一、選擇題
平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，過點(2,0)的直線l與曲線y=1?x2相交于A,B兩點，當(dāng)△AOB的面積最大時，直線l的斜率為( )
A. ?33B. ?3C. ?12D. ?22
若直線y=kx+1與圓x2+y2+kx?y?9=0的兩個交點恰好關(guān)于y軸對稱，則k等于（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
直線l:(2m+1)x+(m+1)y?7m?4=0與圓C:(x?1)2+(y?2)2=25的位置關(guān)系為（ ）
A. 與m的值有關(guān)B. 相離C. 相切D. 相交
已知兩點A(0,3)，B(4,0)，若點P是圓C：x2+y2+2y=0上的動點，則△ABP的面積的最小值為（ ）
A. 5B. 112C. 8D. 212
已知點P(x,y)是直線3x+y?8=0上一動點，直線PA，PB是圓C：x2+y2?4y=0的兩條切線，A，B為切點，C為圓心，則四邊形PACB面積的最小值是（ ）
A. 23B. 4C. 25D. 26
已知圓x2+y2?6x=0，過點(1,2)的直線被該圓所截得的弦的長度的最小值為（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
平行于直線x+y-1=0且與圓x2+y2-2=0相切的直線的方程是( )
A. x+y+2=0B. x+y-2=0
C. x+y+22=0 或x+y-22=0D. x+y+2=0或x+y-2=0
過點P(?2,4)作圓O：(x?2)2+(y?1)2=25的切線l，直線m：ax?3y=0與直線l平行，則直線l與m的距離為（ ）
A. 4B. 2C. 85D. 125
過點(3,1)作圓(x?1)2+y2=r2的切線有且只有一條，則該切線的方程為( )
A. 2x+y?5=0B. 2x+y?7=0C. x?2y?5=0D. x?2y?7=0
已知⊙M：x2+y2-2x-2y-2=0，直線l：2x+y+2=0，P為l上的動點．過點P作⊙M的切線PA，PB，切點為A，B，當(dāng)|PM|?|AB|最小時，直線AB的方程為( )
A. 2x-y-1=0B. 2x+y-1=0C. 2x-y+1=0D. 2x+y+1=0
已知點P(x,y)是直線y=22x?4上一動點，PM與PN是圓C：x2+(y?1)2=1的兩條切線，M，N為切點，則四邊形PMCN的最小面積為( )
A. 43B. 23C. 53D. 56
點P為射線x=2(y≥0)上一點，過P作圓x2+y2=3的兩條切線，若兩條切線的夾角為90°，則點P的坐標(biāo)為( )
A. (2,1)B. (2,2)C. (2,2)D. (2,0)
已知直線y=k(x+1)與曲線y=4?(x?2)2有兩個交點，則k的取值范圍為（
A. 0,255B. 0,255C. 0,55D. 0,55
已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點為F(c,0)，圓E：x?a2+y2=127與C的漸近線相切，為F作C的兩漸近線的垂線，垂足分別為M，N，若四邊形OMFN(O為坐標(biāo)原點)的面積為23，則C的離心率為( )
A. 72B. 3C. 72或213D. 3或213
二、填空題
已知圓方程為(x?1)2+y2=1，則過點(2,2)且與圓相切的直線方程為_____________ .(寫成一般形式)
過點A(3,5)作圓O：x2+y2-2x-4y+1=0的切線，則切線的方程為__________．
過定點M的直線：kx?y+1?2k=0與圓：(x+1)2+(y?5)2=9相切于點N，則|MN|=_______．
直線x+y+1=0被圓C：x2+y2=2所截得的弦長為________；由直線x+y+3=0上的一點向圓C引切線，切線長的最小值為________．
過點P(1,1)作圓x2+y2+2x?1=0的切線，切點為，則PA=________．
三、解答題
已知圓C過點(0 , 0)，(1 , 1)，(4 , 2) ．
(1)求圓C的方程；
(2)過點(?1 , ?2)作圓C的切線，求切線的方程；
(3)作直線l:y=x+b交圓C于A,B兩點，求使三角形ABC面積最大時的直線l的方程(點C為圓C的圓心)．
已知圓:x2+y2=2,直線l:y=kx?2
(1)若直線l與圓O相切，求k的值；
(2)若EF、GH為圓O的兩條相互垂直的弦，垂足為M1,22，求四邊形EGFH的面積的最大值；
(3)若k=12，P是直線l上的動點，過P作圓O的兩條切線PC、PD，切點分別為C、D。探究直線CD是否過定點？若是，求出定點，并說明理由．
已知圓C：x2+y2?6x+8=0，
(1)求圓C半徑和圓心坐標(biāo)；
(2)求過點2,3且與圓C相切的直線方程．
已知圓M過兩點C(1,?1)，D(?1,1)，且圓心M在x+y?2=0上．
(1)求圓M的方程；
(2)設(shè)P是直線3x+4y+8=0上的動點，PA，PB是圓M的兩條切線，A，B為切點，求四邊形PAMB面積的最小值．
答案和解析
1.【答案】A
【解答】
解：由y=1?x2，得x2+y2=1(y≥0)．
曲線y=1?x2表示以O(shè)為圓心，半徑為1的上半圓，
則△AOB的面積，
要使三角形的面積最大，此時，即，
則AB=2,
取AB的中點C，則|OC|=12|AB|=22，
∵OD=2，∴sin∠ODC=OCOD=222=12，
則，，
即直線的傾斜角為150°，則直線的斜率，
故選：A．
2.【答案】A
【解答】
解：方法一：聯(lián)立直線與圓的方程得：
y=kx+1x2+y2+kx?y?9=0,
消去y得：(k2+1)x2+2kx?9=0，
設(shè)方程的兩根分別為x1，x2，
由題意得：x1+x2=?2kk2+1=0，
解得：k=0．
故選A．
方法二：直線y=kx+1與圓x2+y2+kx?y?9=0的兩個交點恰好關(guān)于y軸對稱，則兩交點所確定的直線與y軸垂直，故直線y=kx+1斜率為0，所以k=0．
故選A．
方法三：直線y=kx+1與圓x2+y2+kx?y?9=0的兩個交點恰好關(guān)于y軸對稱，又圓心在弦的中垂線上，則圓心在y軸上，故圓心的橫坐標(biāo)為0，所以圓方程(x+k2)2+(y?12)2=9+14+k24中?k2=0，即k=0．
故選A．
3.【答案】D
【解答】解：因為直線l的方程可化為m(2x+y?7)+x+y?4=0，
則由2x+y?7=0x+y?4=0，得x=3y=1，
即直線l過定點(3,1)，而(3?1)2+(1?2)22，
∴點A3,5在圓外．
當(dāng)切線的斜率不存在時，直線x=3與圓相切，即切線方程為x?3=0；
當(dāng)切線的斜率存在時，可設(shè)所求切線方程為y?5=kx?3，即kx?y+5?3k=0．
又圓心為1,2，半徑r=2，
即圓心到切線的距離d=3?2kk2+1=2，
即3?2k=2k2+1，
∴k=512，
即切線方程為5x?12y+45=0．
綜上可知，所求切線的方程為5x?12y+45=0或x?3=0．
17.【答案】4
【解答】
解：直線：kx?y+1?2k=0過定點M(2,1)，
(x+1)2+(y?5)2=9的圓心(?1,5)，半徑為：3；
定點與圓心的距離為：(2+1)2+(1?5)2=5．
過定點M的直線：kx?y+1?2k=0與圓：(x+1)2+(y?5)2=9相切于點N，
則|MN|=52?32=4．
故答案為：4．
18.【答案】6；102
【解答】
解：圓C：x2+y2=2的圓心坐標(biāo)為C(0,0)，半徑r=2．
圓心C到直線x+y+1=0的距離d=12=22，
∴直線x+y+1=0被圓C：x2+y2=2所截得的弦長為：
222?222=6；
圓心C到直線x+y+3=0的距離d1=32=322，
則由直線x+y+3=0上的一點向圓C引切線，
切線長的最小值為3222?22=102．
故答案為：6；102．
19.【答案】3
【解答】
解：由題得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+y2=2，設(shè)圓心為C，
所以圓C的圓心為(?1,0)，半徑為2．
所以|PC|=(1+1)2+12=5，
所以|PA|=52?22=3．
故答案為3．
20.【答案】解：(１)設(shè)圓C的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，
依題意F=01+1+D+E+F=016+4+4D+2E+F=0解得D=?8E=6F=0
所以圓C的方程為x2+y2?8x+6y=0;
(２)圓C的方程可化為(x?4)2+(y+3)2=25，
當(dāng)切線斜率不存在時，切線方程為x=?1;
當(dāng)切線斜率存在設(shè)為k時，設(shè)切線方程為y+2=k(x+1)，即kx?y+k?1=0;
4k+3+k?2k2+1=5 解得k=125
此時切線方程為12x?5y+2=0
綜上，所求切線方程為x=?1和12x?5y+2=0
(３)使三角形ABC面積最大，則圓心角為90°，
所以圓心C到直線的距離d=|4+3+b|2=22×5，
解得b=?2或?12，
即直線l的方程x?y?2=0,x?y?12=0
21.【答案】解：(1)∵圓O：x2+y2=2，直線l：y=kx?2.直線l與圓O相切，
∴圓心O(0,0)到直線l的距離等于半徑r=2，
即d=?2k2+1=2，
解得k=±1．
(2)設(shè)圓心O到直線EF、GH的距離分別為d1、d2，
則d12+d22=|OM|2=32，
所以EF=2r2?d12=22?d12，GH=2r2?d22=22?d22，
所以S=12EFGH=22?d122?d22≤2?d12+2?d22=4?32=52，
當(dāng)且僅當(dāng)2?d12=2?d22即 d1=d2=32時，取“=”，
所以四邊形EGFH的面積的最大值為52。
(3)k=12時，直線l的方程為：y=12x?2，
設(shè)Pa,12a?2，則以O(shè)P為直徑的圓的方程為xx?a+yy?12a+2=0，
即x2+y2?ax+2?12ay=0，將其和圓O：x2+y2=2聯(lián)立，消去平方項得：ax?2?12ay?2=0，即為直線CD的方程，
將其化為ax+12y?2y+2=0知該直線恒過定點12,?1，
故直線CD恒過定點12,?1。
22.【答案】解：(1)將圓C：x2+y2?6x+8=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為x?32+y2=1，容易得到圓C的半徑為1，圓心C坐標(biāo)為(3,0)；
(2)當(dāng)切線的斜率不存在時，所求切線的方程為x=2，此時圓心3,0到直線x=2的距離為1，合乎題意；
當(dāng)切線的斜率存在時，設(shè)所求切線的方程為y?3=kx?2，即kx?y+3?2k=0，
則圓心到該直線的距離等于圓的半徑，則3k+3?2kk2+1=k+3k2+1=1，解得k=?43，
此時，所求切線的方程為y?3=?43x?2，即4x+3y?17=0．
綜上所述，所求切線的方程為x=2或4x+3y?17=0．
23.【答案】解:(1)設(shè)圓M的方程為 x?a2+y?b2=r2 r>0．
根據(jù)題意，得 1?a2+?1?b2=r2?1?a2+1?b2=r2a+b?2=0
解得a=b=1, r=2，，
故所求圓M的方程為x?12+y?12=4．
(2)因為四邊形PAMB的面積
S=SΔPAM+SΔPBM=12AMPA+12BMPB，
又AM=BM=2，PA=PB，所以S=2PA，
而PA=PM2?AM2=PM2?4，
即S=2PM2?4．
因此要求S的最小值，只需求PM的最小值即可，即在直線3x+4y+8=0上找一點P，使得PM的值最小，
所以PMmin=3×1+4×1+832+42=3，
此時，S=2PM2?4=232?4=25．
所以四邊形PAMB面積的最小值為25．

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2.5 直線與圓、圓與圓的位置

版本： 人教A版 (2019)

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