我們以前學(xué)過(guò)函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝eq \f(1,x).
[問(wèn)題] (1)這三個(gè)函數(shù)的解析式有什么共同的特點(diǎn)嗎？
(2)你能根據(jù)初中學(xué)過(guò)的整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算，把這三個(gè)函數(shù)的解析式改寫(xiě)成統(tǒng)一的形式嗎？



知識(shí)點(diǎn)一 冪函數(shù)的概念
一般地，形如y＝xα(α為常數(shù))的函數(shù)，即底數(shù)是自變量、指數(shù)是常數(shù)的函數(shù)稱為冪函數(shù)．
eq \a\vs4\al()
冪函數(shù)的特征
(1)xα的系數(shù)為1；
(2)xα的底數(shù)是自變量x，指數(shù)α為常數(shù)；
(3)項(xiàng)數(shù)只有一項(xiàng)．
1．在函數(shù)y＝eq \f(1,x4)，y＝3x2，y＝x2＋2x，y＝1中，冪函數(shù)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．
解析：函數(shù)y＝eq \f(1,x4)＝x－4為冪函數(shù)；
函數(shù)y＝3x2中x2的系數(shù)不是1，所以它不是冪函數(shù)；
函數(shù)y＝x2＋2x不是y＝xα(α為常數(shù))的形式，所以它不是冪函數(shù)；
函數(shù)y＝1與y＝x0＝1(x≠0)不相等，所以y＝1不是冪函數(shù)．
答案：1
2．已知f(x)＝(m＋1)xm＋2是冪函數(shù)，則m＝________．
解析：∵函數(shù)f(x)＝(m＋1)xm＋2是冪函數(shù)，
∴m＋1＝1，即m＝0.
答案：0
知識(shí)點(diǎn)二 五個(gè)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)
1．五個(gè)常見(jiàn)冪函數(shù)的圖象
2．五個(gè)常見(jiàn)冪函數(shù)的性質(zhì)
eq \a\vs4\al()
觀察五種特殊的冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象，可知，冪函數(shù)y＝xα的圖象在第一象限內(nèi)具有如下特征：直線y＝1，y＝x將直角坐標(biāo)平面的第一象限在直線x＝1的右側(cè)部分分為(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)三個(gè)區(qū)域，如圖所示，若α∈(1，＋∞)?y＝xα的圖象經(jīng)過(guò)區(qū)域(Ⅰ)；若α∈(0，1)?y＝xα的圖象經(jīng)過(guò)區(qū)域(Ⅱ)；若α∈(－∞，0)?y＝xα的圖象經(jīng)過(guò)區(qū)域(Ⅲ)，并且在直線x＝1的右側(cè)，從x軸起，冪函數(shù)y＝xα的指數(shù)α由小到大遞增，即“指大圖高”“指小圖低”．

1．已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(2，4)，則其解析式為( )
A．y＝x＋2 B．y＝x2
C．y＝eq \r(x) D．y＝x3
解析：選B 設(shè)冪函數(shù)的解析式為y＝xα，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝4，故2α＝4，即α＝2.
2．在下列四個(gè)圖形中，y＝xeq \s\up6(－eq \f(1,2))的圖象大致是( )
解析：選D 函數(shù)y＝xeq \s\up6(－eq \f(1,2))的定義域?yàn)?0，＋∞)，是減函數(shù)．
3．當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，x2________x3.(填“>”“＝”或“
[例1] (1)在函數(shù)y＝x－2，y＝(x＋1)2，y＝3x中，冪函數(shù)的個(gè)數(shù)為( )
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)若f(x)＝(m2－4m－4)xm是冪函數(shù)，則m＝________．
[解析] (1)根據(jù)冪函數(shù)定義可知，只有y＝x－2是冪函數(shù)，所以選B.
(2)因?yàn)閒(x)是冪函數(shù)，所以m2－4m－4＝1，即m2－4m－5＝0，解得m＝5或m＝－1.
[答案] (1)B (2)5或－1
eq \a\vs4\al()
判斷一個(gè)函數(shù)是否為冪函數(shù)的方法
判斷一個(gè)函數(shù)是否為冪函數(shù)的依據(jù)是該函數(shù)是否為y＝xα(α為常數(shù))的形式，即函數(shù)的解析式為一個(gè)冪的形式，且需滿足：(1)指數(shù)為常數(shù)；(2)底數(shù)為自變量；(3)系數(shù)為1.
[跟蹤訓(xùn)練]
(多選)下列函數(shù)中是冪函數(shù)的是( )
A．y＝eq \f(1,x) B．y＝2x2
C．y＝2x＋1 D．y＝xeq \s\up6(－eq \f(1,2))
解析：選AD 冪函數(shù)是形如y＝xα(α為常數(shù))的函數(shù)，A是α＝－1的情形，D是α＝－eq \f(1,2)的情形，所以A和D都是冪函數(shù)；B中x2的系數(shù)是2，不是冪函數(shù)；易知C不是冪函數(shù).
[例2] (鏈接教科書(shū)第66頁(yè)思考交流)如圖，函數(shù)y＝eq \f(1,x)，y＝x，y＝1的圖象和直線x＝1將平面直角坐標(biāo)系的第一象限分成八個(gè)部分：①②③④⑤⑥⑦⑧.若冪函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過(guò)的部分是④⑧，則f(x)可能是( )
A．y＝x2 B．y＝eq \f(1,\r(x))
C．y＝xeq \s\up6(\f(1,2)) D．y＝x－2
[解析] ∵函數(shù)y＝xα的圖象過(guò)④⑧部分，∴函數(shù)y＝xα在第一象限內(nèi)單調(diào)遞減，∴αeq \f(1,2)，∴只有B選項(xiàng)符合題意．故選B.
[答案] B
eq \a\vs4\al()
解決冪函數(shù)圖象問(wèn)題應(yīng)把握的兩個(gè)原則
(1)依據(jù)圖象高低判斷冪指數(shù)大小，相關(guān)結(jié)論為：在(0，1)上，指數(shù)越大，冪函數(shù)圖象越靠近x軸(簡(jiǎn)記為指大圖低)；在(1，＋∞)上，指數(shù)越大，冪函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離x軸(簡(jiǎn)記為指大圖高)；
(2)依據(jù)圖象確定冪指數(shù)α與0，1的大小關(guān)系，即根據(jù)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(類似于y＝x－1或y＝x\s\up6(\f(1,2))或y＝x3))來(lái)判斷．
[跟蹤訓(xùn)練]
點(diǎn)(eq \r(2)，2)與點(diǎn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，－\f(1,2)))分別在冪函數(shù)f(x)，g(x)的圖象上，問(wèn)當(dāng)x為何值時(shí)，有：
(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)g(x)；
(2)當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)＝g(x)；
(3)當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，f(x)

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高中數(shù)學(xué)北師大版 (2019)必修 第一冊(cè)電子課本

4.2 簡(jiǎn)單冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)

版本： 北師大版 (2019)

年級(jí)： 必修 第一冊(cè)

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