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TOC \ "1-3" \h \u 一、題型全歸納1
題型一 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算1
題型二 平面向量數(shù)量積的性質(zhì)3
命題角度一 平面向量的模3
命題角度二 平面向量的夾角4
命題角度三 兩向量垂直問題5
題型三 向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用6
命題角度一 平面向量在平面幾何中的應(yīng)用6
命題角度二 平面向量與函數(shù)、不等式的綜合應(yīng)用7
命題角度三 平面向量與解三角形的綜合應(yīng)用8
命題角度四 平面向量與解析幾何的綜合應(yīng)用10
題型四 平面向量與三角函數(shù)11
二、高效訓(xùn)練突破13
一、題型全歸納
題型一 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
【題型要點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的三種運(yùn)算方法
(1)當(dāng)已知向量的模和夾角時(shí)，可利用定義法求解，即a·b＝|a||b|cs〈a，b〉．
(2)當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時(shí)，可利用坐標(biāo)法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)利用數(shù)量積的幾何意義求解．
【易錯提醒】解決涉及幾何圖形的向量的數(shù)量積運(yùn)算問題時(shí)，可先利用向量的加、減運(yùn)算或數(shù)量積的運(yùn)算律化簡后再運(yùn)算．但一定要注意向量的夾角與已知平面幾何圖形中的角的關(guān)系是相等還是互補(bǔ)．
【例1】如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝eq \f(π,4)，若eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))，則eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝________．
【例2】(2020·西安調(diào)研)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝DA＝2，若E為BC的中點(diǎn)，則eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AE,\s\up6(→))＝( )
A.eq \r(3) B．3
C．2eq \r(3) D．12
題型二 平面向量數(shù)量積的性質(zhì)
命題角度一 平面向量的模
【題型要點(diǎn)】求向量的模的方法
(1)公式法：利用|a|＝eq \r(a·a)及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的運(yùn)算．
(2)幾何法：利用向量的幾何意義，即利用向量加、減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用余弦定理等方法求解．
【例1】已知平面向量a，b的夾角為eq \f(π,6)，且|a|＝eq \r(3)，|b|＝2，在△ABC中，eq \(AB,\s\up6(→))＝2a＋2b，eq \(AC,\s\up6(→))＝2a－6b，D為BC的中點(diǎn)，則|eq \(AD,\s\up6(→))|等于( )
A．2 B．4
C．6 D．8
【例2】．已知|a|＝2，|b|＝3，a與b的夾角為eq \f(2π,3)，且a＋b＋c＝0，則|c|＝________.
命題角度二 平面向量的夾角
【題型要點(diǎn)】(1)研究向量的夾角應(yīng)注意“共起點(diǎn)”；兩個非零共線向量的夾角可能是0°或180°；求角時(shí)，注意向量夾角的取值范圍是[0°，180°]；若題目給出向量的坐標(biāo)表示，可直接利用公式cs θ＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))·\r(xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2)))求解．
(2)數(shù)量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說明不共線的兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0說明不共線的兩向量的夾角為鈍角．
【例3】已知a，b為單位向量，且a·b＝0，若c＝2a－eq \r(5)b，則cs〈a，c〉＝________.
【例4】．已知向量a＝(λ，－6)，b＝(－1,2)，若a與b的夾角為鈍角，則λ的取值范圍是________．
命題角度三 兩向量垂直問題
【題型要點(diǎn)】(1)當(dāng)向量a與b是坐標(biāo)形式時(shí)，若證明a⊥b，則只需證明a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.
(2)當(dāng)向量a，b是非坐標(biāo)形式時(shí)，要把a(bǔ)，b用已知的不共線向量作為基底來表示，且不共線的向量要知道其模與夾角，進(jìn)行運(yùn)算證明a·b＝0.
(3)數(shù)量積的運(yùn)算a·b＝0?a⊥b是對非零向量而言的，若a＝0，雖然有a·b＝0，但不能說a⊥b.
【例5】已知向量eq \(AB,\s\up6(→))與eq \(AC,\s\up6(→))的夾角為120°，且|eq \(AB,\s\up6(→))|＝3，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝2.若eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))，且eq \(AP,\s\up6(→))⊥eq \(BC,\s\up6(→))，則實(shí)數(shù)λ的值為________．
【例6】(2020·華南師大附中一模)已知向量|eq \(OA,\s\up6(→))|＝3，|eq \(OB,\s\up6(→))|＝2，eq \(BC,\s\up6(→))＝(m－n)eq \(OA,\s\up6(→))＋(2n－m－1)eq \(OB,\s\up6(→))，若eq \(OA,\s\up6(→))與eq \(OB,\s\up6(→))的夾角為60°，且eq \(OC,\s\up6(→))⊥eq \(AB,\s\up6(→))，則實(shí)數(shù)eq \f(m,n)的值為( )
A.eq \f(8,7) B.eq \f(4,3)
C.eq \f(6,5) D.eq \f(1,6)
題型三 向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用
命題角度一 平面向量在平面幾何中的應(yīng)用
【題型要點(diǎn)】向量與平面幾何綜合問題的解法
(1)坐標(biāo)法
把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，則有關(guān)點(diǎn)與向量就可以用坐標(biāo)表示，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而使問題得到解決．
(2)基向量法
適當(dāng)選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量間的關(guān)系構(gòu)造關(guān)于未知量的方程進(jìn)行求解．
【例1】(2020·開封模擬)已知eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))是非零向量，且滿足(eq \(AB,\s\up6(→))－2eq \(AC,\s\up6(→)))⊥eq \(AB,\s\up6(→))，(eq \(AC,\s\up6(→))－2eq \(AB,\s\up6(→)))⊥eq \(AC,\s\up6(→))，則△ABC的形狀為( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等邊三角形 D．等腰直角三角形
【例2】已知O是平面上的一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個動點(diǎn)，若動點(diǎn)P滿足eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋λ(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))，λ∈(0，＋∞)，則點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的( )
A．內(nèi)心 B．外心
C．重心 D．垂心
命題角度二 平面向量與函數(shù)、不等式的綜合應(yīng)用
【題型要點(diǎn)】通過向量的數(shù)量積運(yùn)算把向量運(yùn)算轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)運(yùn)算，再結(jié)合函數(shù)、不等式的知識解決，同時(shí)也要注意平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算在這方面的應(yīng)用．
【例3】已知向量a，b為單位向量，且a·b＝－eq \f(1,2)，向量c與a＋b共線，則|a＋c|的最小值為________．
命題角度三 平面向量與解三角形的綜合應(yīng)用
【題型要點(diǎn)】(1)解決平面向量與三角函數(shù)的交匯問題，關(guān)鍵是準(zhǔn)確利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算化簡已知條件，將其轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)中的有關(guān)問題解決．
(2)還應(yīng)熟練掌握向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式、幾何意義、向量模、夾角的坐標(biāo)運(yùn)算公式以及三角恒等變換、正、余弦定理等知識．
【例4】已知在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cs B，cs A)，m·n＝sin 2C.
(1)求角C的大??；
(2)若sin A，sin C，sin B成等差數(shù)列，且eq \(CA,\s\up6(→))·(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＝18，求c.
命題角度四 平面向量與解析幾何的綜合應(yīng)用
【題型要點(diǎn)】向量在解析幾何中的2個作用
【例6】若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(FP,\s\up6(→))的最大值為________．
【例7】已知F為雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)，定點(diǎn)A為雙曲線虛軸的一個端點(diǎn)，過F，A兩點(diǎn)的直線與雙曲線的一條漸近線在y軸右側(cè)的交點(diǎn)為B，若eq \(AB,\s\up6(→))＝3eq \(FA,\s\up6(→))，則此雙曲線的離心率為________．
題型四 平面向量與三角函數(shù)
【題型要點(diǎn)】平面向量與三角函數(shù)的綜合問題
(1)題目條件給出的向量坐標(biāo)中含有三角函數(shù)的形式，運(yùn)用向量共線或垂直或等式成立等，得到三角函數(shù)的關(guān)系式，然后求解．
(2)給出用三角函數(shù)表示的向量坐標(biāo)，要求的是向量的?；蛘咂渌蛄康谋磉_(dá)形式，解題思路是經(jīng)過向量的運(yùn)算，利用三角函數(shù)在定義域內(nèi)的有界性，求得值域等．
【例1】(2020·江西上饒重點(diǎn)中學(xué)六校聯(lián)考)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量m＝(cs(A－B)，sin(A－B))，n＝(cs B，－sin B)，且m·n＝－eq \f(3,5).
(1)求sin A的值；
(2)若a＝4eq \r(2)，b＝5，求角B的大小及向量eq \(BA,\s\up6(→))在eq \(BC,\s\up6(→))方向上的投影．
【例2】已知兩個不共線的向量a，b滿足a＝(1，eq \r(3))，b＝(cs θ，sin θ)，θ∈R.
(1)若2a－b與a－7b垂直，求|a＋b|的值；
(2)當(dāng)θ∈時(shí)，若存在兩個不同的θ，使得|a＋eq \r(3)b|＝|ma|成立，求正數(shù)m的取值范圍．
二、高效訓(xùn)練突破
一、選擇題
1．已知eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，3)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(3，t)，|eq \(BC,\s\up6(→))|＝1，則eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝( )
A．－3 B．－2
C．2 D．3
2.已知非零向量a，b滿足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，則a與b的夾角為( )
A.eq \f(π,6) B．eq \f(π,3)
C.eq \f(2π,3) D．eq \f(5π,6)
3．(2020·河北衡水模擬三)已知向量a＝(1，k)，b＝(2，4)，則“k＝－eq \f(1,2)”是“|a＋b|2＝a2＋b2”的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
4.(2020·河南安陽二模)如圖所示，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝AD＝4，CD＝8.若eq \(CE,\s\up6(→))＝－7eq \(DE,\s\up6(→))，3eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \(FC,\s\up6(→))，則eq \(AF,\s\up6(→))·eq \(BE,\s\up6(→))＝( )
A．11 B．10
C．－10 D．－11
5．已知向量|eq \(OA,\s\up6(→))|＝3，|eq \(OB,\s\up6(→))|＝2，eq \(OC,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))，若eq \(OA,\s\up6(→))與eq \(OB,\s\up6(→))的夾角為60°，且eq \(OC,\s\up6(→))⊥eq \(AB,\s\up6(→))，則實(shí)數(shù)eq \f(m,n)的值為( )
A.eq \f(1,6) B．eq \f(1,4)
C．6 D．4
6.(2020·漯河高級中學(xué)月考)已知向量a＝(－2，m)，b＝(1,2)，若向量a在向量b方向上的投影為2，則實(shí)數(shù)m＝( )
A．－4 B．－6
C．4 D.eq \r(5)＋1
7．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c與a的夾角等于c與b的夾角，則m＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
8．(2020·黑龍江大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)高考模擬)在矩形ABCD中，AB＝eq \r(2)，BC＝2，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上，若eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \r(2)，則eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(BF,\s\up6(→))的值為( )
A.eq \r(2) B．2
C．0 D．1
9．(2020·南昌模擬)已知a＝(csα，sinα)，b＝(cs(－α)，sin(－α))，那么a·b＝0是α＝kπ＋eq \f(π,4)(k∈Z)的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
10.(2020·天津市寧河區(qū)蘆臺第一中學(xué)高考模擬)如圖所示，等邊△ABC的邊長為2，D為邊AC上的一點(diǎn)，且eq \(AD,\s\up6(→))＝λeq \(AC,\s\up6(→))，△ADE也是等邊三角形，若eq \(BE,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(44,9)，則λ的值是( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(\r(3),3)
C.eq \f(3,4) D.eq \f(1,3)
11.(2020·安徽滁州一模)△ABC中，AB＝5，AC＝10，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝25，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)(包括邊界)的一動點(diǎn)，且eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(3,5)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(2,5)λeq \(AC,\s\up6(→))(λ∈R)，則|eq \(AP,\s\up6(→))|的最大值是( )
A.eq \f(3\r(3),2) B．eq \r(37)
C.eq \r(39) D．eq \r(41)
12.(2020·廣東廣雅中學(xué)模擬)如圖所示，等邊△ABC的邊長為2，AM∥BC，且AM＝6.若N為線段CM的中點(diǎn)，則eq \(AN,\s\up6(→))·eq \(BM,\s\up6(→))＝( )
A．24 B．23 C．22 D．18
二、填空題
1．(2020·河南鄭州一模)已知e1，e2為單位向量且夾角為eq \f(2π,3)，設(shè)a＝3e1＋2e2，b＝3e2，則a在b方向上的投影為________．
2．(2020·江西臨川九校3月聯(lián)考)已知平面向量a＝(2m－1，2)，b＝(－2，3m－2)，且a⊥b，則|2a－3b|＝________．
3．(2020·石家莊質(zhì)量檢測(一))已知eq \(AB,\s\up6(→))與eq \(AC,\s\up6(→))的夾角為90°，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝2，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝1，eq \(AM,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，且eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，則eq \f(λ,μ)的值為________．
4.已知eq \(AB,\s\up6(→))＝(cs23°，cs67°)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(2cs68°，2cs22°)，則△ABC的面積為________．
5.(2020·青島摸底)已知向量a，b的夾角為60°，|a|＝1，|b|＝2，若(a＋λb)∥(2a＋b)，則λ＝________；若(a＋μb)⊥(2a＋b)，則μ＝________.
6.已知eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝1，|eq \(BC,\s\up6(→))|＝2，eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝0，則|eq \(BD,\s\up6(→))|的最大值為________．
三 解答題
1．已知向量m＝(sin α－2，－cs α)，n＝(－sin α，cs α)，其中α∈R.
(1)若m⊥n，求角α；
(2)若|m－n|＝eq \r(2)，求cs 2α的值．
2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1)．
(1)求以線段AB，AC為鄰邊的平行四邊形兩條對角線的長；
(2)設(shè)實(shí)數(shù)t滿足(eq \(AB,\s\up6(→))－teq \(OC,\s\up6(→)))·eq \(OC,\s\up6(→))＝0，求t的值．
3.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，已知向量m＝(cs B，2cs2 eq \f(C,2)－1)，n＝(c，b－2a)，且m·n＝0.
(1)求∠C的大??；
(2)若點(diǎn)D為邊AB上一點(diǎn)，且滿足eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(DB,\s\up6(→))，|eq \(CD,\s\up6(→))|＝eq \r(7)，c＝2eq \r(3)，求△ABC的面積．
4.已知向量a＝(sinθ，csθ－2sinθ)，b＝(1,2)．
(1)若a∥b，求eq \f(sinθ·csθ,1＋3cs2θ)的值；
(2)若|a|＝|b|,0

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