專題6.5 合情推理與演繹推理-2022年高考數(shù)學一輪復習核心素養(yǎng)大揭秘學案-學案下載-教習網

第六篇不等式、推理與證明專題6.5 合情推理與演繹推理【考綱要求】1 .了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進行簡單的推理，體會合情推理在數(shù)學發(fā)現(xiàn)中的作用．2.了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運用它們進行一些簡單推理．3.了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異【命題趨勢】合情推理一般以新定義、新規(guī)則的形式考查集合、函數(shù)、不等式、數(shù)列等問題；而演繹推理常結合函數(shù)、方程、不等式、解析幾何、立體幾何、數(shù)列等問題中的證明來考查..【核心素養(yǎng)】本講內容主要考查邏輯推理的核心素養(yǎng)，這是數(shù)學的核心，筆者認為一定要引起重視。.【素養(yǎng)清單?基礎知識】1．合情推理(1)歸納推理①定義：由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結論的推理，稱為歸納推理(簡稱歸納)．②特點：由部分到整體、由個別到一般的推理．(2)類比推理①定義：由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理(簡稱類比)．②特點：由特殊到特殊的推理．類比推理的注意點在進行類比推理時要盡量從本質上去類比，不要被表面現(xiàn)象迷惑，如果只抓住一點表面現(xiàn)象的相似甚至假象就去類比，那么就會犯機械類比的錯誤．(3)合情推理歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實，經過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情推理．合情推理的關注點(1)合情推理是合乎情理的推理．(2)合情推理既可以發(fā)現(xiàn)結論也可以發(fā)現(xiàn)思路與方向．　　　　　　　　　　　2．演繹推理(1)演繹推理從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結論，我們把這種推理稱為演繹推理．簡言之，演繹推理是由一般到特殊的推理．　演繹推理：常用來證明和推理數(shù)學問題，解題時應注意推理過程的嚴密性，書寫格式的規(guī)范性.(2)“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情況；③結論——根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷．【素養(yǎng)清單?常用結論】(1)合情推理的結論是猜想，不一定正確；演繹推理在大前提、小前提和推理形式都正確時，得到的結論一定正確．(2)合情推理是發(fā)現(xiàn)結論的推理；演繹推理是證明結論的推理．【真題體驗】1.【2019年高考全國I卷理數(shù)】古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是（≈0.618，稱為黃金分割比例)，著名的“斷臂維納斯”便是如此．此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是．若某人滿足上述兩個黃金分割比例，且腿長為105 cm，頭頂至脖子下端的長度為26 cm，則其身高可能是（） A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190 cm2.【2017年高考全國II卷理數(shù)】甲、乙、丙、丁四位同學一起去向老師詢問成語競賽的成績．老師說：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績．看后甲對大家說：我還是不知道我的成績．根據(jù)以上信息，則（）A．乙可以知道四人的成績 B．丁可以知道四人的成績C．乙、丁可以知道對方的成績 D．乙、丁可以知道自己的成績 3.觀察下列不等式：1＋＜，1＋＋＜，1＋＋＋＜，1＋＋＋＋＜，…按此規(guī)律，第五個不等式為__________．【考法解碼?題型拓展】考法一：類比推理歸納總結　　 (1)進行類比推理，應從具體問題出發(fā)，通過觀察、分析、聯(lián)想進行對比，提出猜想．其中找到合適的類比對象是解題的關鍵．(2)類比推理常見的情形有：平面與空間類比、低維與高維類比、等差與等比類比、運算類比(加與乘、乘與乘方、減與除、除與開方)、數(shù)的運算與向量運算類比、圓錐曲線間的類比等．【例1】 (1)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，則數(shù)列{bn}也為等差數(shù)列．類比這一性質可知，若正項數(shù)列是等比數(shù)列，且也是等比數(shù)列，則dn的表達式應為(　　)A．dn＝ B．dn＝C．dn＝ D．dn＝(2)在平面上，若兩個正三角形的邊長的比為1∶2，則它們的面積比為1∶4.類似地，在空間中，若兩個正四面體的棱長的比為1∶2，則它們的體積比為__________．考法二：歸納推理解題技巧：歸納推理中幾種問題的處理技巧(1)與等式或不等式“共舞”問題：觀察所給的幾個等式或不等式兩邊式子的特點，注意是縱向看，發(fā)現(xiàn)隱含的規(guī)律．(2)與數(shù)列“牽手”問題：先求出幾個特殊現(xiàn)象，歸納所得的結論是尚屬未知的一般現(xiàn)象，該結論超越了前提所含的范圍，從而由特殊的結論推廣到一般結論．(3)與圖形變化“相融”問題：合理利用特殊圖形歸納推理得出結論，并用賦值檢驗法驗證其真?zhèn)涡裕?/span>【例2】 (1)觀察等式：12＝1,12－22＝－3,12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10，…依此規(guī)律，第n個等式可為__________．(2)觀察下列的圖形中小正方形的個數(shù)，則第10個圖中有______個小正方形．【例3】 (1)(2017·全國卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同學一起去向老師詢問成語競賽的成績．老師說：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績．看后甲對大家說：我還是不知道我的成績．根據(jù)以上信息，則(　　)A．乙可以知道四人的成績B．丁可以知道四人的成績C．乙、丁可以知道對方的成績D．乙、丁可以知道自己的成績(2)某校為高一學生開設了三門選修課程，分別是文學與藝術、哲學初步、數(shù)學史．調查某班甲、乙、丙三名學生的三門選修課程的選修情況時，甲說：“我選修的課程比乙多，但沒有選修哲學初步．”乙說：“我沒有選修數(shù)學史．”丙說“我們三人選修的課程中，有一門課程是相同的．”由此可以判斷乙選修的課程為__________．考法三：演繹推理歸納總結：演繹推理的結構特點和推證規(guī)則(1)演繹推理是由一般到特殊的推理，其最常見的形式是三段論，它是由大前提、小前提、結論三部分組成的．三段論推理中包含三個判斷：第一個判斷稱為大前提，它提供了一個一般的原理；第二個判斷叫小前提，它指出了一個特殊情況．這兩個判斷聯(lián)合起來，提示了一般原理和特殊情況的內在聯(lián)系，從而產生了第三個判斷：結論．(2)演繹推理的前提和結論之間有著某種蘊含關系，解題時要找準正確的大前提．一般地，若大前提不明確時，一般可找一個使結論成立的充分條件作為大前提．【例4】數(shù)列{an}的前n項和記為Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n∈N*)，證明：(1)數(shù)列是等比數(shù)列；(2)Sn＋1＝4an.【易錯警示】易錯點　盲目類比，沒有合理的推導【典例】在△ABC中，若∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，則△ABC的外接圓的半徑r＝，把上面的結論推廣到空間，寫出相類似的結論．【錯解】：取空間中有三條側棱兩兩垂直的四面體A－BCD，且AB＝a，AC＝b，AD＝c，將平面上三角形的外接圓的半徑r＝類比到空間為此三棱錐的外接球的半徑r＝.【錯因分析】：類比推理是一種由特殊到特殊的推理，在類比過程中要結合簡單的證明，確保推理的正確性．錯解中只是對結論進行了表面的類比，而沒有進行合理的推導證明．【正解】：取空間中有三條側棱兩兩垂直的四面體A－BCD，且AB＝a，AC＝b，AD＝c，可以將四面體補成一個長方體，則體對角線即為外接球的直徑，即2r＝，所以r＝.則此三棱錐的外接球的半徑r＝.【誤區(qū)防范】　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1)進行類比推理，應從具體問題出發(fā)，通過觀察、分析、聯(lián)想進行類比，提出猜想．其中找到合適的類比對象是解題的關鍵．(2)類比推理常見的情形有平面與空間類比；低維的與高維的類比；等差數(shù)列與等比數(shù)列類比；數(shù)的運算與向量的運算類比；圓錐曲線間的類比等．【跟蹤訓練】 (2019·上海浦東新區(qū)期中)在Rt△ABC中，兩直角邊分別為a、b，設h為斜邊上的高，則＝＋，由此類比：三棱錐S－ABC中的三條側棱SA、SB、SC兩兩互相垂直，且長度分別為a、b、c，設三棱錐底面ABC上的高為h，則________．【遞進題組】1．有下列各式：1＋＋＞1,1＋＋…＋＞，1＋＋＋…＋＞2，…，則按此規(guī)律可猜想此類不等式的一般形式為__________．2．用火柴棒擺“金魚”，如圖所示，按照下面的規(guī)律，第n個“金魚”圖需要火柴棒的根數(shù)為__________． 3．在矩形ABCD中，對角線AC與相鄰兩邊所成的角為α，β，則有cos2α＋cos2β＝1.類比到空間中的一個正確命題是：在長方體ABCD－A1B1C1D1中，對角線AC1與相鄰三個面所成的角為α，β，γ，則__________． 4．若f(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈N*)，且f(1)＝2，則＋＋＋…＋＝__________.【考卷送檢】一、選擇題1．下面四個推導過程符合演繹推理三段論形式且推理正確的是(　　)A．大前提：無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)；小前提：π是無理數(shù)；結論：π是無限不循環(huán)小數(shù)B．大前提：無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)；小前提：π是無限不循環(huán)小數(shù)；結論：π是無理數(shù)C．大前提：π是無限不循環(huán)小數(shù)；小前提：無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)；結論：π是無理數(shù)D．大前提：π是無限不循環(huán)小數(shù)；小前提：π是無理數(shù)；結論：無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)2．請仔細觀察1,1,2,3,5，(　　)，13，運用合情推理，可知寫在括號里的數(shù)最可能是(　　)A．8 B．9 C．10 D．113．觀察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3, (cos x)′＝－sin x，由歸納推理可得：若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝f(x)，記g(x)為f(x)的導函數(shù)，則g(－x)＝(　　)A．f(x) B．－f(x)C．g(x) D．－g(x)4．中國有句名言“運籌帷幄之中，決勝千里之外”，其中的“籌”原意是指《孫子算經》中記載的算籌，古代是用算籌來進行計算的，算籌是將幾寸長的小竹棍擺在平面上進行運算，算籌的擺放有縱橫兩種形式，如圖，當表示一個多位數(shù)時，像阿拉伯計數(shù)一樣，把各個數(shù)位的數(shù)碼從左到右排列，但各位數(shù)碼的籌式需要縱橫相間，個位、百位、萬位數(shù)用縱式表示，十位、千位、十萬位用橫式表示，以此類推．例如6 613用算籌表示就是，則8 335用算籌可表示為(　　)5．(2019·太原模擬)某單位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．甲說：我在1日和3日都有值班；乙說：我在8日和9日都有值班；丙說：我們三人各自值班的日期之和相等，據(jù)此可判斷丙必定值班的日期是(　　)A．2日和5日 B．5日和6日C．6日和11日 D．2日和11日6．已知an＝logn＋1(n＋2)(n∈N*)，觀察下列運算：a1·a2＝log23·log34＝·＝2；a1·a2·a3·a4·a5·a6＝log23·log34·…·log78＝··…·＝3；…若a1·a2·a3·…·ak(k∈N*)為整數(shù)，則稱k為“企盼數(shù)”，試確定當a1·a2·a3·…·ak＝2 019時，“企盼數(shù)”k為(　　)A．22 019 ＋2 B．22 019C．22 019－2 D．22 019－4 二、填空題7．觀察下列式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，…，根據(jù)上述規(guī)律，第n個不等式應該為________________．8．(2019·鄂南高中月考)一同學在電腦中打出如下圖形(表示空心圓，表示實心圓)．若將此若干個圓依此規(guī)律繼續(xù)下去，得到一系列的圓，則前2 020個圓中有實心圓的個數(shù)為________．9．設等差數(shù)列{an}的前n項和為 Sn，則 S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差數(shù)列．類比以上結論我們可以得到一個真命題為：設等比數(shù)列{bn}的前n項積為Tn，則______________成等比數(shù)列．三、解答題10．設f(x)＝，g(x)＝ (其中a＞0，且a≠1)．(1)請你由5＝2＋3推測g(5)能否用f(2)，f(3)，g(2)，g(3)來表示；(2)如果(1)中獲得了一個結論，請你推測能否將其推廣．11．在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求證：＝＋，那么在四面體A－BCD中，類比上述結論，你能得到怎樣的猜想，并說明理由． 12．定義“等和數(shù)列”：在一個數(shù)列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和．已知數(shù)列{an}是等和數(shù)列，且a1＝2，公和為5.(1)求a18的值；(2)求該數(shù)列的前n項和Sn. 13．(2019·威海模擬)對大于1的自然數(shù)m的三次冪可用奇數(shù)進行以下方式的“分裂”：23＝，33＝，43＝，…仿此，若m3的“分裂”數(shù)中有一個是73，則m的值為________．

相關學案

相關學案更多

相關學案

相關學案 更多

相關學案更多