【考綱要求】
1.能根據(jù)兩條直線的斜率判斷這兩條直線平行或垂直．
2.能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo)．
3.掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行直線間的距離
【命題趨勢】
確定兩條直線的位置關(guān)系，已知兩條直線的位置關(guān)系求參數(shù)，求直線的交點(diǎn)和點(diǎn)到直線的距離，對(duì)稱問題，過定點(diǎn)的直線系問題
【核心素養(yǎng)】
本講內(nèi)容主要考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)
【素養(yǎng)清單?基礎(chǔ)知識(shí)】
1．兩條直線平行與垂直的判定
(1)兩條直線平行
①對(duì)于兩條不重合的直線l1，l2，若其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1∥l2?k1＝k2.
②當(dāng)直線l1，l2不重合且斜率都不存在時(shí)，l1∥l2.
(2)兩條直線垂直
①如果兩條直線l1，l2的斜率存在，
設(shè)為k1，k2，則有l(wèi)1⊥l2?k1·k2＝－1.
②當(dāng)其中一條直線的斜率不存在，而另一條直線的斜率為0時(shí)，l1⊥l2.
2．兩條直線的交點(diǎn)的求法
直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，則l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．
3．三種距離公式
【素養(yǎng)清單?常用結(jié)論】
(1)與直線Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直或平行的直線方程可設(shè)為：
①垂直：Bx－Ay＋m＝0；
②平行：Ax＋By＋n＝0.
(2)與對(duì)稱問題相關(guān)的四個(gè)結(jié)論：
①點(diǎn)(x，y)關(guān)于點(diǎn)(a，b)的對(duì)稱點(diǎn)為(2a－x,2b－y)．
②點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線x＝a的對(duì)稱點(diǎn)為(2a－x，y)，關(guān)于直線y＝b的對(duì)稱點(diǎn)為(x,2b－y)．
③點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)為(y，x)，關(guān)于直線y＝－x的對(duì)稱點(diǎn)為(－y，－x)．
④點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線x＋y＝k的對(duì)稱點(diǎn)為(k－y，k－x)，關(guān)于直線x－y＝k的對(duì)稱點(diǎn)為
(k＋y，x－k)．
【真題體驗(yàn)】
1．已知l1的傾斜角為45°，l2經(jīng)過點(diǎn)P(－2，－1)，Q(3，m)，若l1⊥l2，則實(shí)數(shù)m＝( )
A．6 B．－6
C．5 D．－5
【答案】B
【解析】由已知得k1＝1，k2＝eq \f(m＋1,5).因?yàn)閘1⊥l2，所以k1k2＝－1，所以1×eq \f(m＋1,5)＝－1，即m＝－6.
2．(2018·北京卷)在平面直角坐標(biāo)系中，記d為點(diǎn)P(cs θ，sin θ)到直線x－my－2＝0的距離．當(dāng)θ，m變化時(shí)，d的最大值為( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】C
【解析】易知d＝eq \f(|cs θ－msin θ－2|,\r(m2＋1))＝eq \f(|msin θ－cs θ＋2|,\r(m2＋1))＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\r(m2＋1)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m,\r(m2＋1)) sin θ－\f(1,\r(m2＋1)) cs θ))＋2)),\r(m2＋1))＝
eq \f(|\r(m2＋1)sin?θ－φ?＋2|,\r(m2＋1))(其中cs φ＝eq \f(m,\r(m2＋1))，sin φ＝eq \f(1,\r(m2＋1)))，因?yàn)椋?≤sin(θ－φ)≤1，所以eq \f(|2－\r(m2＋1)|,\r(m2＋1))≤d≤eq \f(\r(m2＋1)＋2,\r(m2＋1))，eq \f(\r(m2＋1)＋2,\r(m2＋1))＝1＋eq \f(2,\r(m2＋1))，所以當(dāng)m＝0時(shí)，d取得最大值3，故選C.
3．點(diǎn)(a，b)關(guān)于直線x＋y＋1＝0的對(duì)稱點(diǎn)是( )
A．(－a－1，－b－1) B．(－b－1，－a－1)
C．(－a，－b) D．(－b，－a)
【答案】B
【解析】 設(shè)對(duì)稱點(diǎn)為(x′，y′)，則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y′－b,x′－a)×?－1?＝－1，,\f(x′＋a,2)＋\f(y′＋b,2)＋1＝0，))
解得x′＝－b－1，y′＝－a－1.
4．(2019·哈爾濱三中期末)已知直線l1的方程為3x＋4y－7＝0，直線l2的方程為6x＋8y＋1＝0，則直線l1與l2的距離為__________．
【答案】 eq \f(3,2)
【解析】 直線l1的方程為3x＋4y－7＝0，直線l2的方程為6x＋8y＋1＝0，
即3x＋4y＋eq \f(1,2)＝0，所以直線l1與l2的距離為eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋7)),\r(32＋42))＝eq \f(3,2).
【考法拓展?題型解碼】
考法一 兩條直線的位置關(guān)系
誤區(qū)防范
判斷兩條直線平行與垂直的注意點(diǎn)
(1)當(dāng)直線方程中存在字母參數(shù)時(shí)，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況．同時(shí)還要注意x，y的系數(shù)不能同時(shí)為零這一隱含條件．
(2)在判斷兩直線平行、垂直時(shí)，也可直接利用直線方程系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論．
【例1】 (1)已知過點(diǎn)A(－2，m)和點(diǎn)B(m,4)的直線為l1，直線2x＋y－1＝0為l2，直線x＋ny＋1＝0為l3.若l1∥l2，l2⊥l3，則實(shí)數(shù)m＋n的值為( )
A．－10 B．－2
C．0 D．8
【答案】 A
【解析】 因?yàn)閘1∥l2，所以eq \f(4－m,m＋2)＝－2(m≠－2)，解得m＝－8(經(jīng)檢驗(yàn)，l1與l2不重合)．因?yàn)閘2⊥l3，所以2×1＋1×n＝0，即n＝－2.
所以m＋n＝－10.
(2)已知兩直線l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，試確定m，n的值，使①l1與l2相交于點(diǎn)P(m，－1)；②l1∥l2；③l1⊥l2，且l1在y軸上的截距為－1.
【答案】見解析
【解析】①由題意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－8＋n＝0，,2m－m－1＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝1，,n＝7.))
②因?yàn)閘1∥l2，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－16＝0，,－m－2n≠0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝4，,n≠－2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－4，,n≠2.))
③當(dāng)且僅當(dāng)2m＋8m＝0，即m＝0時(shí)，l1⊥l2.又－eq \f(n,8)＝－1，所以n＝8.
考法二 兩條直線的交點(diǎn)問題
歸納總結(jié)
(1)求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是解由兩直線方程聯(lián)立組成的方程組，得到的方程組的解，即交點(diǎn)的坐標(biāo)．
(2)求過兩直線交點(diǎn)的直線方程，先解方程組求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫出直線方程．也可借助直線系方程，利用待定系數(shù)法求出直線方程，常用的直線系方程如下：
①與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R，且m≠C)；②與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線系方程是Bx－Ay＋m＝0(m∈R)；③過直線l1：A1x＋B1y＋C1 ＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點(diǎn)的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
【例2】 (1)(2019·新鄉(xiāng)期末)三條直線l1：x－y＝0，l2：x＋y－2＝0，l3：5x－ky－15＝0構(gòu)成一個(gè)三角形，則k的取值范圍是( )
A．k∈R B．k∈R且k≠±1，k≠0
C．k∈R且k≠±5，k≠－10 D．k∈R且k≠±5，k≠1
(2)求經(jīng)過直線l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交點(diǎn)，且垂直于直線l3：3x－5y＋6＝0的直線l的方程為__________．
【答案】 (1)C (2)5x＋3y－1＝0
【解析】(1)由l1∥l3得k＝5；由l2∥l3，得k＝－5；由x－y＝0與x＋y－2＝0，得x＝1，y＝1，若l1，l2的交點(diǎn)(1,1)在l3上，則k＝－10.若l1，l2，l3能構(gòu)成一個(gè)三角形，則k≠±5，且k≠－10，故選C.
(2)解方程組eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＋2y－1＝0，,5x＋2y＋1＝0))得l1，l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(－1,2)．
由于l⊥l3，故l是直線系5x＋3y＋C＝0中的一條，而l過l1，l2的交點(diǎn)(－1,2)，故5×(－1)＋3×2＋C＝0，由此求出C＝－1.
故直線l的方程為5x＋3y－1＝0.
考法三 距離問題的求解與應(yīng)用
解題技巧
距離問題的常見題型及解題策略
(1)求兩點(diǎn)間的距離：關(guān)鍵是確定兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入公式即可，一般用來判斷三角形的形狀等．
(2)解決與點(diǎn)到直線的距離有關(guān)的問題：應(yīng)熟記點(diǎn)到直線的距離公式，若已知點(diǎn)到直線的距離求直線方程，一般考慮待定斜率法，此時(shí)必須討論斜率是否存在．
(3)求兩條平行線間的距離：要先將直線方程中x，y的對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)轉(zhuǎn)化成相等的形式，再利用距離公式求解．也可以轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到直線的距離問題．
【例3】 (1)若P，Q分別為直線3x＋4y－12＝0與6x＋8y＋5＝0上任意一點(diǎn)，則|PQ|的最小值為( )
A.eq \f(9,5) B.eq \f(18,5) C.eq \f(29,10) D.eq \f(29,5)
(2)若動(dòng)點(diǎn)A，B分別在直線l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移動(dòng)，則AB的中點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離的最小值為( )
A．3eq \r(2) B．2eq \r(2)
C．3eq \r(3) D．4eq \r(2)
【答案】(1)C (2)A
【解析】(1)因?yàn)閑q \f(3,6)＝eq \f(4,8)≠eq \f(－12,5)，所以兩直線平行，將直線3x＋4y－12＝0化為6x＋8y－24＝0，由題意可知|PQ|的最小值為這兩條平行直線間的距離，即eq \f(|－24－5|,\r(62＋82))＝eq \f(29,10)，所以|PQ|的最小值為eq \f(29,10).故選C.
(2)依題意知AB的中點(diǎn)M的集合為與直線l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0距離都相等的直線，則M到原點(diǎn)的距離的最小值為原點(diǎn)到該直線的距離．設(shè)點(diǎn)M所在直線的方程為l：x＋y＋m＝0，根據(jù)平行線間的距離公式得eq \f(|m＋7|,\r(2))＝eq \f(|m＋5|,\r(2))?|m＋7|＝|m＋5|?m＝－6，即l：x＋y－6＝0.根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，得M到原點(diǎn)的距離的最小值為eq \f(|－6|,\r(2))＝3eq \r(2).故選A.
考法四 對(duì)稱問題及其應(yīng)用
解題技巧
兩種對(duì)稱問題的處理方法
(1)關(guān)于中心對(duì)稱問題的處理方法
①若點(diǎn)M(x1，y1)及點(diǎn)N(x，y)關(guān)于點(diǎn)P(a，b)對(duì)稱，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2a－x1，,y＝2b－y1.))
②直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱，其主要方法是在已知直線上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出直線方程；或者求出一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，再利用l1∥l2，由點(diǎn)斜式得到所求的直線方程．
(2)關(guān)于軸對(duì)稱問題的處理方法
①點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱
若兩點(diǎn)P1 (x1，y1)與P2(x2，y2)關(guān)于直線l：Ax＋By＋C＝0對(duì)稱，則線段P1P2的中點(diǎn)在l上，而且連接P1P2的直線垂直于l，由方程組eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))＋B\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y1＋y2,2)))＋C＝0，,\f(y2－y1,x2－x1)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(A,B)))＝－1，))可得到點(diǎn)P1關(guān)于l對(duì)稱的點(diǎn)P2的坐標(biāo)(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．
②直線關(guān)于直線的對(duì)稱
此類問題一般轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱來解決，有兩種情況：一是已知直線與對(duì)稱軸相交；二是已知直線與對(duì)稱軸平行．
【例4】 (1)已知直線l：x＋2y－2＝0.
①求直線l1：y＝x－2關(guān)于直線l對(duì)稱的直線l2的方程；
②求直線l關(guān)于點(diǎn)A(1,1)對(duì)稱的直線方程．
(2)光線由點(diǎn)A(－5，eq \r(3))入射到x軸上的點(diǎn)B(－2,0)，又反射到y(tǒng)軸上的點(diǎn)M，再經(jīng)y軸反射，求第二次反射線所在直線l的方程．
【答案】見解析
【解析】(1)①由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x－2，,x＋2y－2＝0))解得交點(diǎn)P(2,0)．
在l1上取點(diǎn)M(0，－2)，M關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)設(shè)為N(a，b)，
則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a,2)＋2·\f(b－2,2)－2＝0，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))·\f(b＋2,a)＝－1，))解得Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(12,5)，\f(14,5)))，所以kl2＝eq \f(\f(14,5)－0,\f(12,5)－2)＝7，
又直線l2過點(diǎn)P(2,0)，所以直線l2的方程為7x－y－14＝0.
②直線l關(guān)于點(diǎn)A(1,1)對(duì)稱的直線和直線l平行，所以設(shè)所求的直線方程為x＋2y＋m＝0.
在l上取點(diǎn)B(0,1)，則點(diǎn)B(0,1)關(guān)于點(diǎn)A(1,1)的對(duì)稱點(diǎn)C(2,1)必在所求的直線上，所以m＝－4，即所求的直線方程為x＋2y－4＝0.
(2)點(diǎn)A(－5，eq \r(3))關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′(－5，－eq \r(3))在反射光線所在的直線BM上，
可知lBM：y＝eq \f(\r(3),3)(x＋2)，所以Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2\r(3),3))).又第二次反射線的斜率k＝kAB＝－eq \f(\r(3),3)，所以第二次反射線所在直線l的方程為y＝－eq \f(\r(3),3)x＋eq \f(2\r(3),3)，即x＋eq \r(3)y－2＝0.
【易錯(cuò)警示】
易錯(cuò)點(diǎn) 在直線的位置關(guān)系中忽略斜率不存在的情況
【典例】 已知直線l1：(2－a)x＋ay－3＝0，l2：(2a＋3)x－(a－2)y＋2＝0互相垂直，求實(shí)數(shù)a的值．
【錯(cuò)解】：將l1的方程化為y＝eq \f(a－2,a)x＋eq \f(3,a)，得斜率k1＝eq \f(a－2,a)；將l2的方程化為y＝eq \f(2a＋3,a－2)x＋eq \f(2,a－2)，得斜率k2＝eq \f(2a＋3,a－2).因?yàn)閘1⊥l2，所以k1·k2＝－1，即eq \f(2a＋3,a－2)×eq \f(a－2,a)＝－1，
解得a＝－1.
【錯(cuò)因分析】：將直線的一般式方程化成斜截式，再運(yùn)用直線的斜率判斷直線垂直，沒有考慮直線的斜率不存在的情況，所以答案不完整．
【正解】：因?yàn)閘1⊥l2，則必有(2－a)(2a＋3)－a(a－2)＝0，即a2－a－2＝0，所以a＝2或a＝－1.
【跟蹤訓(xùn)練】 若l1：x＋(1＋m)y＋(m－2)＝0，l2：mx＋2y＋6＝0平行，則實(shí)數(shù)m的值是( )
A．m＝1或m＝－2 B．m＝1
C．m＝－2 D．m的值不存在
【答案】A
【解析】據(jù)已知若m＝0，易知兩直線不平行，若m≠0，則有eq \f(1,m)＝eq \f(1＋m,2)≠eq \f(m－2,6)?
m＝1或m＝－2.
【遞進(jìn)題組】
1．“C＝5”是“點(diǎn)(2,1)到直線3x＋4y＋C＝0的距離為3”的( )
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】點(diǎn)(2,1)到直線3x＋4y＋C＝0的距離為3等價(jià)于eq \f(|3×2＋4×1＋C|,\r(32＋42))＝3，解得C＝5或C＝－25，所以“C＝5”是“點(diǎn)(2,1)到直線3x＋4y＋C＝0的距離為3”的充分不必要條件．故選B.
2．已知A(4，－3)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為B(－2,5)，則直線l的方程是( )
A．3x＋4y－7＝0 B．3x－4y＋1＝0
C．4x＋3y－7＝0 D．3x＋4y－1＝0
【答案】B
【解析】由題意得AB的中點(diǎn)C為(1,1)，又A，B兩點(diǎn)連線的斜率為kAB＝eq \f(5＋3,－2－4)＝－eq \f(4,3)，所以直線l的斜率為eq \f(3,4)，因此直線l的方程為y－1＝eq \f(3,4)(x－1)，即3x－4y＋1＝0.故選B.
3．設(shè)不同直線l1：2x－my－1＝0，l2：(m－1)x－y＋1＝0，則“m＝2”是“l(fā)1∥l2”的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】當(dāng)m＝2時(shí)，代入兩直線方程中，易知兩直線平行，即充分性成立；當(dāng)l1∥l2時(shí)，顯然m≠0，從而有eq \f(2,m)＝m－1，解得m＝2或m＝－1，但當(dāng)m＝－1時(shí)，兩直線重合，不合要求，故必要性成立．故選C.
4．經(jīng)過直線3x－2y＋1＝0和直線x＋3y＋4＝0的交點(diǎn)，且平行于直線x－y＋4＝0的直線方程為__________．
【答案】 x－y＝0
【解析】過兩直線交點(diǎn)的直線方程可設(shè)為3x－2y＋1＋λ(x＋3y＋4)＝0，即(3＋λ)x＋(3λ－2)y＋4λ＋1＝0，它與直線x－y＋4＝0平行，所以3＋λ＋3λ－2＝0，λ＝－eq \f(1,4)，
故所求直線為x－y＝0.
5．[考法四]已知直線l：3x－y＋3＝0，求：
(1)點(diǎn)P(4,5)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)；
(2)直線x－y－2＝0關(guān)于直線l對(duì)稱的直線方程；
(3)直線l關(guān)于(1,2)的對(duì)稱直線．
【答案】見解析
【解析】(1)設(shè)P(x，y)關(guān)于直線l：3x－y＋3＝0的對(duì)稱點(diǎn)為P′(x′，y′)，
因?yàn)閗PP′·kl＝－1，即eq \f(y′－y,x′－x)×3＝－1.①
又PP′的中點(diǎn)在直線3x－y＋3＝0上，
所以3×eq \f(x′＋x,2)－eq \f(y′＋y,2)＋3＝0.②
由①②得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝\f(－4x＋3y－9,5)， ③,y′＝\f(3x＋4y＋3,5). ④))
把x＝4，y＝5代入③④得x′＝－2，y′＝7，所以點(diǎn)P(4,5)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)P′的坐標(biāo)為(－2,7)．
(2)用③④分別代換x－y－2＝0中的x，y，得關(guān)于l對(duì)稱的直線方程為eq \f(－4x＋3y－9,5)－eq \f(3x＋4y＋3,5)－2＝0，
化簡得7x＋y＋22＝0.
(3)在直線l：3x－y＋3＝0上取點(diǎn)M(0,3)，關(guān)于(1,2)的對(duì)稱點(diǎn)M′(x′，y′)，
所以eq \f(x′＋0,2)＝1，x′＝2，eq \f(y′＋3,2)＝2，y′＝1，所以M′(2,1)．
l關(guān)于(1,2)的對(duì)稱直線平行于l，所以k＝3，
所以對(duì)稱直線方程為y－1＝3×(x－2)，
即3x－y－5＝0.
【考卷送檢】
一、選擇題
1．若直線ax＋2y＋1＝0與直線x＋y－2＝0互相垂直，那么a的值等于( )
A．1 B．－eq \f(1,3)
C．－eq \f(2,3) D．－2
【答案】D
【解析】由a×1＋2×1＝0得a＝－2.故選D.
2．過點(diǎn)(1,0)且與直線x－2y－2＝0垂直的直線方程是( )
A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0
【答案】C
【解析】設(shè)直線方程為2x＋y＋c＝0，將(1,0)代入，求得c＝－2，所以所求方程為2x＋y－2＝0.故選C.
3．(2019·平頂山統(tǒng)考)已知點(diǎn)A(1，－2)，B(m,2)，若線段AB的垂直平分線的方程是x＋2y－2＝0，則實(shí)數(shù)m的值為( )
A．－2 B．－7
C．3 D．1
【答案】C
【解析】 因?yàn)锳(1，－2)和B(m,2)的中點(diǎn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋m,2)，0))在直線x＋2y－2＝0上，所以eq \f(1＋m,2)＋2×0－2＝0，所以m＝3.
4．“m＝1”是“直線x－y＝0和直線x＋my＝0互相垂直” 的( )
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】因?yàn)閙＝1時(shí)，兩直線方程分別是x－y＝0和x＋y＝0，兩直線的斜率分別是1和－1，所以兩直線垂直，所以充分性成立；當(dāng)直線x－y＝0和直線x＋my＝0互相垂直時(shí)，有1×1＋(－1)·m＝0，所以m＝1，所以必要性成立．故選C.
5．(2019·常德一中月考)已知點(diǎn)M是直線x＋eq \r(3)y＝2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P(eq \r(3)，－1)，則點(diǎn)|PM|的最小值為( )
A.eq \f(1,2) B．1
C．2 D．3
【答案】B
【解析】|PM|的最小值即為點(diǎn)P(eq \r(3)，－1)到直線x＋eq \r(3)y＝2的距離，又eq \f(|\r(3)－\r(3)－2|,\r(1＋3))＝1，故|PM|的最小值為1.
6．(2019·襄陽四中月考)已知直線y＝2x是△ABC中∠C的平分線所在的直線，若點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是(－4,2)，(3,1)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為( )
A．(－2,4) B．(－2，－4)
C．(2,4) D．(2，－4)
【答案】C
【解析】設(shè)A(－4,2)關(guān)于直線y＝2x的對(duì)稱點(diǎn)為(x，y)，則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y－2,x＋4)×2＝－1，,\f(y＋2,2)＝2×\f(－4＋x,2)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝－2，))即(4，－2)．所以直線BC所在的方程為y－1＝eq \f(－2－1,4－3)(x－3)，即3x＋y－10＝0.
聯(lián)立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＋y－10＝0，,y＝2x))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝4，))可得C(2,4)．
二、填空題
7．經(jīng)過點(diǎn)P(－1,2)且與曲線y＝3x2－4x＋2在點(diǎn)M(1,1)處的切線平行的直線的方程是________．
【答案】 2x－y＋4＝0
【解析】因?yàn)閥′＝6x－4，所以y′|x＝1＝2，所以所求直線方程為y－2＝2(x＋1)，即2x－y＋4＝0.
8．與直線l1：3x＋2y－6＝0和直線l2：6x＋4y－3＝0等距離的直線方程是________．
【答案】 12x＋8y－15＝0
【解析】l2：6x＋4y－3＝0化為3x＋2y－eq \f(3,2)＝0，所以l1與l2平行，設(shè)與l1，l2等距離的直線l的方程為3x＋2y＋c＝0，則|c＋6|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(c＋\f(3,2)))，解得c＝－eq \f(15,4)，所以l的方程為12x＋8y－15＝0.
9．已知定點(diǎn)A(1,1)，B(3,3)，動(dòng)點(diǎn)P在x軸上，則|PA|＋|PB|的最小值是________．
【答案】 2eq \r(5)
【解析】 點(diǎn)A(1,1)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為C(1，－1)，則|PA|＝|PC|，設(shè)BC與x軸的交點(diǎn)為M，則|MA|＋|MB|＝|MC|＋|MB|＝|BC|＝2eq \r(5).由三角形兩邊之和大于第三邊知當(dāng)P不與M重合時(shí)，|PA|＋|PB|＝|PC|＋|PB|＞|BC|，故當(dāng)P與M重合時(shí)，|PA|＋|PB|取得最小值．
三、解答題
10．已知△ABC的頂點(diǎn)A(5,1)，AB邊上的中線CM所在直線的方程為2x－y－5＝0，AC邊上的高BH所在直線的方程為x－2y－5＝0，求直線BC的方程．
【答案】見解析
【解析】依題意知kAC＝－2，A(5,1)，所以直線AC的方程為2x＋y－11＝0，聯(lián)立直線AC和直線CM的方程，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y－11＝0，,2x－y－5＝0，))所以C(4,3)．設(shè)B(x0，y0)，AB的中點(diǎn)M為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x0＋5,2)，\f(y0＋1,2)))，代入2x－y－5＝0，得2x0－y0－1＝0，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x0－y0－1＝0，,x0－2y0－5＝0，))所以B(－1，－3)，所以kBC＝eq \f(6,5)，所以直線BC的方程為y－3＝eq \f(6,5)(x－4)，即6x－5y－9＝0.
11．已知直線l1：x＋a2y＋1＝0和直線l2：(a2＋1)x－by＋3＝0(a，b∈R)．
(1)若l1∥l2，求b的取值范圍；
(2)若l1⊥l2，求|ab|的最小值．
【答案】見解析
【解析】(1)因?yàn)閘1∥l2，所以－b－(a2＋1)a2＝0，
即b＝－a2(a2＋1)＝－a4－a2＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a2＋\f(1,2)))2＋eq \f(1,4).因?yàn)閍2≥0，所以b≤0.又因?yàn)閘1與l2不重合，所以a2＋1≠3，
所以b≠－6.故b的取值范圍是(－∞，－6)∪(－6,0]．
(2)因?yàn)閘1⊥l2，所以(a2＋1)－a2b＝0，顯然a≠0，所以ab＝a＋eq \f(1,a)，|ab|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,a)))≥2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝±1時(shí)，等號(hào)成立，因此|ab|的最小值為2.
12．(2019·信陽調(diào)考)已知直線m：2x－y－3＝0與直線n：x＋y－3＝0的交點(diǎn)為P.
(1)若直線l過點(diǎn)P，且點(diǎn)A(1,3)和點(diǎn)B(3,2)到直線l的距離相等，求直線l的方程；
(2)若直線l1過點(diǎn)P且與x軸和y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，△ABO的面積為4，求直線l1的方程．
【答案】見解析
【解析】(1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y－3＝0，,x＋y－3＝0))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝1，))即交點(diǎn)P(2,1)．由直線l與A，B的距離相等可知，l∥AB或l過AB的中點(diǎn)．
①由l∥AB得kl＝kAB＝eq \f(2－3,3－1)＝－eq \f(1,2)，所以直線l的方程為y－1＝－eq \f(1,2)(x－2)，
即x＋2y－4＝0.
②由l過AB的中點(diǎn)得l的方程為x＝2.
綜上得x＋2y－4＝0或x＝2為所求．
(2)由題可知直線l1的橫、縱截距a，b存在，且a＞0，b＞0，則l1：eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1.又直線l1過點(diǎn)(2,1)，△ABO的面積為4，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2,a)＋\f(1,b)＝1，,\f(1,2)ab＝4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝4，,b＝2，))故直線l1的方程為eq \f(x,4)＋eq \f(y,2)＝1，即x＋2y－4＝0.
13．(2019·華大新高考聯(lián)盟聯(lián)考)已知m，n，a，b∈R，且滿足3m＋4n＝6,3a＋4b＝1，則的最小值為( )
A.eq \r(3) B.eq \r(2)
C．1 D.eq \f(1,2)
【答案】C
【解析】 (m，n)為直線3x＋4y＝6上的動(dòng)點(diǎn)，(a，b)為直線3x＋4y＝1上的動(dòng)點(diǎn)，的最小值可理解為兩動(dòng)點(diǎn)間距離的最小值，顯然最小值是兩平行線間的距離，所以d＝eq \f(|6－1|,\r(9＋16))＝1.故選C.
點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之間的距離
eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(P1P2))＝eq \r(?x2－x1?2＋?y2－y1?2)
點(diǎn)P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離
d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))
兩條平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離
d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))

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