
一般地,函數(shù)f (x)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)f ′(x)的正負(fù)之間具有如下的關(guān)系:
在某個(gè)區(qū)間(a,b)上,如果f ′(x)>0 ,那么函數(shù)y=f (x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞增;
在某個(gè)區(qū)間(a,b)上,如果f ′(x)0(x∈(0,+∞)),所以y=x在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增,當(dāng)x越來(lái)越大時(shí),y'=3x2越來(lái)越大,函數(shù)y=x3遞增得越來(lái)越快,圖象上升得越來(lái)越“陡峭”(如圖 (2)).
探究:研究對(duì)數(shù)函數(shù)y=lnx與冪函數(shù)y=x3在區(qū)間(0,+∞)上增長(zhǎng)快慢的情況.
函數(shù)增減的快慢與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系:
一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x),在區(qū)間(a, b)上: 如果導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值越小,函數(shù)在區(qū)間(a, b)上變化得較慢,函數(shù)的圖象就比較“平緩”; 反之,如果導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值越大,函數(shù)在區(qū)間(a, b)上變化得較快,函數(shù)的圖象就比較“陡峭”.
4.判斷下列函數(shù)的單調(diào)性,并求出單調(diào)區(qū)間:(1)f(x)=3x-x3;(2) f(x)=x3-x2-x.
5.證明函數(shù)f(x)=2x3-6x2+7在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞減.
利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)單調(diào)的步驟:
(5) 大于0的區(qū)間是 f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間; 小于0的區(qū)間是 f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.
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