．l1，l2，l3共點(diǎn)?l1，l2，l3共面
5．如圖，ABCD-A1B1C1D1是長(zhǎng)方體，O是B1D1的中點(diǎn)，直線A1C交平面AB1D1于點(diǎn)M，則下列結(jié)論正確的是( )
A．A，M，O三點(diǎn)共線 B．A，M，O，A1不共面
C．A，M，C，O不共面 D．B，B1，O，M共面
6.(2020·廣東東莞模擬)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中點(diǎn)，則下列敘述正確的是( )
A．CC1與B1E是異面直線
B．AC⊥平面ABB1A1
C．AE，B1C1為異面直線，且AE⊥B1C1
D．A1C1∥平面AB1E
7．(2020·太原模擬)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB＝BB1，D是CC1的中點(diǎn)，則CA1與BD所成角的大小是( )
A.eq \f(π,3) B．eq \f(5π,12)
C.eq \f(π,2) D．eq \f(7π,12)
8．在各棱長(zhǎng)均相等的直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知M是棱BB1的中點(diǎn)，N是棱AC的中點(diǎn)，則異面直線A1M與BN所成角的正切值為( )
A.eq \r(3) B．1
C.eq \f(\r(6),3) D．eq \f(\r(2),2)
9．(2020·廣東深圳二模)已知正方體ABCD-A1B1C1D1，P為棱CC1上的動(dòng)點(diǎn)，Q為棱AA1的中點(diǎn)，設(shè)直線m為平面BDP與平面B1D1P的交線，則( )
A．m∥D1Q B．m∥平面B1D1Q
C．m⊥B1Q D．m⊥平面ABB1A1
10．在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是DD1和AB的中點(diǎn)，平面B1EF交棱AD于點(diǎn)P，則PE＝( )
A.eq \f(\r(15),6) B．eq \f(2\r(3),3) C.eq \f(\r(3),2) D．eq \f(\r(13),6)
11.如圖，在直二面角A-BD-C中，△ABD，△CBD均是以BD為斜邊的等腰直角三角形，取AD的中點(diǎn)E，將△ABE沿BE翻折到△A1BE，在△ABE的翻折過程中，下列不可能成立的是( )
A．BC與平面A1BE內(nèi)某直線平行
B．CD∥平面A1BE
C．BC與平面A1BE內(nèi)某直線垂直
D．BC⊥A1B
12.(2020·聊城一模)如圖，圓柱的軸截面ABCD為正方形，E為弧eq \(BC,\s\up10(︵))的中點(diǎn)，則異面直線AE與BC所成角的余弦值為( )
A.eq \f(\r(3),3) B.eq \f(\r(5),5)
C.eq \f(\r(30),6) D.eq \f(\r(6),6)二、填空題
1．如圖所示，在空間四邊形ABCD中，點(diǎn)E，H分別是邊AB，AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F，G分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且eq \f(CF,CB)＝eq \f(CG,CD)＝eq \f(2,3)，則下列說法正確的是________．
①EF與GH平行；
②EF與GH異面；
③EF與GH的交點(diǎn)M可能在直線AC上，也可能不在直線AC上；
④EF與GH的交點(diǎn)M一定在直線AC上．
2．一正方體的平面展開圖如圖所示，在這個(gè)正方體中，有下列四個(gè)命題：
①AF⊥GC；
②BD與GC成異面直線且夾角為60°；
③BD∥MN；
④BG與平面ABCD所成的角為45°.
其中正確的是________(填序號(hào))．
3．(2020·河南安陽調(diào)研四)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E∈平面AA1B1B，點(diǎn)F是線段AA1的中點(diǎn)，若D1E⊥CF，則當(dāng)△EBC的面積取得最小值時(shí)，eq \f(S△EBC,S四邊形ABCD)＝________．
4．如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，長(zhǎng)為2的線段MN的一個(gè)端點(diǎn)M在棱DD1上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在正方體的底面ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則MN的中點(diǎn)P的軌跡的面積是________．
5．(2020·西安模擬)如圖是正四面體的平面展開圖，G，H，M，N分別為DE，BE，EF，EC的中點(diǎn)，在這個(gè)正四面體中，①GH與EF平行；②BD與MN為異面直線；③GH與MN成60°角；④DE與MN垂直．以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是________．
6．如圖，E，F(xiàn)分別是三棱錐P-ABC的棱AP，BC的中點(diǎn)，PC＝10，AB＝6，EF＝7，則異面直線AB與PC所成的角為________．
三 解答題
1．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是AB和AA1的中點(diǎn)．求證：
(1)E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面；
(2)CE，D1F，DA三線共點(diǎn)．
2.如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中點(diǎn)．已知∠BAC＝eq \f(π,2)，AB＝2，AC＝2eq \r(3)，PA＝2.求：
(1)三棱錐P-ABC的體積；
(2)異面直線BC與AD所成角的余弦值．
3.已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)均為2，A1在底面ABC內(nèi)的射影O為底面三角形ABC的中心，如圖所示．
(1)連接BC1，求異面直線AA1與BC1所成角的大?。?br>(2)連接A1C，A1B，求三棱錐C1-BCA1的體積．
4.(2020·衡陽模擬)如圖，四棱錐M-ABCD中，∠CDA＝∠DAB＝90°，AB＝2DC，△MCD與△MAD都是等邊三角形，且點(diǎn)M在底而ABCD上的射影為O.
(1)證明：O為AC的中點(diǎn)；
(2)求異面直線MD與BC所成角的大小．
位置關(guān)系
圖形表示
符號(hào)表示
公共點(diǎn)
直線a在平面α內(nèi)
a?α
有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)
直線在平面外
直線a與平面α平行
a∥α
沒有公共點(diǎn)
直線a與平面α斜交
a∩α＝A
有且只有一個(gè)公共點(diǎn)
直線a與平面α垂直
a⊥α
位置關(guān)系
圖形表示
符號(hào)表示
公共點(diǎn)
兩平面平行
α∥β
沒有
公共點(diǎn)兩平面相交
斜交
α∩β＝l
有一條公共直線
垂直
α⊥β且
α∩β＝a

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